この記事は Ruby を前提とするが，多くの言語で似たようなことが言えると思う。

何の話？

正の整数 x が 10 進法で何桁になるか，を求めるやり方はいくつもある。
そのうちの一つが

Math.log10(x).floor + 1

なのだが，本当にこれで正しい答えが得られるのだろうか，という話。
数学が苦手でも，Ruby をあまり知らなくても分かるよう，なるべく丁寧に見ていく。

しかし，結論だけを知りたい方はそれでいいのか？の節にどうぞ。

桁数を求めるいろいろなやり方

この節では，ローカル変数 x に正の整数が代入されているとする。
Ruby はメモリーなどの条件が許せばどんな大きな整数も扱うことができる。

文字列化

Ruby の整数（Integer クラス）には，N 進法で表した数字列を生成する Integer#to_s というメソッドがある。

引数を省略すると，10 進法の数字列が得られる。

p (36 + 72).to_s # => "108"

一方，String クラスには，長さ（文字数）を数える String#length というメソッドがある。

p "Ruby".length # => 4

これを組み合わせれば

x.to_s.length

で桁数が得られる。
極めて簡単だ。

しかし，ちょっとした不安がよぎる。桁数が知りたいだけなのに，10 万桁の整数に対し長さ 10 万の巨大文字列を作るのは，もしかして遅いのでは？
実はかなり高速なのだが，その話は置いておこう。

桁ごとの数の配列を得る

Ruby には，非負整数（0 以上の整数）を N 進法で表したときの各桁の数を並べた配列を返す Integer#digits というメソッドがある。

引数を省略すると 10 進法となる。

p 1234.digits # => [4, 3, 2, 1]

下の位から順に並べるので，見た目の順序は逆転している。

これと，配列の長さを返す Array#length を使えば

x.digits.length

で桁数が得られる。

私なぞは，素人考えで「なんとなく文字列より整数のほうが処理が速そうだから，x.to_s.length より速いんでは？」と思ってしまったが，そんなことはなかった。そりゃそうか。巨大な配列が作られるわけだしね。

そして Math.log10(x).floor + 1

他にもやり方はあるが，本題の

Math.log10(x).floor + 1

に行こう。なぜこれで x の桁数が得られるのか？

Math.log10 は，与えられた引数の常用対数の値を返すメソッド。

常用対数関数

y = \log_{10}x

は 10 を底ていとする指数関数

x = 10^y

の逆関数だったね。
この指数関数は，$y$ が整数のときは意味が分かりやすいけれど，任意の実数に対しても定義されている。

$y$ が 0 以上の整数のときを見てみよう

$y = \log_{10}x$	$x = 10^y$
$0$	$1$
$1$	$10$
$2$	$100$
$3$	$1000$
$4$	$10000$

これを見れば，$y$ が 0 以上の整数のときは，$y + 1$ つまり $\log_{10}(x) + 1$ が桁数になることが分かる。

しかし，$y$ が整数になる $x$ は限られている。もっと一般の正の整数 $x$ についてはどうなるだろう？

ためしに，$x = 999$ を考えてみる。これは $1000$ よりちょっと小さい。
対数関数は単調増加（$x$ が増えれば $y$ も増える）なので，$\log_{10}999$ は $3$ よりもちょっと小さいはずだ。
したがって，切り捨てで整数化すれば，$2$ が得られる。

切り捨てに床ゆか関数というものを使おう。これは，半端を数直線の左（負の無限大）に向かって切り捨てる。
今の場合，負数は出てこないから「小数部の切り捨て」と考えても差し支えない¹。

さて，数学記号では，床関数を $\lfloor a \rfloor$ のように書くらしいが，以上の考察から，$x$ が $100$ 以上 $999$ 以下であるとき，

\lfloor \log_{10}x \rfloor

は全て $2$ であることが分かる。
つまり，こんなふうになるんである。

$x$	$\lfloor \log_{10}x \rfloor$
$1$〜$9$	$0$
$10$〜$99$	$1$
$100$〜$999$	$2$
$1000$〜$9999$	$3$
$10000$〜$99999$	$4$

だから 1 を足した $\lfloor \log_{10}x \rfloor + 1$ で桁数が得られるというわけだ。数学的には，ね。

それでいいのか？

やっと核心に。

$\lfloor \log_{10}x \rfloor + 1$ を Ruby のコードで書けば

Math.log10(x).floor + 1

となるわけだが，一抹の不安がよぎる。それがこの記事の主旨であった。

というのは，Math.log10 は Float クラスの浮動小数点演算だ。浮動小数点演算にはふつう誤差が伴う。
微妙な誤差に起因して結果の桁が狂うことはありえないのか？

どう考えればいいのだろう？

正の整数 x を 1，2，3，… と順に見ていって，桁が変わるのはどこか。それは，もちろん 9→10 とか 99→100 とか 999→1000 といったところだよね。
浮動小数点数演算の誤差によって誤った結果が出るとすれば，この境目のあたりだろう。
10000000 のようなのが誤って一つ少ない桁にされたり，9999999999 のようなのが誤って一つ多い桁にされたり，といったことがありそう。
このうち，1000000 のような数はもともと $10^k$ の形なので，誤差が出にくい気がする。
ならば，9 が並ぶ数で実験してみようではないか。

はい，こんなコードを書きました。

1.upto(100) do |k|
  puts "%3d %3d" % [k, Math.log10(10 ** k - 1).floor + 1]
end

$k$ を 1 から 100 まで変えて，$10^k - 1$（つまり 9 を $k$ 個並べた数）の桁を計算させる。これを $k$ と並べて表示させる。数学的には一致するハズなので，同じ数が並んでいるかどうかを見る。

結果は以下の通り

途中からずれている。抜粋するとココ。

 14  14
 15  16

$10^{14} - 1$ までは正しく計算できているが，$10^{15} - 1$ では案の定，正しい答えより一つ大きい数になってしまっている。

ここでふと思い当たることがあった。「浮動小数点数の精度は 10 進にして 15 桁程度」という話。
Ruby の Float は実は環境依存なので，精度は一概に言えないのだが，非常に多くの環境で IEEE 754 の「倍精度」というものが使われるらしい。これの場合，精度は 10 進で 15 桁くらいになるとのこと。

だから，9 を 15 個並べた整数で Math.log10(x).floor + 1 の結果が正しい桁数にならなかった，というのはいかにもありそうな話なわけだ。

結論

小さな整数に対しては Math.log10(x).floor + 1 でよいが，大きな整数では誤差が生じる。

負数の場合，-1.1.floor は -2 であって，小数部を切り捨てた -1 ではないことに注意。 ↩