プロンプトは、変数PS1によって制御されているようなので、これを変更します。

変更前

~/.bashrc

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\[\033[01;32m\]\u@\h\[\033[00m\]:\[\033[01;34m\]\w\[\033[00m\]\$ '
else
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\u@\h:\w\$ '
fi

Username@PCname:~/Documents/dir1/dir2$

ユーザー名を表示しない

~/.bashrc

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}@\h\[\033[00m\]:\[\033[01;34m\]\w\[\033[00m\]\$ '
else
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}@\h:\w\$ '
fi

編集後、source ~/.bashrc もしくはターミナル再起動

@PCname:~/Documents/dir1/dir2$

PC名を表示しない

~/.bashrc

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\[\033[01;32m\]\u@:\[\033[01;34m\]\w\[\033[00m\]\$ '
else
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\u@:\w\$ '
fi

編集後、source ~/.bashrc もしくはターミナル再起動

Username@:~/Documents/dir1/dir2$

カレントディレクトリを表示しない

~/.bashrc

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\[\033[01;32m\]\u@\h\[\033[00m\]:\[\033[00m\]\$ '
else
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\u@\h:\$ '
fi

編集後、source ~/.bashrc もしくはターミナル再起動

Username@PCname:$

全部表示しない

~/.bashrc

if [ "$color_prompt" = yes ]; then
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\[\033[00m\]\$ '
else
    PS1='${debian_chroot:+($debian_chroot)}\$ '
fi

編集後、source ~/.bashrc もしくはターミナル再起動

参考

https://qiita.com/fugee/items/8ccd0439cf197cfce0aa
https://qiita.com/watertight/items/84568d0b6ef77e00dac0