マハラノビス距離

d=(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)

$x$はデータ群との距離を求めたいベクトル。
$\mu$はデータ群の平均値。
$\Sigma^{-1}$はデータ群の共分散行列の逆行列。
コレスキー分解を使うと、以下のように式変形できる。

\begin{eqnarray}
d &=& (x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu) \\
  &=& (x-\mu)^T(LL^T)^{-1}(x-\mu) \\
  &=& (L^{-1}(x-\mu))^T(L^{-1}(x-\mu)) \\
  &=& z^Tz
\end{eqnarray}

$L$はコレスキー分解によって得られる下三角行列。
$$z=(L^{-1}(x-\mu))$$ として、これを求めればあとは内積を計算するだけ。

実装

以上をpythonで実装します。

import numpy as np
from scipy.linalg import solve_triangular

def mahalanobis(x, mu, sigma):
    L = np.linalg.cholesky(sigma)
    d = x - mu
    z = solve_triangular(
        L, d.T, lower=True, check_finite=False,
        overwrite_b=True)
    squared_maha = np.sum(z * z, axis=0)
    return squared_maha

$L$はnumpyのlinalg.choleskyで求められます。
$z$はscipyのlinalg.solve_triangularで求められます。

マハラノビス距離

実装

参考