A - Adjacent Squares

辺でつながっているというのは要するに(R,C)の上下左右のマスの意味です。
それぞれのマスの座標は以下のようになります。

それぞれのマスがマス目の中にあるか確認します。
例えばH=10,W=10で(R,C)=(1,5)の場合、
右：(R,C+1)=(1,6)=マスの中
上：(R-1,C)=(0,5)=マスの外
となります。

4つのマスがマス目の中にある条件は以下のようになります。
上(R-1,C)：1≤R-1
下(R+1,C)：R+1≤H
右(R,C+1)：C+1≤W
左(R,C-1)：1≤C-1

条件を満たしたら答えの個数を一個増やすというかたちでカウントしていきます。

入力の受け取り、出力がわからない方は以下の記事を参考にしてください。

【提出】

# 入力の受け取り
H,W=map(int,input().split())
R,C=map(int,input().split())

# 答えの個数
ans=0

# 上マスがマス目の中にあるか
if 1<=R-1:
    # 答えにプラス1
    ans+=1
# 下マスがマス目の中にあるか
if R+1<=H:
    ans+=1
# 左マスがマス目の中にあるか
if 1<=C-1:
    ans+=1
# 右マスがマス目の中にあるか
if C+1<=W:
    ans+=1

# 答えの出力
print(ans)

B - Enlarged Checker Board

例として以下の入力を考えます。
N：4
A：3
B：3

外側のN×Nの部分と、内側のA×Bの部分は分けて考えましょう。

・N=1,3,5,...と奇数の場合
　各行は白B個、黒B個、白B個、黒B個、...(N列)となります。
　これらがA行続きます。
・N=2,4,6,...と奇数の場合
　各行は黒B個、白B個、黒B個、白B個、...(N列)となります。
　これらがA行続きます。

これらをそのままfor文で書ければOKです。

【提出】

# 入力の受け取り
N,A,B=map(int,input().split())

# 外側の行
# NGyou=1~N
for NGyou in range(1,N+1):
    # 奇数の場合
    # ⇔2で割った余りが1
    if NGyou%2==1:
        # a=1~A
        for a in range(1,A+1):
            # 行の中身
            Gyou=""
            # 外側の列
            # NRretu=1~N
            for NRetu in range(1,N+1):
                # 奇数の場合
                # ⇔2で割った余りが1
                if NRetu%2==1:
                    # 白マスがB個
                    Gyou+="."*B
                # 偶数の場合
                else:
                    # 黒マスがB個
                    Gyou+="#"*B
            # 出力
            print(Gyou)

    # 偶数の場合
    else:
        # a=1~A
        for a in range(1,A+1):
            # 行の中身
            Gyou=""
            # 外側の列
            # NRretu=1~N
            for NRetu in range(1,N+1):
                # 奇数の場合
                # ⇔2で割った余りが1
                if NRetu%2==1:
                    # 黒マスがB個
                    Gyou+="#"*B
                # 偶数の場合
                else:
                    # 白マスがB個
                    Gyou+="."*B
            # 出力
            print(Gyou)

C - Adjacent Swaps

xが来るたびにxが書かれたボールがどこにあるか確認しているとTLEします。
あらかじめ全ての番号について書かれたボールがどこにあるか記録しておきましょう。

N=7の場合を考えます。
それぞれのボールの場所を数列Aで表します。すなわち最初は
A：1 2 3 4 5 6 7
となっています。
このとき同時にそれぞれのボールの場=インデックス番号も記録しておきます。

x=3が来た場合
3と4を入れ替えます。Aは以下のようになります。
A：1 2 4 3 5 6 7
同時に記録しているインデックス番号も変更します。
3は4番目、4は3番目になりました。

こうしてインデックス番号を記録しておくと次にまたx=3が来た場合、
インデックス番号の表から3が4番目にあり、5番目の5と入れ替えればよいということがすぐに(O(1)で)わかります。

実装ではxが右端の場合、すなわちxのインデックス番号=Nの場合とそうでない場合に分けることに注意してください。

Aを出力するときはAの1番目からを出力するのでprint(A[1:])となります。さらに「*」をつけることで[]なしで出力できます。

【提出】

# 入力の受け取り
N,Q=map(int,input().split())

# A=[0,1,2,...,N]
A=list(range(N+1))
# indx=[0,1,2,...,N]
indx=list(range(N+1))

# Q回
for i in range(Q):
    # 入力の受け取り
    x=int(input())

    # xのインデックス番号を確認
    x_indx=indx[x]

    # xのインデックス番号=Nの場合
    if x_indx==N:
        # xの左のボールに書いている番号
        left_x=A[x_indx-1]
        # 入れ替える
        A[x_indx],A[x_indx-1]=A[x_indx-1],A[x_indx]
        # インデックス番号を更新する
        indx[x]=x_indx-1
        indx[left_x]=x_indx

    # xのインデックス番号≠Nの場合
    else:
        # xの右のボールに書いている番号
        right_x=A[x_indx+1]
        # 入れ替える
        A[x_indx],A[x_indx+1]=A[x_indx+1],A[x_indx]
        # インデックス番号を更新する
        indx[x]=x_indx+1
        indx[right_x]=x_indx 

# Aを出力
# 0番目は不要なので1番目~
# 「*」をつけると[]なしで出力できる
print(*A[1:])

D - 250-like Number

変数がいくつか出てくる問題はまず変数のどれかを固定して考えるのがセオリーです。
本文の場合、pを固定すればpq^3≤Nとなる最大の素数qを見つけることができます。
例えばN=1000、p=2であれば2*7^3=686≤1000ですから、q=3,5,7の3つが使えるということがわかります。
※(p,q)=(2,3),(2,5),(2,7)の組が可能ということ
より一般にはpをi番目の素数、pq^3≤Nとなる最大の素数qがk番目の素数だったとして(k-i)個のqが使えます。

素数のリストはエラトステネスの篩を使って用意します。(詳しくは後述の「エラトステネスの篩」を読んで下さい)
用意するのは最大10^6までの素数で良いです。N≤10^18であるため、pが10^6を超えるとp<qよりN<p*q^3となってしまうためです。

各p(=1番目の素数,2番目の素数,...)についてpq^3≤Nとなる最大の素数qは何番目にあるか確認していきます。これは尺取法を使います。
例えばp=5番目の素数だったとき、pq^3≤Nとなる最大の素数qが15番目だったとします。
次にp=6番目の素数を考えますが、このときpq^3≤Nとなる最大の素数qは必ず15番目以下の素数となります。
(5番目の素数<6番目の素数であるからqは15番目の素数以下でなければなりません)
よって16番目以上の素数はqの候補となりません。q=15番目の素数,14番目の素数,...と減らしながらpq^3≤Nとなっているか確認していきます。
このようにpは1つずつ増え、対応するqは1つずつ減らしていくという動きが尺取り虫の動き方に似ているので尺取法といいます。

エラトステネスの篩
エラトステネスの篩は指定した数以下の素数を求めるアルゴリズムの一つです。
手順は以下です。
(1)0~Nまで全てTrueのリストIsPrimeを作る。(最終的にIsPrime=Trueのものが素数)
(2)i=2,3,...,√Nのiについて
　・iが素数でない⇔IsPrime[i]=Falseなら次のiへ
　・iが素数⇔IsPrime[i]=Trueなら
　　i*2,i*3,i*4,...についてIsPrimeをFalseにする(iの倍数は素数ではない)
(3)IsPrimeがTrueになっている数のリストを返す
計算量はちょっとややこしく、O(NloglogN)となります。詳しくは以下のサイトがわかりやすいです。

【提出】

# エラトステネスの篩
def Eratosthenes(N):
    # 素数であるかの判定リスト
    IsPrime=[True]*(N+1)

    # i=2,3,4,...
    i=2
    # i≤√Nまで⇔i^2≤Nまで
    while i**2<=N:
        # iが素数でなければ
        if IsPrime[i]==False:
            # 次のiへ
            i+=1
            continue
        
        # k=2,3,4,...
        k=2
        while i*k<=N:
            # iの倍数は素数でない
            IsPrime[i*k]=False
            # 次のkへ
            k+=1

        # 次のkへ
        i+=1

    # 素数リスト
    PList=[]

    # i=2~N
    for i in range(2,N+1):
        # iが素数ならば
        if IsPrime[i]==True:
            # リストへ入れる
            PList.append(i)

    # リストを返す
    return PList

# 入力の受け取り
N=int(input())
# 10^6以下の素数リストを作成
P=Eratosthenes(10**6)

# 答え
ans=0

# 素数リストの長さ
len_P=len(P)

# 最後の素数の番号
k=len_P-1

# i=0~(len_P-1)
for i in range(len_P):

    # p=i番目の素数
    # q=k番目の素数
    # p*q^3≤Nとなるまでkを減らしていく
    while 0<k and N<P[i]*P[k]**3:
        k-=1

    # k≤iとなったら
    if k<=i:
        # 終了
        break

    # i+1,i+2,...,k番目の素数までqとして使用できる
    # ⇔(k-i)個
    ans+=k-i

# 答えの出力
print(ans)

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