背景

Amazon Connectの電話番号を取得するには申請が必要です。
以前は手続き無しでコンソールから取得できたそうですが、日本の規制（詐欺防止等の取り組みの一貫）により身元確認が必要となったためのようです。

サポートケースの書式がよくわからなかったのですが、とりあえず以下のようにやったらパスしました。
初めてだと迷う人が多いと思うのでシェアします。

サポートケースの内容

以下のとおりです。

項目	値・内容
言語	日本語
Case type	Account
Subject	Amazon Connect/日本の電話番号取得
Severity	General question
Category	一般情報および使用開始にあたって, AWS および各種サービスの利用
添付ファイル	法人登記簿(古い〜1年3ヶ月前〜でしたがOKでした）免許証(表・裏）
本文	以下参照

ご担当者さま

Amazon Connectを利用したく電話番号取得を申請いたします。

地域=日本
番号=050はじまり
必要な件数=1件
Amazon ConnectインスタンスARN arn:aws:connect:ap-northeast-1:アカウントID:instance/インスタンスID

法人の登記簿と代表者の身分証明書（免許証/表･裏）を添付します｡

社名 名前

参考/開通までの日数

深夜に申請して翌日(たぶん翌営業日）の午前中に申請受付メール、午後に承諾メールが届きました。
(なお、番号は承諾後に自分で取得するのかと思ったら、後述したように、AWSのほうで自動的に番号取得してくれて、インスタンスに紐付いてました。）

AWSサポートから届いたメール

申請受付メール

ご担当者様

050番号取得のご申請を承りました。

今回ご依頼いただきました内容で現在担当部署に申請をさせていただいております。
恐れ入りますが、進捗があり次第ご連絡差し上げたいと存じますので、今しばらくお待ちいただけますでしょうか。

なお、担当部署の判断により、追加の書類提出をお願いさせていただく場合もございますこと、予めご了承ください。

申請承諾メール（申請の翌々日）

ご担当者様

お待たせいたしましたが、該当 Connect インスタンスに 05012345678 という番号を紐づけいたしました。

以上ご報告とさせていただきます。