タイルペイント (Tilepaint) を、4 つのルールセット内蔵でブラウザに実装した。n×n の盤面がタイルに分割されている。塗るのはマスではなくタイル丸ごと。数字の付いた行・列は、塗られたマスをちょうどその数だけ含まなければならない。数字のない行・列は自由。ソルバー内蔵パズル第 41 弾。

デモ: https://sen.ltd/portfolio/tilepaint/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/tilepaint

このパズルを選んだ理由は 2 つ。

変数はマスではなくタイル

このソルバーに「マス」という決定は存在しない。タイル 1 枚につきブール変数 1 個。マスはタイルの射影にすぎない。すると数字付きの各線（行・列）は、その線を横切るタイルのスライス（線内のマス数）にわたる部分和制約になる。複数の線を横切るタイルは制約同士を結合する——つまりタイルペイントは「線が変数を共有するノノグラム」だ。

この見方は退化極限で答え合わせができる。タイルを全部 1 マスに刻むと、タイルペイントは二値トモグラフィー（行和・列和から 0/1 行列を復元する古典問題）そのものになる。トモグラフィーの非一意性は有名で、実測でもそのまま出た。8×8 全開示・150 盤の粒度スイープ:

maxSize	タイル数(平均)	一意	probe 完答	count 単独完答
1	64.0	0.0%	0.0%	0.0%
2	45.5	1.3%	1.3%	0.0%
3	35.9	48.7%	48.7%	1.3%
5	25.5	93.3%	93.3%	19.3%
8	18.6	98.7%	98.7%	48.0%
12	13.8	100.0%	100.0%	78.7%

1 行目がトモグラフィーだ。情報量の勘定も合う: 2n=16 個の数字は高々 16·log₂9 ≈ 51 bit しか持てない。自由ブール 64 個は入り切らず、14 個ならお釣りが来る。「タイルを大きくする」ことこそが、トモグラフィーに足された情報であり、このパズルを成立させている当のものだ。

ルールは 1 本の法則を 3 段階の強さで読む

4 段のラダーは、実は全部同じ部分和の法則だ。

レベル	ルール
`count`	線を区間として読む、両方向: 数字に達したら残りは白、開きマス全部でちょうどなら全部塗る
`edge`	タイルごとの貪欲限界: 負債より大きいスライスは白、他のスライスの合計では負債を賄えないスライスは黒
`fit`	部分和の到達可能性を正確に問う: 負債を構成する部分集合すべてに入るスライスは黒、どれにも入らなければ白
`probe`	1 タイルに色を仮置きし、下位ルールを fixpoint まで回して矛盾したら棄却

edge と fit の差は「合計」と「構成可能性」の差だ。スライス {2, 2, 2} が負債 3 を負うと、貪欲限界は全部素通し（どれも 3 以下、他の合計は 4 以上）だが、部分和 {0, 2, 4, 6} に 3 は無い——fit だけが矛盾を見る。実装は prefix/suffix の部分和 bitmask で、タイルごとの「自分抜きの到達集合」を 1 回の合成で出す。

強制力として count ⊂ edge ⊂ fit と入れ子になっているのがこのラダーの特徴で、ここから ablation の結果が定理として予言できる。300 盤/サイズ・全開示の生ストリームで、増分ラダーと ablation の両方:

増分（各段を足していく）:

盤面	count	+edge	+fit	+probe	生ストリームの一意率
6×6	61.7%	98.7%	98.7%	98.7%	98.7%
8×8	22.3%	87.7%	90.0%	91.7%	91.7%
10×10	1.3%	54.0%	60.3%	82.3%	82.7%

Ablation（全ラダーから 1 段抜く）:

盤面	full	−count	−edge	−fit
6×6	98.7%	98.7%	98.7%	98.7%
8×8	91.7%	91.7%	91.7%	91.7%
10×10	82.3%	82.3%	82.3%	82.3%

完全にフラット。−count と −edge は入れ子だから当然として、−fit まで無傷なのは probe が分岐で fit の取り分を回収するからだ。ablation だけ読めば「全ルール冗長」、増分だけ読めば「全ルール必須」——この連作で繰り返し出る教訓（両方測れ）が、今回は片側が定理で片側が測定という一番きれいな形で出た。

1 マス probe には見えない曖昧さ

この連作には「probe fixpoint が完答する ⇔ 一意解」という経験則があり、#320 クロットで初めて破れた。破れたのは偶然ではない——ルールが算術だけのパズルでは、曖昧さは多タイルの組み替えに棲むからだ。タイルペイントも純算術なので、ギャップは理論どおり再現した: 10×10 の一意 248 盤中 1 盤が probe 不能（82.3% vs 82.7%）。probe ⇒ 一意は全サイズで成立、逆だけが破れる。

このギャップには顔がある。第 2 解とは「反転が全数字線上で相殺するタイル集合」であり、最小のものは探索ゼロで答えから直読できる:

単独 silent flip: どの数字線にも触れないタイル（間引きで数字が消えた時のみ可能。全開示では、全タイルは自分の行に触れるので定理として不可能）
ペア silent flip: 塗り・白のペアで、全数字線上のスライスベクトルが一致——入れ替えてもどの数字も動かない

実測（300 盤/サイズ）: 半分に間引いた 8×8 では非一意 290 盤中 249 盤がペア証明書 1 枚で説明できた。ところが全開示では 81 盤中 0 盤。全開示の曖昧さはペアではなく、トモグラフィー古典の 2×2 スイッチ（対角 4 タイルの同時反転＝4 タイルの組み替え）に代表される長い交換連鎖だ。1 マス probe にも、ペア検査にも見えない。密度のダイヤル 1 本で、曖昧さの住処が「ペア」から「連鎖」へ引っ越す。

生成はコイン投げ

タイルペイントは連作で初めて、**配置空間が「全部」**のパズルだ。連結性も形状則も隣接則も無いので、R 枚のタイルの塗り方 2^R 通りすべてが合法な答え。生成器は分割を引き、タイルごとにコインを投げ、答えから行・列の数字を読み取るだけ——探索なし、リトライなし、リスタート上限なし。アクレを 8 時間ハングさせた重い裾は、今回も構造的に存在しない。

出荷 bank は全開示から「目標レベルがまだ完答できる限り数字を間引く」方式で 60 盤（6/8/10 × 4 グレード各 5）。数字の中央値は 12 本中 7、16 本中 10、20 本中 13。一意性は探索エンジンで再証明し、分岐数の中央値は全サイズで 0——fixpoint だけで証明が済む。

エンジンの信頼性は 2 系統の突き合わせで担保する: ルールラダーを伝播させる探索と、スライス表も部分和も持たない生タイル総当たり（行・列の集計と印刷ルールのバリデータのみ）。800/800 の (盤面, レベル) ペアで解数一致。検出したペア証明書が本当に第 2 解であることも、総当たりで両方向から確認している。

テストは 34 本。デモとコードはこちら:

デモ: https://sen.ltd/portfolio/tilepaint/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/tilepaint

SEN 合同会社では、こうした「小さく作って測って出す」を積み上げています。