最初にお断りするのですが、↓のオプションをちゃんと使えばだいたい同じことができます。
https://docs.microsoft.com/ja-jp/dotnet/api/system.io.directory.getfiles?view=netframework-4.8

まぁなんとなくイメージできたから書いてみたかった、という程度の理由で自前実装しました。


    public void Main()
    {
        var root = "Assets/StreamingAssets/";
        var paths = new List<string>();

        // txt パスをリストに追加する
        Action<string> action = (path) =>
        {
            if (path.EndsWith(".txt")) { paths.Add(path); }
        };
        CollectPath(root, action);

        foreach (var path in paths)
        {
            // 各パスに対してやりたいこと
            Debug.Log(path);
        }
    }

    private void CollectPath(string root, Action<string> action)
    {
        var dirPaths = Directory.GetDirectories(root);
        foreach (var path in dirPaths)
        {
            // 末尾に \ が付くのを回避（★）
            var p = path + "/";
            CollectPath(p, action);
        }

        var filePaths = Directory.GetFiles(root);
        foreach (var path in filePaths)
        {
            action(path);
        }
    }

rootの値でピンとくる人も多いと思いますが、Unity 用の実装です。
環境が Windows のため何もしないと区切りが \ になってしまうので、★のところで無理やり対処しています。