　本記事は、これまで書いた分布の記事をまとめたものです。各分布を簡単に比較できるように表にしてみました。また分布関連でよく使われるJulia言語のパッケージや関数、使い方についても簡単にまとめてあります。

Juliaの離散型確率変数のライブラリのドキュメントです。　==>Distributions/Univariate/DiscreteDistributions
Juliaの連続型確率変数のライブラリのドキュメントです。　==>Distributions/Univariate/ContinuousDistributions

#１．確率分布のまとめ

##１－１．確率分布の意味

分布名	種類	記号	意味
２項	離散	B(n;p)	成功確率pのベルヌーイ試行（２値の試行）をn回行った時の、成功する回数Xが従う確率分布
幾何	離散	Ge(p)	成功確率がである独立なベルヌーイ試行を繰り返す時、初めて成功するまでの試行回数Xが従う確率分布
ポアソン	離散	Po(λ)	nが十分大きく確率pが非常に小さい場合、「np=一定。 λ=npとして、２項分布をポアソン分布で近似する。
正規	連続	N(μ,σ)	滑らかな左右対称の山の形の確率分布平均値μが山頂で、標準偏差σが大きいほど急なカーブ。実験の測定の誤差，テストの点数などは正規分布に従う。定数μ=np、σ^2=np(1-p)として２項分布B(n;p)を近似する。
一様	連続	U(a,b)	ランダムな事象を表現する確率分布
指数	連続	Ex(λ)	期間1/λあたりに1回起きると期待される事象が 1回起きるまでの時間の分布
ガンマ	連続	G(α,ν)	期間1/αあたりに1回起こると期待されるランダムな事象が ν回起こるまでの時間の分布
ベータ	連続	Be(α,β)
コーシー	連続	C(μ,β)

##１－２．確率密度関数、平均、分散

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
分布名 & 記号 & 確率密度関数 & 平均 E[X] & 分散 V[X]\\
\hline
２項 & B(n;p) & f(k) = \begin{pmatrix} n \\k \end{pmatrix} p^k (1-p)^{n-k} & np & np(1-p)\\
\hline
幾何 & Ge(p)  & f(k)=p(1-p)^k & \frac{1-p}{p} & \frac{1-p}{p^2}\\
\hline
ポアソン & Po(\lambda)  & f(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!} & \lambda & \lambda\\
\hline
正規 & N(\mu,\sigma) & f(x) = \frac{1}{\sqrt {2\pi \sigma^2}} \exp\Biggl(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Biggr) & \mu & \sigma\\
\hline
一様 & U(a,b) & f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{b-a} & (a \leqq x \leqq b) \\
0 & (x<a\;or\;b<x)
\end{array}
\right.
 & \frac{a+b}{2} & \frac{(b-a)^2}{12}\\
\hline
指数 & Ex(λ) & f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\lambda e^{-\lambda x} & (x \geqq 0) \\
0 & (x<0)
\end{array}
\right.& \frac {1} {\lambda} & \frac {1} {\lambda^2}\\
\hline
ガンマ & G(\alpha,\nu) & f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{\Gamma (\nu)} \alpha^\nu x^{\nu-1} e^{-\alpha x} & (x \geqq 0) \\
0 & (x<0)
\end{array}
\right. & \frac{\nu}{\alpha} & \frac{\nu}{\alpha^2}\\
\hline
ベータ & Be(\alpha,\beta) & f(x) =
\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{B(\alpha,\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} & (0\leqq x \leqq 1) \\
0 & (otherwise)
\end{array}
\right. & \frac {\alpha}{\alpha + \beta} & \frac {\alpha \beta}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta)^2}\\
\hline
コーシー & C(\mu,\beta) & f(x) = \frac{1}{\pi} \frac{\alpha}{(x-\mu)^2+\alpha^2} &  & \\
\hline

\end{array}\\

\\

##１－３．分布のグラフ

各分布のグラフの形です。それぞれのグラフが持つ意味は、それぞれの分布の解説記事をご参照ください。

２項分布 Binomial(10000, 0.001)	幾何分布 Geometric(1/10)
ポアソン分布 Poisson(8)	正規分布 Normal(171,6)
一様分布 Uniform(0,5)	指数分布 Exponential(100)
ガンマ分布 Gamma(100, 0.2)

#２．Juliaで確率分布を扱う

復習ですが、分布F(x)は確率密度関数f(x)を使って以下のように定義されます。

\begin{align}
&離散型確率変数 \qquad F(x) = p(\{X \leqq x\}) = \sum_{k \leqq x} f(k)\\
&連続型確率変数 \qquad F(x) = p(\{X \leqq x\}) = \int_{-\infty}^{x} f(v) dv\\
&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad\\
\end{align}

Juliaで分布を扱うためには、Distributionsパッケージを扱います。
Distributionsパッケージには代表的な確率分布を定義する関数が提供されています。例えば正規分布N(μ,σ)に対してNormal(μ,σ)という関数が提供されていますので、これで分布を定義し、それにpdf関数を適用すると確率密度関数を計算します。cdf関数を適用すると分布を計算します。

つまり確率密度関数(Probability Density Function = PDF)の評価はpdf関数を使い、分布（累積分布関数） (Cumulative Distribution Function = CDF)の評価はcdf関数を使います。

Distributions.pdf

Distributions.pdf  # 確率密度関数
pdf(d::UnivariateDistribution, x::Real)
Evaluate the probability density (mass) at x.

Distributions.cdf

Distributions.cdf  # 確率分布
cdf(d::UnivariateDistribution, x::Real)
Evaluate the cumulative probability at x.

分布のPlotには、標準のPlotsに加えて、StatPlotsというパッケージを使っています。これはPlots.jlを拡張する機能であるrecipesを使って、統計に関する拡張を行ってます。Juliaでデータ分析を行うときは、よく使われているパッケージです。

例として平均身長171、偏差6の正規分布を考えます。

using Plots
using Distributions
using StatPlots   # これがないとエラーになります。

d=Normal(171, 6)                      # 平均171cm、標準偏差6の正規分布
println( cdf(d,175) - cdf(d,165) )    # F(175)-F(165)  = 身長165cm-175cmの確率
plot(d, fill=(0, .5,:orange))

（補足）Juliaでは破壊的な関数の名前に ! をつけるのが慣習です。

scatter(d, leg=false)         # 確率密度を散布図にする
bar!(d, func=cdf, alpha=0.3)  # 分布を棒グラフにする

分布の期待値（平均値）、分散、標準偏差などはStatisticsパッケージを用います。
https://juliastats.github.io/Distributions.jl/latest/univariate.html#Common-Interface-1

Statistics.mean   期待値
Statistics.var    分散
Statistics.std    標準偏差  i.e. = sqrt(var(d))
Statistics.median 中央値

例えば2項分布 B(10000, 0.001) に適用した例です。

using Statistics, Distributions

n=10000
p=0.001
d= Binomial(n, p)

println("平均=", n*p)                 # 自力で計算
println("平均=", Statistics.mean(d))  # 平均関数で計算
println("分散=", n*p*(1-p))           # 自力で計算
println("分散=", Statistics.var(d))   # 分散関数で計算

当然ですが、平均値と分散は、自力の計算とStatisticsの関数で計算した値は等しいです。

出力結果

平均=10.0
平均=10.0
分散=9.99
分散=9.99

#３．補足

##３－１．ガンマ関数の定義

\begin{align}
\\
&ガンマ関数の定義\\
&x>0の時\\
&\Gamma(x) =\int_{0}^{\infty} t^{x-1}e^{-t} dt\\
\\
\\
&ガンマ関数の性質\\
&[G1] \; \Gamma(1) = 1\\
\\
&[G2] \; \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) \qquad 任意の実数x \geqq 1\\ 
&\qquad とくに、\\
&\qquad \Gamma(n+1) = n! \qquad 任意の非負整数n\\
\\
&[G3] \; \Gamma = \sqrt {\pi}\\
\\
\\

\\

&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad  \\
\end{align}

##３－２．ベータ関数の定義

\begin{align}
\\
&ベータ関数の定義\\
&x>0,\; y>0の時\\
&B(x,y) =\int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt\\
\\
\\
&ベータ関数の性質\\
&[B1] \; B(x,y) = B(y,x)  \qquad 任意の実数x>0,\;y>0\\
\\
&[B2] \; B(x,y) = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2x-1}\theta \;\; \cos^{2y-1}\theta \;\;d\theta  \qquad  任意の実数x>0,\;y>0\\ 
\\
&[B3] \; B(x,y)=\frac {\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} \qquad  任意の実数x>0,\;y>0\\
\\
\\

&\qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad  \qquad  \\
\end{align}

今回は以上です。