completerやlineEditは別に用意しなければいけないのかと思っていたのですが、そんなことはなかったのですね。
comboBox1つ配置して、配置したcomboBoxをeditableに。
あとは下記のように、補完モードの設定でポップアップするように。
ついでに初めのitemが入力欄に入ってしまうのも消去しています。この点についてはもっとやり方があるような気もしましたが、わかりませんでした。
mainwindow.cpp
MainWindow::MainWindow(QWidget *parent) :
QMainWindow(parent),
ui(new Ui::MainWindow)
{
ui->setupUi(this);
ui->comboBox->addItem("tea");
ui->comboBox->addItem("test");
ui->comboBox->addItem("test_case");
ui->comboBox->completer()->setCompletionMode(QCompleter::PopupCompletion);
ui->comboBox->lineEdit()->clear();
}