1. 電気回路と電子回路の基礎
| 分類 | 主要素子 | 定義 |
|---|---|---|
| 電気回路 (Electric Circuit) | 抵抗($\Omega$)、コンデンサ(F)、コイル(H)などの受動素子 (Passive Device) | 電力伝送や信号処理を行う |
| 電子回路 (Electronic Circuit) | トランジスタ、ダイオードなどの能動素子 (Active Device) | 半導体素子であり、電子の制御を行う (増幅、スイッチングなど) |
- 能動素子：半導体素子であり、電子の制御を行います。
- トランジスタ：Transfer of signals through variable resistor の略です。
-
電子回路の分類:
- アナログ電子回路: アナログ信号の増幅（OPアンプ）や発振。
- ディジタル電子回路: 2値 (ON or OFF, 0 or 1) の論理回路。
- アナログ・デジタル混載回路: ADC (アナログ-ディジタル変換) や DAC (ディジタル-アナログ変換) など。
2. SI単位とデシベル (dB)
| 量 | 単位名 (記号) |
|---|---|
| 電圧 | ボルト (V) |
| 電流 | アンペア (A) |
| 抵抗 | オーム ($\Omega$) |
- SI接頭語: Giga ($10^9$) から pico ($10^{-12}$) まで、量の大小を表すために使用されます。（例: milli ($10^{-3}$), micro ($\mu$, $10^{-6}$)）
-
デシベル (dB): ゲインの大きな幅を扱うのに便利な対数単位です。
- 電圧ゲイン $X$ [倍] のデシベル表示 $Y$ [dB]:
$$Y \text{ [dB]} = 20 \log_{10} X \text{ [倍]}$$ - 電力ゲイン $P_x$ [倍] のデシベル表示 $P_y$ [dB]:
$$P_y \text{ [dB]} = 10 \log_{10} P_x \text{ [倍]}$$
- 電圧ゲイン $X$ [倍] のデシベル表示 $Y$ [dB]:
3. 受動素子のインピーダンス
- インピーダンス $Z$: 交流に対する抵抗値です。虚数単位は $j$ ($j^2 = -1$) を使用します。
- 角周波数 $\omega$ と周波数 $f$ の関係は $\omega = 2\pi f$ です。
| 受動素子 | 記号 | インピーダンス $Z$ | 交流抵抗値 (絶対値) $|Z|$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 抵抗 (R) | R | $Z = R$ | $R$ |
| コイル (L) | L | $Z = j\omega L$ | $\omega L$ |
| コンデンサ (C) | C | $Z = \frac{1}{j\omega C} = -j\frac{1}{\omega C}$ | $\frac{1}{\omega C}$ |
4. 回路解析の基本法則
(1) 受動回路素子の接続とオームの法則
| 接続 | 合成インピーダンス $Z$ | 抵抗 R の合成値 | コンデンサ C の合成値 |
|---|---|---|---|
| 直列接続 | $Z_{series} = Z_1 + Z_2$ | $R_1 + R_2$ | $\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ |
| 並列接続 | $Z_{parallel} = \frac{Z_1 Z_2}{Z_1 + Z_2}$ | $\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ | $C_1 + C_2$ |
演算増幅器（OPアンプ）の内容に基づく技術解説は以下の通り。
1. 演算増幅器の基本動作
定義
OPアンプは差動入力・単一出力の高利得増幅器で、入力電圧の差を増幅する。
理想式：
v_o = A_v (v_1 - v_2)
ここで
- v₁: 非反転入力端子電圧
- v₂: 反転入力端子電圧
- A_v: 差動電圧利得（通常10⁵〜10⁶以上）
理想特性
- A_v → ∞
- 入力インピーダンス Z_in → ∞（入力電流 ≈ 0）
- 出力インピーダンス Z_out → 0
これにより入力端子間の電位差はほぼ0V、電流は流れない。
2. 負帰還と利得安定化
帰還の基本式
G = A_v / (1 + A_vβ)
- β: 帰還率（出力から入力へ戻す比）
- T = A_vβ: ループゲイン
負帰還の利点
- 利得の安定化（外部抵抗で決定）
- 周波数帯域の拡大
- インピーダンス改善
- ひずみ・雑音の低減
大きなA_vβのとき、
G ≈ 1 / β
が成立する。
3. 仮想短絡の概念
負帰還動作中、OPアンプの高利得特性により
v_1 ≈ v_2
が強制される。
これを**仮想短絡（Virtual Short）**という。
ただし電流は流れない（入力インピーダンス無限大）。
4. 基本回路の解析
(1) 非反転増幅回路
構成:
入力 v_in → (+)端子
(-)端子 → R₂, R₁ で分圧して帰還
仮想短絡より
v_x = v_in
利得は
G = (R₁ + R₂) / R₁
(2) 反転増幅回路
構成:
(+)端子をGNDに接地、
(-)端子に入力R₁と帰還R₂を接続。
仮想短絡より
v_x = 0 (Virtual Ground)
KCLより：
(v_in - 0)/R₁ = (0 - v_o)/R₂
∴
v_o = - (R₂ / R₁) v_in
負号は位相反転を意味する。
(3) 電圧フォロワ
R₁ = ∞, R₂ = 0 とした非反転構成。
G = 1, v_out = v_in
高入力・低出力インピーダンスを得る。
(4) 加算回路
仮想接地点 v_x = 0
各入力に対してKCLを適用：
(v₁ - 0)/R₁ + (v₂ - 0)/R₂ = (0 - v_o)/R_f
解くと：
v_o = - (R_f/R₁ v₁ + R_f/R₂ v₂)
複数入力の重み付き加算が可能。
(5) 減算回路
(+), (-)端子双方に入力を分配。
分圧抵抗を考慮して：
v_y = (R₂ / (R₁ + R₂)) v₂
v_x = v_y
KCL適用後：
v_o = (R₂ / R₁)(v₂ - v₁)
二つの入力差を出力。
演算増幅器（OPアンプ）の基本と回路構成
演算増幅器の理想特性
OPアンプは、直流から高周波まで増幅できる差動高利得増幅器です。
| 特性 | 理想値 |
|---|---|
| (差動)電圧利得 $A_v$ | きわめて大きい ($A_v \gg 1$) |
| 入力インピーダンス $Z_{in}$ | きわめて大きい ($Z_{in}=\infty$) |
| 出力インピーダンス $Z_{out}$ | きわめて小さい ($Z_{out}=0$) |
-
基本機能:
$$v_{out}=A_{v}(v_{in+}-v_{in-})$$
OPアンプの回路構成
高利得化のため、複数段の増幅回路を縦続接続します。
- 入力段: 差動増幅回路
- 出力段: 増幅回路
-
全電圧利得 $A_v$:
$$v_{o}=A_{1}A_{2}(v_{1}-v_{2})$$
$$A_{v}=A_{1}\cdot A_{2}$$
MOSトランジスタの基本特性と増幅回路
相互コンダクタンス $g_{m}$
MOSFETが飽和領域で動作する場合、直流ドレイン電流 $I_D$ と相互コンダクタンス $g_m$ は以下の式で表されます。
-
基本特性（直流ドレイン電流 $I_D$）:
$$I_{D}=K(V_{GS}-V_{T})^{2}$$ -
相互コンダクタンス $g_{m}$: 微小なゲート・ソース間電圧の変化 $\Delta V_{GS}$ に対するドレイン電流の変化 $\Delta I_D$ の比率。小信号（交流）ドレイン電流 $i_d$ と小信号ゲート・ソース間電圧 $v_{gs}$ の比。
$$g_{m}=\frac{\Delta I_{D}}{\Delta V_{GS}}=\frac{i_{d}}{v_{gs}}$$ -
$g_{m}$ の計算式:
$$g_{m}=2K(V_{GS}-V_{T})=2\sqrt{K\cdot I_{D}}$$
1. 抵抗負荷のソース接地増幅回路
小信号等価回路と電圧利得
- ソース接地増幅回路の小信号等価回路では、MOSFETを電圧制御電流源（$i_d = g_m v_{gs}$）として扱います。
- 小信号電圧利得 $A_v$ は、小信号出力電圧 $v_2$ と小信号入力電圧 $v_1$ の比です。
$$v_{gs}=v_{1}, \quad i_{d}=g_{m}v_{1}$$
$$v_{2}=-i_{d}R_{L}=-g_{m}R_{L}v_{1}$$ -
電圧利得 $A_{v}$:
$$A_{v}=v_{2}/v_{1}=-g_{m}R_{L}$$
現実の特性（チャネル長変調効果によるゲイン低下）
現実のMOSFETでは、ドレイン・ソース間電圧 $V_{DS}$ の影響で $I_D$-$V_{DS}$ 曲線にわずかな傾きが生じます（チャネル長変調効果）。
- この傾きは出力抵抗 $r_o$ の逆数 ($1/r_o$) に相当します。
$$r_{o}=(1/\lambda)/I_{DQ}=\frac{1}{\lambda I_{DQ}}$$ - 負荷抵抗 $R_L$ に出力抵抗 $r_o$ が並列に接続されたと見なされ、利得が低下します。
-
電圧利得 $A_{v}$ (現実):
$$A_{v}=-g_{m}(R_{L}//r_{o})$$
2. 定電流源を負荷としたソース接地増幅回路
高利得化の原理
抵抗負荷 $R_L$ を大きくすることで利得を上げられますが、飽和領域動作を確保するために電源電圧も高くする必要があるという問題点があります。
そこで、負荷に高抵抗として振る舞う定電流源（pMOS $M_2$）を使用することで、大きな利得を得ることができます。
- $M_2$ の寄生（交流）抵抗 $r_{o2}$ と $M_1$ の寄生（交流）抵抗 $r_{o1}$ が負荷として並列接続されます。
$$r_{o}=(r_{o1}//r_{o2})=\frac{r_{o1}\cdot r_{o2}}{r_{o1}+r_{o2}}$$ -
電圧利得 $A_{v}$ (定電流源負荷):
$$A_{v}=v_{2}/v_{1}=-g_{m}r_{o}=-g_{m}(r_{o1}//r_{o2})$$ - 通常、寄生交流抵抗 $r_o$ は負荷抵抗 $R_L$ より十分大きいため、定電流源負荷のゲインは抵抗負荷のゲインより十分大きくなります。
$$g_{m}(r_{o1}//r_{o2})\gg g_{m}(r_{o1}//R_{L})$$
3. 差動増幅回路
抵抗負荷の差動増幅回路
- 入力 $v_1$ と $v_2$ が逆極性で変化する場合、ソース電圧 $v_S$ は変化せず、交流的に $0\text{V}$ となります。
-
小信号差動利得 $A_v$: 差動出力 $v_{o1}-v_{o2}$ と差動入力 $v_1-v_2$ の比。
$$A_{v}=\frac{v_{o1}-v_{o2}}{v_{1}-v_{2}}=-g_{m}R_{L}$$ - ソース接地増幅回路と同じ利得となります。
定電流源を負荷とした差動増幅回路I
- 負荷にpMOSトランジスタ $M_{p1}, M_{p2}$ を定電流源として使用し、高利得化を図ります。
- この回路は、ソース接地増幅回路の定電流源負荷と等価な利得を持ちます。
-
差動利得 $A_{d}$:
$$A_{d}=\frac{v_{o1}-v_{o2}}{v_{1}-v_{2}}=-g_{m}(r_{op}//r_{on})$$ -
単出力利得 $A_{Vb}$:
$$A_{Vb}=\frac{v_{o1}}{v_{1}-v_{2}}=-\frac{g_{m}}{2}(r_{op}//r_{on})$$ - ここで、$r_{op}$ は $M_{p}$ の出力抵抗、$r_{on}$ は $M_{n}$ の出力抵抗です。
- $A_d$ は負の値（負のゲイン）となります。
1. MOSFETの直流特性と理想特性
理想特性（飽和領域）
チャネル長変調効果を無視した場合のドレイン電流 $I_D$ は、以下の式で表されます。
$$I_D = K(V_{GS} - V_T)^2$$
ここで、
- $K$ は定数で、$\mu \frac{C_{ox}}{2} \frac{W}{L}$ に比例します（$C_{ox}$ はゲート酸化膜の単位面積あたりの容量、$W$ はチャネル幅、$L$ はチャネル長）。
- $V_{GS}$ はゲート・ソース間電圧。
- $V_T$ はしきい値電圧。
現実の特性（チャネル長変調効果あり）
チャネル長変調効果を考慮すると、出力抵抗 $r_o$ が有限となり、ドレイン電流 $I_D$ は次のように修正されます。
$$I_D = K(V_{GS} - V_T)^2 (1 + \lambda V_{DS})$$
ここで、
- $\lambda$ はチャネル長変調効果パラメータで、$\lambda = \frac{1}{r_o \cdot I_{DQ}}$（$I_{DQ}$ はある動作点での直流電流）で定義されます。
- $V_{DS}$ はドレイン・ソース間電圧。
2. 小信号モデルのパラメータ導出
小信号モデル（交流成分）のパラメータは、直流動作点 $(V_{GSQ}, V_{DSQ}, I_{DQ})$ 周りでの微分によって求められます。
理想特性からの導出
| パラメータ | 数式 |
|---|---|
| 相互コンダクタンス $g_m$ | $$g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} = 2K(V_{GS} - V_T) = 2\sqrt{KI_D}$$ |
| 出力抵抗 $r_o$ | $$\frac{1}{r_o} = \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} = 0 \quad (\text{理想的なため})$$ |
| 小信号電流 $i_d$ | $$i_d = g_m v_{gs}$$ |
現実の特性（チャネル長変調効果あり）からの導出
| パラメータ | 数式 |
|---|---|
| 相互コンダクタンス $g_m$ | $$g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} = 2K(V_{GS} - V_T) = 2\sqrt{KI_D}$$ |
| 出力抵抗 $r_o$ | $$\frac{1}{r_o} = \frac{\partial I_D}{\partial V_{DS}} = \lambda K(V_{GS} - V_T)^2 = \lambda I_{DQ}$$ |
| 小信号電流 $i_d$ | $$i_d = g_m v_{gs} + \frac{1}{r_o} v_{ds} = g_m v_{gs} + \frac{v_{ds}}{r_o}$$ |
注釈:
- 小信号成分は $i_d, v_{ds}, v_{gs}$ で表されます。
- 理想的な小信号等価回路では電流源の並列抵抗は無限大（開放）ですが、現実のモデルでは有限の抵抗 $r_o$ が並列に接続されます。
3. 利得（ゲイン）への影響
チャネル長変調効果 $r_o$ は、増幅回路の電圧利得に影響を与えます。
理想的なゲイン $A_v$ (ソース接地)
$$A_v = -g_m R_L$$
現実のゲイン $A_v$ (チャネル長変調効果あり、ソース接地)
出力端子に $r_o$ が並列に接続されるため、出力インピーダンスが変化し、ゲインは低下します。
$$A_v = -g_m (R_L // r_o) = -\frac{g_m R_L}{1 + R_L/r_o}$$
（画像では $\text{ゲイン} Av = -g_m (R_L // r_o)$ と示されています。分母が $1$ となるのは、$\frac{1}{g_m + 1/r_o + 1/R_L}$ のような式から $g_m$ を共通因数にした場合の変形結果として現れることがあります。）
# Program Name: mosfet_gain_analysis.py
# Creation Date: 20251021
# Overview: Plot voltage gain (Av) of a MOSFET common-source amplifier
# comparing ideal and real (with channel-length modulation) models.
# Usage: Run in Google Colab or any Python environment.
# Graph shows Av vs load resistance (R_L).
!pip install numpy matplotlib
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# =========================
# Parameters (user editable)
# =========================
gm = 5e-3 # Transconductance [S]
lambda_clm = 0.02 # Channel-length modulation parameter [1/V]
IDQ = 1e-3 # Quiescent drain current [A]
# Output resistance due to channel-length modulation
ro = 1 / (lambda_clm * IDQ) # [ohm]
RL = np.logspace(2, 6, 500) # Load resistance range [ohm]
# =========================
# Gain calculation
# =========================
Av_ideal = -gm * RL
Av_real = -gm * (RL * ro) / (RL + ro)
# =========================
# Plot
# =========================
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.semilogx(RL, Av_ideal, label='Ideal: $A_v=-g_m R_L$')
plt.semilogx(RL, Av_real, label='Real: $A_v=-g_m (R_L // r_o)$', linestyle='--')
plt.title('Voltage Gain vs Load Resistance (MOSFET Common-Source)')
plt.xlabel('Load Resistance $R_L$ [Ω]')
plt.ylabel('Voltage Gain $A_v$ [V/V]')
plt.grid(True, which='both', ls=':')
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()