サーバ側(GAS)の処理

function calculate(x, y) {
  if (typeof x !== 'number' || typeof x !== 'number') {
    throw new Error('数値ではありません');
  }
  return x + y;
}

クライアント側の処理

async function btnClick() {
  try {
    const value = await getData(3, 5);
//  const value = await getData("a", "b"); //例外を発生させる
    console.log(value); // 3 + 5 -> 8
  } catch (error) { //Errorオブジェクト
    console.log(error.message); //数値以外を設定したとき、「数値ではありません」が出力される
  } finally {
    // 後処理
    // 砂時計のカーソルを元に戻すなど
  };
}

// データ取得関数を定義
function getData(x, y) {
  return new Promise((resolve, reject) => {
    google.script.run
      .withSuccessHandler(data => resolve(data))
      .withFailureHandler(error => reject(error)) //Errorオブジェクト
      // 2023-11-08 追記
      // よりシンプルに以下でもいけました
      //.withSuccessHandler(resolve)
      //.withFailureHandler(reject) //Errorオブジェクト
      .calculate(x, y); //ユーザ定義の任意の関数(GAS側の関数にあわせる)
  });
}

サンプルプログラム

コード.gs

function doGet() {
  return HtmlService.createTemplateFromFile('index').evaluate();
}

function calculate(x, y) {
  Logger.log(`x:${x} y:${y}`);
  if (typeof x !== 'number' || typeof x !== 'number') {
    throw new Error('数値ではありません');
  }
  return x + y;
}

index.html

<!DOCTYPE html>
<html>
<body>
<button type="button" onclick="btnClick()">計算</button>
<script>
async function btnClick() {
  try {
    const value = await getData(3, 5);
//  const value = await getData("a", "b"); //例外を発生させる
    console.log(value); // 3 + 5 -> 8
  } catch (error) { //Errorオブジェクト
    console.log(error.message); //数値以外を設定したとき、「数値ではありません」が出力される
  } finally {
    // 後処理
    // 砂時計のカーソルを元に戻すなど
  };
}

// データ取得関数を定義
function getData(x, y) {
  return new Promise((resolve, reject) => {
    google.script.run
      .withSuccessHandler(data => resolve(data))
      .withFailureHandler(error => reject(error)) //Errorオブジェクト
      .calculate(x, y); //ユーザ定義の任意の関数(GAS側の関数にあわせる)
  });
}
</script>
</body>
</html>

Proxy を使う方法

2024/3/23 追記
Proxyオブジェクトを使えば、もっと汎用的に記述できます

クライアント側の処理

async function btnClick() {
  try {
    const value = await googleScriptRun.calculate(3, 5);
//  const value = await googleScriptRun.calculate("a", "b"); //例外を発生させる
    console.log(value); // 3 + 5 -> 8
  } catch (error) { //Errorオブジェクト
    console.log(error.message); //数値以外を設定したとき、「数値ではありません」が出力される
  } finally {
    // 後処理
    // 砂時計のカーソルを元に戻すなど
  };
}

const googleScriptRun = new Proxy(google.script.run, {
  get(target, method) {
    return (...args) => new Promise((resolve, reject) => {
      target
        .withSuccessHandler(resolve)
        .withFailureHandler(reject)
        [method](...args);
    });
  }
});

参考記事