はじめに

この記事では、レーティングシステムである、Keener's method(Power Rating)を紹介する。
そして、この方法を使ってロケットリーグのレーティングを求めてみる。

Power Ratingについて

Power Ratingは次の2つのルールを満たすようなレーティングシステムである。

まず初めに、チームiとjが戦った際のどの統計データがチームの強さに依存するかを考える。
ここでは、簡単のためにチームiがチームjから取ったスコアを$ S_{ij} $として、$ S_{ij} $にチームの強さが依存すると仮定する。

ラプラス継承のの法則を適応して、$a_{ij}$を次のように定義する。

a_{ij} = \frac{S_{ij} + 1 } { S_{ij} + S_{ji} + 2}

必要に応じてこれらを適応する。

Skewing
one-side gameのような一方的な試合があった場合に次の関数$h(x)$を適応する事でone-side gameの効果を薄めることができる。

h(x) = \frac{1}{2} + \frac{sgn(x-1/2) \sqrt{|2x - 1 |}}{2}

a_{ij} = h(a_{ij})

Normalization
すべてのチームが同じ試合数を行っていなかった場合に、試合数が多かったチームの強さが過大評価されたりしないようにするために、Normalizationをかける必要がある。

a_{ij} = \frac{a_{ij}}{n_i}

ここで、$n_i$はチームiの試合数である。

注意しなければならないのは、SkewingにもNormalizationの効果がある為、Over Normalizationしないように気を付けることである。

作成した行列($A = \lbrace a_{ij} \rbrace$)を利用して、次のような固有方程式を立てる。

A \vec{x} = \lambda \vec{x}

ここで、$\vec{x}$はレート、$\lambda$はレートと強さの比例係数である。

4.で作成した固有方程式を解いて固有値・固有関数群$\lambda_i,\vec{x}_i$を求める。

さらにこの中で、次を満たすようなものを見つけてくる。

\lambda \in R_{++}, \lambda \ge | \lambda_i | , \vec{x} > \vec{0}

なお、これが存在することは、Perron-Frobenius theoremによって保障されている。

5.で見つけたレートにnormalizationをかけ、100分率にする

\vec{r} = \frac{ \vec{x} }{ \Sigma_i^n x_i} * 100 [\%]

私の大好きなゲームであるロケットリーグの世界大会からのデータを利用して、レートを求めてみようと思う。

今回用いるのはRLCSのSpring(North America)のグループAのリーグ戦である。

GroupAのRound 1からRound 5までの試合結果からレートを導出すると次のようになった。

今回は、normalizationとSkwingの両方をかけてレートを導出した。

今回はKeenerの方法でレートを求めた。
求めたレートは、RLCSのリーグ戦の順位をしっかり、再現していることを確認できた。