「FPS 24 題」全部解く: H「ジャンプ」
解きます 解く 行動パターンは以下のようになります. 以下を$N$回繰り返す 0回以上$a=0$で$b\ge1$な選択をする $a=1$で$b\ge0$な選択を1回する 0回以上$a=0$で$b...
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「FPS 24 題」全部解く: G「硬貨」
解きます 解く 一旦$m$を固定した状態で解きます. 求めるべきものは $$f_m := \prod_{k=m}^{m+L-1}\frac 1{1-x^k}$$ としたとき$\left[x^N\...
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「FPS 24 題」全部解く: B「整数の組」
解きます 解く 4つの整数に対応する関数はそれぞれ $a$: $1+x$ $b$: $1+x+x^2$ $c$: $\frac{1}{1-x^2}$ $d$: $\frac{1}{1-x^3}$...
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「FPS 24 題」全部解く: L「順列 2」
解きます 解く 順列のFunctional Graphは「いくつかのループ」の形になることが知られています. その前提で制約を見ると「2つ以下の要素しか無いループが無い」と言い換えられます. と...
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「FPS 24 題」全部解く: I「スコア」
解きます 解く 分割統治典型です. $k$次の項の係数が「$k$個の数を選んだときの総和」を表すことにすると, 求めるものは $$\left[x^K\right]\prod_{k=1}^N\le...
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「FPS 24 題」全部解く: K「順列」
解きます 解く 答えを$a_N$と書くことにします. この問題の順列が「条件を満たさない」というのは「真接頭辞が順列になるものがある」, 更に「真接頭辞が条件を満たす順列になるものがある」と言い...
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「FPS 24 題」全部解く: N「硬貨 2」
解きます 解く 式は一瞬で立ちますね $$f = \prod_{k=1}^N \frac{1-x^{k\left(A_k+1\right)}}{1-x^k}$$ maspyさんの記事に書いてある...
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「FPS 24 題」全部解く: M「連結グラフ」
解きます 解く 連結じゃないグラフはより小さい連結なグラフの組み合わせなので, 連結じゃないグラフを数えて全体から引く方針が良さそうですね. まず, 連結かは問わず, $n$頂点の単純無向グラフ...
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「FPS 24 題」全部解く: E「数列 3」
解きます 解く 「順番を無視して数えあげたもの」は $$\left[x^N\right]\prod_{i=1}^M\sum_{j=0}^i x^j$$ です. (あえてシグマを有理関数に直してな...
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「FPS 24 題」全部解く: C「数列」
解きます 解く 「$M$以下の非負整数」に対応する関数は $$1+x+\dots+x^M=\frac{1-x^{M+1}}{1-x}$$ です. これが$N$個で総和が$S$なので求めるものは ...
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「FPS 24 題」全部解く: D「数列 2」
解きます 解く $a$の要素は全て異なるので, $b$の組み合わせを調べてそれを$N!$倍することで求めます. 一旦, $b_1$が奇数だと仮定します. 定義されていない$b_0$を$0$, $...
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「FPS 24 題」全部解く: F「色紙」
解きます 解く 昨日と同じ方針(指数型母関数)で立式します. 各色に対応するのが 赤: $\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} = e^x$ 青: $\sum_{k=0...
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「FPS 24 題」全部解く: A「お菓子」
解きます 解く $n$次の係数が「$n$円になる組合せ」を表すとすると, 1日に対応するFPSは$x+x^3+x^4+x^6$です. これを$D$日間繰り返すので$D$乗して, 求めるものは$\...
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「FPS 24 題」全部解く: J「スゴロク」
解きます 解く サイコロに対応する関数を $$d := \frac 1M\sum_{k=1}^M x^{A_M}$$ とします. まず, ゴールも落とし穴が無い場合, $k$次の係数が「マス$k...
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25日目: ライブラリを整理する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の25日目です. 何するの? 似ているトレイトがバラバラに定義されてたのを一か所にまとめたり, ドキュメントを拡充したりします....
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24日目: MasterTreeを実装する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の24日目です. MasterTreeって? 皆さんは遅延伝搬反転可能乱択平衡二分木を知っていますか? これと同じノリで思いつく...
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23日目: TopologicalSortを実装する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の23日目です. TopologicalSortって? DAG (有向非巡回グラフ) の頂点を良い感じに並べ替えるアルゴリズムで...
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22日目: WaveletMatrixを実装する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の22日目です. WaveletMatrixって? 整数列に対してだいたいなんでもできるデータ構造です 整数列$x_1,x_2,...
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21日目: 64AryTreeを実装する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の21日目です. 64AryTreeって? $0$以上$N$未満の整数が入る集合として 指定した要素の追加 指定した要素の削除 ...
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20日目: SCCを実装する
競プロ用ライブラリを作る Advent Calendar 2024の20日目です. SCCって? 有向グラフに関するアルゴリズムです. 日本語では「強連結成分分解」です. まず, 「強連結成分」...
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