タイトルのとおり、ECRリポジトリにCLIでプッシュする方法です。
「ブラウザ上のGUIでイメージ選択してアップロード」みたいなことは出来ないので、コマンド実行して作業する必要があります。最初はマネジメントコンソール上で簡単にできるものだと思っていました。。。

IAMユーザー・アクセスキーを用意する

ECRリポジトリにプッシュするため、リポジトリ更新権限を持つユーザーが必要です。
なければ以下の手順で作成します。

許可のオプション：ポリシーを直接アタッチ
許可ポリシー：AmazonElasticContainerRegistryPublicFullAccess
　　　　　　　※更新権限があればよいので PowerUser でもOK

AWSに接続するための認証情報（アクセスキー・シークレットアクセスキー）を取得します。
ユースケース：その他
タグ：分かれば何でもOK

作成されたアクセスキー・シークレットアクセスキーをコピーして控えておく
※後述のECRリポジトリへのプッシュ設定時に使用します

Amazon CLI インストール

以下のページから CLI をダウンロードしてインストールします。
https://aws.amazon.com/jp/cli/

CLI を使って先ほど取得した認証情報を設定します。

$ aws configure --profile {任意のプロファイル名}
AWS Access Key ID [None]: {アクセスキー}
AWS Secret Access Key [None]: {シークレットアクセスキー}
Default region name [None]: ap-northeast-1
Default output format [None]: json

ECRリポジトリにプッシュ

マネジメントコンソール上でプッシュに必要なコマンドを表示・取得する。

先ほど設定した認証情報を使って AWS にログイン

$ aws ecr get-login-password --region ap-northeast-1 | docker login --username AWS --password-stdin ********.dkr.ecr.ap-northeast-1.amazonaws.com

　
以下のように表示されたら成功

イメージのビルド・タグ付け
--no-cachでキャッシュを使用しない
※イメージ名：rails7-mysql で書いていますが、適宜置き換えてください。

$ docker build --no-cash -t rails7-mysql .
$ docker tag rails7-mysql:latest ********.dkr.ecr.ap-northeast-1.amazonaws.com/rails7-mysql:latest

　
ECR にプッシュ

$ docker push ********.dkr.ecr.ap-northeast-1.amazonaws.com/rails7-mysql:latest

※認証情報の有効期限(30日)が切れるとプッシュ時にエラーとなるので、再度上述のログインコマンドを実行する