この記事は、とある理由でタイトルにあることの説明をする必要があったため、まぁどうせだし投稿するか、で書いたものです。
駄文です。
本論
torus を
\mathbb{C}/ \Lambda \\
or \\
\mathbb{I}^2 / \sim
で考えることが多いように思う。上の $\Lambda$ は複素平面の lattice と言うやつだ。今回は全く関係ない。
別にこのままでも構わないが、今日は変位レトラクトを考えるために今日は
D^2/ \sim
で考えることとする。この時の同値関係は $D^2 \cong \mathbb{I}^2$ から自然に導かれる同値関係を使う。
さて、次の写像
f_t : D^2 - \left\{0\right\} \to S^1 \\
f_t(x, y) = \left\{ (1-t) + \frac{t}{\sqrt{ x^2+y^2} }\right\}(x, y)
とすると、これが変位レトラクトになることが分かる。
かつ、この写像は同値関係を保つ。
以上より
\begin{align}
T^2-\left\{pt\right\} &= \mathbb{I}^2 -\left\{pt\right\}/ \sim \\
&= D^2 - \left\{0\right\}/ \sim \\
&\underset{h.e.}{\sim} S^1 / \sim \\
&= S^1 \vee S^1
\end{align}
上の $S^1$ 二つはそれぞれ meridian と longitude にあたることは明らかだろう。