GitHubに移行します

はじめに

この記事では代数学の単射と全射を紹介します。集合、要素、写像という言葉を紹介したあと、単射と全射を紹介します。

準備

集合と要素という言葉から始めます。

集合とは、モノの集まりです。

要素とは、その集まりを構成するモノです。

まず、この集合と要素に慣れることが大切ですが、あまり難しく考えないことも大切です。

例えば、自然数だと、自然数全体のことを集合といい、１とか２とか３のことを要素といいます。

次に、写像です。

写像とは、ある集合の要素を別の集合の要素に変えるモノです。ただし、変わるときに複数の要素になることは許されません。

写像ではどういうことが許されないか見てみましょう。

例えば、集合Aを考えてみます。この集合Aには要素が三つあり、その要素をa, b, cとします。写像を考えるためにはもう一つ集合が必要ですので、もう一つの集合を自然数とします。

まずは写像とは言えない変なモノを見てみましょう。

どのようなモノかというと、aを受け取って１を返し、bを受け取って２を返し、cを受け取って１と２以外の自然数すべてを返すモノです。

確かに変なモノです。特に、cを変換したときが変です。

なぜこのような変換が写像ではないのか？それはcが複数の要素になるからです。これは写像ではありません。

単射

準備は整いました。前出の変わりモノを再利用したいと思います。

前出の変わりモノは、aを受け取って１を返し、bを受け取って２を返し、cを受け取って１と２以外の自然数すべてを返すモノでした。

ここではcを受け取って３を返すモノとします。つまり、aを受け取って１を返し、bを受け取って２を返し、cを受け取って３を返すモノです。こういうモノを単射と言います。

もし、cを受け取って２を返すモノであれば、（写像ではありますが）、それを単射とは言いません。

大ざっぱな言い方をすると、一意性を保つような変換が単射です。

全射

全射とは、すべての変換後の要素に変換前の要素が存在する変換です。これは理解が難しいと思います。

ここでも前出の変わりモノを再利用したと思います。ただし、変わりモノの逆変換を利用します。変わりモノの逆変換とは、自然数の要素を集合Aの要素に変換するモノです。

例えば、１を受け取ってaを返し、２を受け取ってbを返し、１と２以外の自然数を受け取ってcを返すモノです。このようなモノを全射と言います。

もし、集合A {a, b, c} の代わりに集合Aに要素dを追加した集合B {a, b, c, d} があり、この変わりモノの逆変換が自然数の要素を集合Bの要素に変換するモノだったとすると、（写像ではありますが）、それを全射とは言いません。これは変換後の要素dに変わる要素（変換前の要素）が自然数に存在しないからです。

あとがき

集合、要素、写像、単射、全射という言葉を紹介しました。どこまで書けるか分かりませんが、数学の記事を少し書いてみようと予定しています。

間違いに気付きましたらコメントなどで教えていただければ幸いです。

参考書

群・環・体入門