はじめに

Deep Learning Specialization の Course 2, Week 1 (C2W1) の内容です。

(C2W1L01) Train / Dev / Test sets

内容

Applied ML is a highly iterative process. Idea → Code → Experiment → Idea …のサイクルを効率的に回すのが大事
Train set / dev set / test set
- 以前は train : test = 70 : 30 や，train : dev (cross-validation) : test = 60 : 20 : 20 と言われていた
- 最近はデータが多くなった。データが 100 万件くらいあれば，dev set や test set はそれぞれ 1 万件もあれば十分
- train : dev : test = 98 : 1 : 1 とか，99.5 : 0.25 : 0.25 など
train set と dev/test set の distribution を同じにする (Make sure dev and test come from same distribution)
test set が無くても (dev set だけでも) OK
dev set のことを "test set" と呼ぶこともある

(C2W1L02) Bias / Variance

内容

2 次元だと high bias や high variance を可視化できるが，高次元だと可視化できない

train set error	dev set error
1%	11%	high variance
15%	16%	high bias
15%	30%	high bias & high variance
0.5%	1%	low bias & low variance

人が判断したときの error (optimal error or Bayes error) を 0 とした場合

(C2W1L03) Basic "recipe" for machine learning

内容

high bias の場合 (training data performance でチェック)
- bigger network
- train longer
- (NN architecture search) (有用でないときもある)
- high bias が解決するまで繰り返す
high variance の場合 (dev set performance でチェック)
- more data
- regularization
- (NN architecture search) (有用でないときもある)
初期の neural network では bias と variance の trade-off が問題となった
今はデータが増えたので，bias を悪化させずに variance を改善できるようになった

(C2W1L04) Regularization

内容

J\left(w, b\right) = \frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1}L\left(\hat{y}^{(i)}, y^{(i)}\right) + \frac{\lambda}{2m}\|w\|^2_2

$\lambda$ ; 正規化パラメータ (ハイパーパラメータの 1 つ)
$L_2$ regularization ; $||w||^2_2 = \sum^{n_x}_{j=1} w_j^2 = w^Tw$
lambda は Python のコマンドなので，Python でプログラムするときは lambd と書く

J\left(w^{[1]}, b^{[1]}, \cdots , w^{[L]}, b^{[l]}\right) = \frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1} L\left(\hat{y}^{(i)}, y^{(i)}\right) + \frac{\lambda}{2m} \sum^{L}_{l=1} \|w^{[l]}\|^2\\
\|w^{[l]}\|^2 = \sum^{n^{[l-1]}}_{i=1}\sum^{n^{[l]}}_{j=1}\left(w_{ij}^{[l]}\right)^2

$w$ の次元は $(n^{[l-1]}, n^{[l]})$
$|| \cdot ||^2_2$ は Frobenius norm ($|| \cdot ||_F^2$) とも呼ばれる

dw^{[l]} = \left( \textrm{from backprop} \right) + \frac{\lambda}{m}w^{[l]} \\
w^{[l]} = w^{[l]} - \alpha dw^{[l]} = \left(1 - \alpha \frac{\lambda}{m} \right)w^{[l]} - \alpha \left( \textrm{from backprop} \right)

regularization によって $dw^{[l]}$ が小さくなるので， weight decay と呼ばれる

(C2W1L05) Why Regularization Reduces Overfitting

内容

$\lambda$ が大きいと，$w^{[l]} \sim 0$ になる。すると hidden unit の影響を減らせるので，シンプルなネットワークになったと考えられる。なので，high bias に近づく
$\lambda$ が大きいと，ロジスティック回帰に近くなる
$g(z) = \tanh(z)$ の場合，$z$ が小さいと $g(z)$ の線形領域を使うことになる
activation function を 1 次関数と見なせるようになると，複雑なネットワークを表現することができなくなる。よって high bias に近づく
最急降下法で，各繰り返しごとに $J$ が小さくなっていることを確認する際は，第 2 項も含めて $J$ を計算する

(C2W1L06) Dropout Regularization

内容

各 unit を，ある確率で dropout させる (ユニットを削除する)
減少した neural network で訓練する
$l = 3$ (layer 3) を想定。keep_prob (= 0.8) を生き残る確率 (1-keep_prob が dropout させる確率) とする。dropout vector を $d3$ とすると

d3 = \mathrm{np.random.rand(} a3 \mathrm{.shape[0], }\, a3 \mathrm{.shape[1])} < \mathrm{keep\_prob} \\
a3 = \mathrm{np.multiply(} a3, d3 \mathrm{)} \\
a3\  /= \mathrm{keep\_prob} \\
a^{[4]} = W^{[4]} a^{[3]} + b^{[4]}

最後に keep_prob で割ることで，$a^{[3]}$ の期待値を維持する
最急降下法の繰り返しごとに dropout vector $d3$ を変える
test set の計算時には dropout を実装しない (テストで dropout を入れると，ノイズになる)

(C2W1L07) Understanding dropout

内容

Intuition ; Can't rely on any one feature, so have to spread out weights
特定の入力に重みを掛けない → 重みを分散させる → 重みの効果を減らす → $L_2$ regularization と同様の効果
layer 毎に keep_prob の値を変えることもできる。次元の大きな $W^{[l]}$ に対しては，keep_prob を小さくする
computer vision では dropout の成功事例が多い (ピクセル数 = feature が多く，data が相対的に少ないため，high variance になりやすい)
欠点 ; cost function $J$ が正しく計算されているか check するのが難しい
対策 ; keep_prob = 1 で $J$ が減少する (coding に問題がない) ことを確認してから，keep_prob を有効にする

(C2W1L08) Other Regularization Methods

内容

Data augmentation
- 画像を左右反転したり，回転・拡大によりデータを増やすことで，overfit を防ぐ
- 完全に独立したデータを増やすような効果は期待できないが，低コストでデータを増やすことができる
Early stopping
- 各繰り返しで training error (or $J$) と dev set error の両方をチェックし，dev set error が減少から上昇に転じたところで繰り返し計算をストップする
- 欠点は，$J$ と overfit を同時に考えてしまい，問題を複雑にしてしまうこと。
- 対策は，$L_2$ regularization を使う (この欠点は $\lambda$ の値を気にする必要があること)

(C2W1L09) Normalizing inputs

内容

input feature の scale が大きく違うときに，input feature を normalize する。そうすることで，最急降下法が早く計算できる

\mu = \frac{1}{m} \sum^{m}_{i=1} x^{(i)} \\
x := x - \mu \\
\sigma^2 = \frac{2}{m} \sum^{m}_{i=1} x^{(i)} \ast\ast 2 \\
x \ /= \sigma^2

dev set を normalize するときも，train set の $\mu$ と $\sigma$ を使うこと

(C2W1L10) Vanishing / exploding gradients

内容

非常に深い neural network を train しているとき，微分地が非常に小さくなったり大きくなったりする。特に小さくなると，最急降下法に時間がかかる
現在の neural network は 150 層くらいある

(C2W1L11) Weight initialization for deep networks

内容

input feature が多くなると，$z = wx + b$ で計算される $z$ が大きくなる。そこで，input feature が多いときは，初期化の際に w が小さくなるようにする

W^{[l]} = \mathrm{np.random.randn} \left( \cdots \right) \ast \mathrm{np.sqrt} \left( \frac{2}{n^{[l-1]}} \right)

ReLU のときは $\sqrt{\frac{2}{n^{[l-1]}}}$ がうまくいく
$\tanh$ は $\sqrt{\frac{1}{n^{[l-1]}}}$ とする (Xavier initialization)

(C2W1L12) Numerial Approximation of Gradients

内容

微分の近似値は，$\epsilon$ を小さな数値として $\frac{f(\theta + \epsilon) - f(\theta - \epsilon)}{2\epsilon}$ となる
誤差のオーダは $O(\epsilon^2)$

(C2W1L13) Gradient checking

内容

Take $W^{[1]}$，$b^{[1]}$，$\cdots$ ，$W^{[L]}$，$b^{[L]}$ and reshape into a big vector $\theta$
Take $dW^{[1]}$，$db^{[1]}$，$\cdots$ ，$dW^{[L]}$，$db^{[L]}$ and reshape into a big vector $d\theta$
for each $i$ :

d\theta_{approx}^{[i]} = \frac{J(\theta_1, \cdots, \theta_i+\epsilon, \cdots) - J(\theta_1, \cdots, \theta_i-\epsilon, \cdots)}{2\epsilon} \sim d\theta^{[i]}

check ($\epsilon = 10^{-7}$ とする)

\frac{\|d\theta_{approx} - d\theta\|_2}{\|d\theta_{approx}\|_2 + \|d\theta\|_2}

value	judgement
$10^{-7}$	great!
$10^{-5}$	OK かもしれないけど，check する
$10^{-3}$	バグの可能性

バグっぽいときは，特定の $i$ について $d\theta_{approx}$ と $d\theta$ の差が大きいところをチェックする

(C2W1L14) Gradient Checking Implementation Notes

内容

gradient checking の使い方や，$d\theta_{approx}$ と $d\theta$ が異なるときの対処の考え方など

参考

Deep Learning Specialization (Coursera) 自習記録 (目次)