タイルペイント (Tilepaint) を、4 つのルールセット内蔵でブラウザに実装した。n×n の盤面がタイルに分割されている。塗るのはマスではなくタイル丸ごと。数字の付いた行・列は、塗られたマスをちょうどその数だけ含まなければならない。数字のない行・列は自由。ソルバー内蔵パズル第 41 弾。
デモ: https://sen.ltd/portfolio/tilepaint/
リポジトリ: https://github.com/sen-ltd/tilepaint
このパズルを選んだ理由は 2 つ。
変数はマスではなくタイル
このソルバーに「マス」という決定は存在しない。タイル 1 枚につきブール変数 1 個。マスはタイルの射影にすぎない。すると数字付きの各線（行・列）は、その線を横切るタイルのスライス（線内のマス数）にわたる部分和制約になる。複数の線を横切るタイルは制約同士を結合する——つまりタイルペイントは「線が変数を共有するノノグラム」だ。
この見方は退化極限で答え合わせができる。タイルを全部 1 マスに刻むと、タイルペイントは二値トモグラフィー（行和・列和から 0/1 行列を復元する古典問題）そのものになる。トモグラフィーの非一意性は有名で、実測でもそのまま出た。8×8 全開示・150 盤の粒度スイープ:
| maxSize | タイル数(平均) | 一意 | probe 完答 | count 単独完答 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 64.0 | 0.0% | 0.0% | 0.0% |
| 2 | 45.5 | 1.3% | 1.3% | 0.0% |
| 3 | 35.9 | 48.7% | 48.7% | 1.3% |
| 5 | 25.5 | 93.3% | 93.3% | 19.3% |
| 8 | 18.6 | 98.7% | 98.7% | 48.0% |
| 12 | 13.8 | 100.0% | 100.0% | 78.7% |
1 行目がトモグラフィーだ。情報量の勘定も合う: 2n=16 個の数字は高々 16·log₂9 ≈ 51 bit しか持てない。自由ブール 64 個は入り切らず、14 個ならお釣りが来る。「タイルを大きくする」ことこそが、トモグラフィーに足された情報であり、このパズルを成立させている当のものだ。
ルールは 1 本の法則を 3 段階の強さで読む
4 段のラダーは、実は全部同じ部分和の法則だ。
| レベル | ルール |
|---|---|
count |
線を区間として読む、両方向: 数字に達したら残りは白、開きマス全部でちょうどなら全部塗る |
edge |
タイルごとの貪欲限界: 負債より大きいスライスは白、他のスライスの合計では負債を賄えないスライスは黒 |
fit |
部分和の到達可能性を正確に問う: 負債を構成する部分集合すべてに入るスライスは黒、どれにも入らなければ白 |
probe |
1 タイルに色を仮置きし、下位ルールを fixpoint まで回して矛盾したら棄却 |
edge と fit の差は「合計」と「構成可能性」の差だ。スライス {2, 2, 2} が負債 3 を負うと、貪欲限界は全部素通し（どれも 3 以下、他の合計は 4 以上）だが、部分和 {0, 2, 4, 6} に 3 は無い——fit だけが矛盾を見る。実装は prefix/suffix の部分和 bitmask で、タイルごとの「自分抜きの到達集合」を 1 回の合成で出す。
強制力として count ⊂ edge ⊂ fit と入れ子になっているのがこのラダーの特徴で、ここから ablation の結果が定理として予言できる。300 盤/サイズ・全開示の生ストリームで、増分ラダーと ablation の両方:
増分（各段を足していく）:
| 盤面 | count | +edge | +fit | +probe | 生ストリームの一意率 |
|---|---|---|---|---|---|
| 6×6 | 61.7% | 98.7% | 98.7% | 98.7% | 98.7% |
| 8×8 | 22.3% | 87.7% | 90.0% | 91.7% | 91.7% |
| 10×10 | 1.3% | 54.0% | 60.3% | 82.3% | 82.7% |
Ablation（全ラダーから 1 段抜く）:
| 盤面 | full | −count | −edge | −fit |
|---|---|---|---|---|
| 6×6 | 98.7% | 98.7% | 98.7% | 98.7% |
| 8×8 | 91.7% | 91.7% | 91.7% | 91.7% |
| 10×10 | 82.3% | 82.3% | 82.3% | 82.3% |
完全にフラット。−count と −edge は入れ子だから当然として、−fit まで無傷なのは probe が分岐で fit の取り分を回収するからだ。ablation だけ読めば「全ルール冗長」、増分だけ読めば「全ルール必須」——この連作で繰り返し出る教訓（両方測れ）が、今回は片側が定理で片側が測定という一番きれいな形で出た。
1 マス probe には見えない曖昧さ
この連作には「probe fixpoint が完答する ⇔ 一意解」という経験則があり、#320 クロットで初めて破れた。破れたのは偶然ではない——ルールが算術だけのパズルでは、曖昧さは多タイルの組み替えに棲むからだ。タイルペイントも純算術なので、ギャップは理論どおり再現した: 10×10 の一意 248 盤中 1 盤が probe 不能（82.3% vs 82.7%）。probe ⇒ 一意は全サイズで成立、逆だけが破れる。
このギャップには顔がある。第 2 解とは「反転が全数字線上で相殺するタイル集合」であり、最小のものは探索ゼロで答えから直読できる:
- 単独 silent flip: どの数字線にも触れないタイル（間引きで数字が消えた時のみ可能。全開示では、全タイルは自分の行に触れるので定理として不可能）
- ペア silent flip: 塗り・白のペアで、全数字線上のスライスベクトルが一致——入れ替えてもどの数字も動かない
実測（300 盤/サイズ）: 半分に間引いた 8×8 では非一意 290 盤中 249 盤がペア証明書 1 枚で説明できた。ところが全開示では 81 盤中 0 盤。全開示の曖昧さはペアではなく、トモグラフィー古典の 2×2 スイッチ（対角 4 タイルの同時反転＝4 タイルの組み替え）に代表される長い交換連鎖だ。1 マス probe にも、ペア検査にも見えない。密度のダイヤル 1 本で、曖昧さの住処が「ペア」から「連鎖」へ引っ越す。
生成はコイン投げ
タイルペイントは連作で初めて、**配置空間が「全部」**のパズルだ。連結性も形状則も隣接則も無いので、R 枚のタイルの塗り方 2^R 通りすべてが合法な答え。生成器は分割を引き、タイルごとにコインを投げ、答えから行・列の数字を読み取るだけ——探索なし、リトライなし、リスタート上限なし。アクレを 8 時間ハングさせた重い裾は、今回も構造的に存在しない。
出荷 bank は全開示から「目標レベルがまだ完答できる限り数字を間引く」方式で 60 盤（6/8/10 × 4 グレード各 5）。数字の中央値は 12 本中 7、16 本中 10、20 本中 13。一意性は探索エンジンで再証明し、分岐数の中央値は全サイズで 0——fixpoint だけで証明が済む。
エンジンの信頼性は 2 系統の突き合わせで担保する: ルールラダーを伝播させる探索と、スライス表も部分和も持たない生タイル総当たり（行・列の集計と印刷ルールのバリデータのみ）。800/800 の (盤面, レベル) ペアで解数一致。検出したペア証明書が本当に第 2 解であることも、総当たりで両方向から確認している。
テストは 34 本。デモとコードはこちら:
SEN 合同会社では、こうした「小さく作って測って出す」を積み上げています。