回路のPythonプログラミング課題

(1) RC回路の伝達関数を導出し、周波数特性を描画せよ

RC回路の出力電圧 $V_{out}(\omega)$ は入力 $V_{in}(\omega)$ に対して次式で表されます：

$$
H(j\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)} = \frac{1}{1 + j\omega RC}
$$

Pythonを使って次を行いなさい：

1. $R = 1\text{k}\Omega, C = 100\text{pF}$ とする。
2. 周波数 $f = 10^2$ Hz ～ $10^8$ Hz の範囲で、
   ゲイン $|H(j\omega)|$ と位相 $\angle H(j\omega)$ を計算せよ。
3. Matplotlibを用いてボード線図（ゲイン[dB], 位相[deg]）を描画せよ。
4. -3 dBとなるカットオフ周波数を求め、グラフ上にマーカーを描け。

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(2) ステップ応答をシミュレーションせよ

入力電圧が単位ステップ（0から1に立ち上がる）としたときの微分方程式は次式です：

$$
RC \frac{dV_{out}(t)}{dt} + V_{out}(t) = V_{in}(t)
$$

1. Pythonでこの微分方程式をシミュレーションし、$V_{out}(t)$ を数値的に解け。
   （Scipyの signal.lti や signal.step を使ってもよい）
2. 応答波形を時間領域で描画せよ。
3. $V_{out}(t)$ が 0.9 に到達する時間を数値的に求めよ。
   （NumPyで条件を満たすインデックスを探索）

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(3) 発展課題

1. $R$ と $C$ を変数にし、複数の組み合わせで周波数特性とステップ応答を比較せよ。
2. 実際のADC入力回路のように「有限インパルス応答」を持つことを確認せよ。

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# ================== Parameters / パラメータ ==================
R = 1e3        # Resistance [ohm]
C = 100e-12    # Capacitance [F]
RC = R * C

fmin, fmax = 1e2, 1e8   # Frequency range [Hz]
f = np.logspace(np.log10(fmin), np.log10(fmax), 1000)
omega = 2 * np.pi * f

# ================== (1) Frequency Response / 周波数特性 ==================
H = 1 / (1 + 1j * omega * RC)  # Transfer function
gain = 20 * np.log10(np.abs(H))  # Gain [dB]
phase = np.angle(H, deg=True)    # Phase [deg]

# Cutoff frequency (-3 dB point)
fc = 1 / (2 * np.pi * RC)
wc = 2 * np.pi * fc
Hc = 1 / (1 + 1j * wc * RC)
gain_c = 20 * np.log10(np.abs(Hc))
phase_c = np.angle(Hc, deg=True)

plt.figure(figsize=(10,6))
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(f, gain, 'b', label="Gain [dB]")
plt.axvline(fc, color='r', linestyle='--')
plt.plot(fc, gain_c, 'ro', label="-3 dB point")
plt.title("RC Low-Pass Filter Frequency Response")
plt.ylabel("Gain [dB]")
plt.grid(True, which="both")
plt.legend()

plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(f, phase, 'g', label="Phase [deg]")
plt.axvline(fc, color='r', linestyle='--')
plt.plot(fc, phase_c, 'ro')
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Phase [deg]")
plt.grid(True, which="both")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

print(f"Cutoff frequency fc = {fc:.2e} Hz")

# ================== (2) Step Response / ステップ応答 ==================
# Transfer function H(s) = 1 / (RC s + 1)
num = [1]
den = [RC, 1]
system = signal.lti(num, den)

t = np.linspace(0, 5*RC, 1000)
t, y = signal.step(system, T=t)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t, y, 'b', label="Step Response Vout(t)")
plt.axhline(0.9, color='r', linestyle='--', label="0.9 level")
plt.title("RC Circuit Step Response")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Vout(t)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# Find time when output reaches 0.9
idx = np.where(y >= 0.9)[0][0]
t_90 = t[idx]
print(f"Vout(t) reaches 0.9 at t = {t_90:.4e} s")

# ================== (3) Advanced: Compare different R, C ==================
R_list = [1e3, 5e3]      # [ohm]
C_list = [100e-12, 1e-9] # [F]

plt.figure(figsize=(10,6))
for R in R_list:
    for C in C_list:
        RC = R*C
        H = 1 / (1 + 1j*omega*RC)
        gain = 20*np.log10(np.abs(H))
        plt.semilogx(f, gain, label=f"R={R:.0e}Ω, C={C:.0e}F")
plt.title("Frequency Response with Different R,C")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Gain [dB]")
plt.grid(True, which="both")
plt.legend()
plt.show()

plt.figure(figsize=(10,6))
for R in R_list:
    for C in C_list:
        RC = R*C
        num = [1]
        den = [RC, 1]
        system = signal.lti(num, den)
        t = np.linspace(0, 5*RC, 1000)
        t, y = signal.step(system, T=t)
        plt.plot(t, y, label=f"R={R:.0e}Ω, C={C:.0e}F")
plt.title("Step Response with Different R,C")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Vout(t)")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

1. フーリエ級数による矩形波の生成

フーリエ級数の積和を用いて、振幅が [0V, 1V] となる矩形波を作成してください。
ヒント：奇数次高調波を足し合わせて矩形波を近似します。

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2. for文を使わずに実装

課題1で作成した矩形波を、for文を使わずにベクトル演算（NumPy配列のブロードキャストやsum関数） で実装してください。

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3. 一部が欠けた円の描画

半径1の円をプロットしてください。ただし、90°～180°の部分は欠けるようにしてください。
ヒント：極座標で角度 θ を制御して、該当区間をマスクして描画します。

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4. PythonでADCを模擬的に作成

簡単なADCをPythonで作成してください。

• 入力レンジは [-1V, 1V]
• 分解能は 4bit (16レベル)
• （ライブラリに依存せず、自作で量子化処理を行う）

課題内容：

1. 振幅が1Vの正弦波をADCに入力した場合、入力波形と量子化後の出力波形を同じグラフに表示してください。
2. -1.5V～+1.5V のランプ波をADCに入力した場合も同様に、入力波形と出力を表示してください。

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ================== Parameters / パラメータ ==================
fs = 1000               # Sampling frequency [Hz]
T = 1                   # Duration [s]
N = fs * T              # Number of points
t = np.linspace(0, T, N, endpoint=False)  # Time axis

harmonics = 25          # Number of harmonics for Fourier series
A_square = 0.5          # Square wave amplitude offset
Vpp = 1.0               # Peak-to-peak = 1V, range [0,1]

circle_radius = 1.0     # Circle radius
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)

adc_bits = 4            # ADC resolution
adc_min = -1.0          # ADC input range minimum
adc_max = 1.0           # ADC input range maximum

# ================== 1. Fourier Series Square Wave ==================
n = np.arange(1, harmonics*2, 2)[:, None]   # odd harmonics as column vector
terms = (1/n) * np.sin(2*np.pi*n*t)         # broadcast to (harmonics, N)
square_wave = A_square + (2/np.pi) * np.sum(terms, axis=0) * (Vpp/2)

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(t, square_wave, label="Fourier Square Wave [0-1V]")
plt.title("Square Wave Approximation by Fourier Series")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# ================== 2. Circle with missing sector (through origin) ==================
x = circle_radius * np.cos(theta)
y = circle_radius * np.sin(theta)
mask = ~((theta >= np.pi/2) & (theta <= np.pi))  # exclude 90°–180°

plt.figure(figsize=(5,5))
plt.plot(x[mask], y[mask], 'b')             # 円弧
# 欠け部分を原点で結ぶ線を追加 / Add lines from origin
plt.plot([0, -circle_radius], [0, 0], 'r--')  # negative x-axis
plt.plot([0, 0], [0, circle_radius], 'r--')  # positive y-axis

plt.gca().set_aspect("equal", adjustable="box")
plt.title("Circle with Missing 90°–180° Sector (through origin)")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.grid(True)
plt.show()

# ================== 3. Simple ADC Function ==================
def adc_quantize(x, bits, vmin, vmax):
    """
    自作ADC量子化処理 / Manual ADC quantization
    """
    levels = 2**bits
    step = (vmax - vmin) / levels
    q = np.round((x - vmin)/step) * step + vmin
    q = np.clip(q, vmin, vmax - step)
    return q

# --- (a) Sine input ---
f_in = 5  # [Hz]
x_sin = np.sin(2*np.pi*f_in*t)
y_sin_q = adc_quantize(x_sin, adc_bits, adc_min, adc_max)

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(t, x_sin, label="Input Sine [V]")
plt.step(t, y_sin_q, where="mid", label="Quantized Output [V]")
plt.title("4-bit ADC with Sine Input")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# --- (b) Ramp input ---
x_ramp = np.linspace(-1.5, 1.5, N)
y_ramp_q = adc_quantize(x_ramp, adc_bits, adc_min, adc_max)

plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(t, x_ramp, label="Input Ramp [V]")
plt.step(t, y_ramp_q, where="mid", label="Quantized Output [V]")
plt.title("4-bit ADC with Ramp Input")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

% ================== Parameters / パラメータ ==================
fs = 1000;              % Sampling frequency [Hz]
T = 1;                  % Duration [s]
N = fs * T;             % Number of points
t = linspace(0, T, N);  % Time axis

harmonics = 25;         % Number of harmonics for Fourier series
A_square = 0.5;         % Square wave amplitude offset
Vpp = 1.0;              % Peak-to-peak = 1V, range [0,1]

circle_radius = 1.0;    % Circle radius
theta = linspace(0, 2*pi, 1000);

adc_bits = 4;           % ADC resolution
adc_min = -1.0;         % ADC input range minimum
adc_max = 1.0;          % ADC input range maximum

% ================== 1. Fourier Series Square Wave ==================
n = (1:2:(harmonics*2-1))';      % odd harmonics as column vector
terms = (1./n) * sin(2*pi*n*t); % broadcasting
square_wave = A_square + (2/pi) * sum(terms, 1) * (Vpp/2);

figure;
plot(t, square_wave);
title("Square Wave Approximation by Fourier Series");
xlabel("Time [s]"); ylabel("Amplitude [V]");
grid on;

% ================== 2. Circle with missing sector ==================
x = circle_radius * cos(theta);
y = circle_radius * sin(theta);
mask = (theta < pi/2) | (theta > pi); % exclude 90°–180°

figure;
plot(x(mask), y(mask), 'b'); hold on;
% 欠け部分を原点で結ぶ線
plot([0, -circle_radius], [0, 0], 'r--'); % negative x-axis
plot([0, 0], [0, circle_radius], 'r--'); % positive y-axis
axis equal;
title("Circle with Missing 90°–180° Sector (through origin)");
xlabel("x"); ylabel("y");
grid on;

% ================== 3. Simple ADC Function ==================
function q = adc_quantize(x, bits, vmin, vmax)
    levels = 2^bits;
    step = (vmax - vmin) / levels;
    q = round((x - vmin)/step) * step + vmin;
    q(q > vmax - step) = vmax - step; % clipping
    q(q < vmin) = vmin;
end

% --- (a) Sine input ---
f_in = 5;  % [Hz]
x_sin = sin(2*pi*f_in*t);
y_sin_q = adc_quantize(x_sin, adc_bits, adc_min, adc_max);

figure;
plot(t, x_sin, 'b'); hold on;
stairs(t, y_sin_q, 'r');
title("4-bit ADC with Sine Input");
xlabel("Time [s]"); ylabel("Amplitude [V]");
grid on;

% --- (b) Ramp input ---
x_ramp = linspace(-1.5, 1.5, N);
y_ramp_q = adc_quantize(x_ramp, adc_bits, adc_min, adc_max);

figure;
plot(t, x_ramp, 'b'); hold on;
stairs(t, y_ramp_q, 'r');
title("4-bit ADC with Ramp Input");
xlabel("Time [s]"); ylabel("Amplitude [V]");
grid on;

(1) ΔΣ変調器のシミュレーション

1. Python（NumPy + Matplotlib）を用いて、1次の ΔΣ変調器を実装せよ。

   • 入力信号: 正弦波 sin(2π f_in t)
   • サンプリング周波数 Fs = 2^14
   • 入力振幅 1V
   • 入力周波数 f_in = 17 Hz

2. 変調器は以下の構造を持つ：

   • 加算器 (入力 - 1ビットDACの出力)
   • 積分器（離散時間積分）
   • 量子化器（sign関数で ±1 に変換）
   • 1ビットDAC（量子化結果をアナログ側に戻す）

---

(2) 出力波形の確認

1. 入力正弦波と ΔΣ出力を時間波形として同じグラフに描け。
2. ΔΣ出力は ±1 の矩形パルス系列になることを確認せよ。

---

(3) スペクトル解析

1. ΔΣ出力を高速フーリエ変換（FFT）してパワースペクトルを描け。
2. 信号帯域（低周波成分）に入力信号が存在することを確認し、
   高周波に量子化雑音が押し出される（ノイズシェーピング）ことを示せ。

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ======================== Parameters / パラメータ ========================
Fs = 2**14          # Sampling frequency [Hz] / サンプリング周波数
f_in = 17           # Input sine frequency [Hz] / 入力信号周波数
A = 1.0             # Input amplitude [V] / 入力振幅
N = 8192            # Number of samples / サンプル数

# ======================== Input Signal / 入力信号 ========================
n = np.arange(N)                      # time index / 離散時間インデックス
x = A * np.sin(2*np.pi*f_in*n/Fs)     # input sinewave / 入力サイン波

# ======================== Delta-Sigma Modulator / ΔΣ変調器 ========================
v_int = 0.0               # integrator state / 積分器の状態
y_out = np.zeros(N)       # output sequence / 出力信号系列
dac_out = 0.0             # 1-bit DAC output / 1ビットDAC出力

for i in range(N):
    e = x[i] - dac_out             # adder: input - DAC / 加算器
    v_int += e                     # integrator / 積分器
    y_q = 1 if v_int >= 0 else -1  # quantizer: sign / 量子化器
    y_out[i] = y_q                 # output assignment / 出力保存
    dac_out = y_q                  # 1-bit DAC feedback / 1ビットDAC出力

# ======================== (2) Time-domain Waveform / 時間領域波形 ========================
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(n[:500]/Fs, x[:500], label="Input Sinewave")
plt.step(n[:500]/Fs, y_out[:500], where='post', label="ΔΣ Output (±1)")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Amplitude")
plt.title("Time-Domain Waveform of Delta-Sigma Modulator")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# ======================== (3) Spectrum Analysis / スペクトル解析 ========================
Xf = np.fft.rfft(y_out * np.hanning(N))   # apply window / 窓関数を適用
f_axis = np.fft.rfftfreq(N, d=1/Fs)       # frequency axis / 周波数軸
Pxx = 20*np.log10(np.abs(Xf)/np.max(np.abs(Xf)))  # normalized dB / 正規化dB

plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(f_axis, Pxx)
plt.xlim(0, 2000)  # show baseband region / 基本帯域を表示
plt.ylim(-120, 5)
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Magnitude [dB]")
plt.title("Spectrum of ΔΣ Output (Noise Shaping Demonstration)")
plt.grid(True)
plt.show()

Pythonプログラミング問題

問題：SAR-ADCの二分探索アルゴリズムを実装せよ

背景

逐次比較型ADC（SAR-ADC）は、入力電圧を 二分探索（Binary Search） によって量子化する方式のADCである。
NビットのSAR-ADCは、上位ビットから順に比較を行い、入力値がDACの出力より大きいか小さいかを判定しながら、最終的にNビットのデジタルコードを決定する。

---

問題文

次の条件に従って、SAR-ADCのアルゴリズムをPythonで実装せよ。

• 入力アナログ電圧 Vin が与えられる。範囲は Vmin = 0.0 [V] ～ Vmax = 1.0 [V] とする。
• 分解能は N = 4 ビットとし、量子化レベル数は 2^N = 16。
• SAR-ADCの逐次比較アルゴリズムを模擬し、入力電圧を 4ビットのデジタルコード に変換せよ。

アルゴリズムは以下の手順に従うこと。

1. SARレジスタのMSBを1に設定する（例: 1000）。

2. 内部DACの出力値と入力Vinを比較する。

   • Vin >= Vdac ならビットを保持。
   • Vin < Vdac ならビットを0に戻す。

3. 次のビットを1に設定して比較する。

4. 全ビットについて繰り返し、最終的なデジタルコードを求める。

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ======================
# SAR-ADC Function
# ======================
def sar_adc(Vin, N=4, Vmin=0.0, Vmax=1.0):
    """
    SAR-ADC 二分探索アルゴリズム
    Vin   : 入力アナログ電圧
    N     : 分解能（ビット数）
    Vmin  : 入力範囲最小値
    Vmax  : 入力範囲最大値
    """
    code = 0
    steps = []
    for i in range(N):
        # 試しにこのビットを立てる
        trial_code = code | (1 << (N - 1 - i))
        Vdac = Vmin + (Vmax - Vmin) * trial_code / (2**N)
        if Vin >= Vdac:
            code = trial_code
            decision = "keep"
        else:
            decision = "clear"
        steps.append((format(trial_code, f"0{N}b"), Vdac, decision))
    return code, steps

# ======================
# Example Run
# ======================
Vin = 0.7
N = 4
Vmin, Vmax = 0.0, 1.0

final_code, steps = sar_adc(Vin, N, Vmin, Vmax)

# 結果表示
print(f"Vin = {Vin:.2f} V")
print("SAR steps:")
for bincode, Vdac, decision in steps:
    print(f"Trial {bincode} -> Vdac={Vdac:.4f} V → {decision}")
print(f"\nFinal code = {format(final_code, f'0{N}b')} (binary) = {final_code} (decimal)")

# ======================
# Visualization
# ======================
plt.figure(figsize=(8,5))
plt.axhline(Vin, color="g", linestyle="--", label=f"Vin = {Vin:.2f} V")
trial_indices = np.arange(1, N+1)
Vdacs = [V for _, V, _ in steps]

plt.step(trial_indices, Vdacs, where="mid", label="DAC trial value", color="b")
plt.plot(trial_indices, Vdacs, "o", color="b")
plt.xticks(trial_indices, [f"Step {i}" for i in trial_indices])
plt.title("SAR-ADC Binary Search Process")
plt.xlabel("Comparison Step")
plt.ylabel("Voltage [V]")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

---

(1) RC回路の周波数特性とステップ応答

理論式

• 伝達関数：

  $$
  H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}
  $$

• ゲイン：

  $$
  |H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}
  $$

• 位相：

  $$
  \angle H(j\omega) = -\tan^{-1}(\omega RC)
  $$

• カットオフ周波数（−3 dB点）：

  $$
  f_c = \frac{1}{2\pi R C}
  $$

• ステップ応答：
  微分方程式

  $$
  RC \frac{dV_{out}(t)}{dt} + V_{out}(t) = 1
  $$

  初期条件 $V_{out}(0) = 0$ の解：

  $$
  V_{out}(t) = 1 - e^{-t/(RC)}
  $$

課題

1. $R = 1\text{k}\Omega, C = 100\text{pF}$ のとき、周波数範囲 $10^2$ Hz ～ $10^8$ Hz で $ |H(j\omega)|$ と $\angle H(j\omega)$ を計算し、ボード線図を描け。
2. 上の回路のカットオフ周波数を理論式で求め、それをプロットにマークせよ。
3. 単位ステップ入力 $u(t)$ を入力として、応答 $V_{out}(t)$ を数値的にシミュレーションし、理論的時定数 $\tau = R C$ と比較せよ。

---

(2) MOSFET の Id-Vds 特性（NMOS / PMOS）

素子レベルの理論式

• デバイス定数：

  $$
  k = \mu C_{ox} \frac{W}{L}
  $$

  NMOS 用 $k_n$、PMOS 用 $k_p$。

• NMOS のドレイン電流式（チャネル長変調 無し／有り）：

  $$
  I_{d,n} =
  \begin{cases}
  0, & V_{gs} < V_{thn} \
  k_n\left[(V_{gs}-V_{thn})V_{ds} - \frac{V_{ds}^2}{2}\right], & 0 \le V_{ds} < V_{gs}-V_{thn} \quad (\text{線形領域}) \
  \frac{k_n}{2}(V_{gs}-V_{thn})^2, & V_{ds} \ge V_{gs}-V_{thn} \quad (\text{飽和領域})
  \end{cases}
  $$

  チャネル長変調を含めると飽和領域で：

  $$
  I_{d,n} = \frac{k_n}{2}(V_{gs}-V_{thn})^2 (1 + \lambda_n V_{ds})
  $$

• PMOS の式は符号を反転し、ゲート‐対‐ソース電圧 $V_{sg}$、ソース‐ドレイン電圧 $V_{sd}$ を使う類似形式。

• トランスコンダクタンス：

  $$
  g_{m,n} = \frac{\partial I_{d,n}}{\partial V_{gs}} = k_n (V_{gs} - V_{thn}) \quad (\text{飽和領域})
  $$

課題

1. NMOS および PMOS の $I_d - V_{ds}$ 特性を、複数の $V_{gs}$（または $V_{sg}$）でプロットせよ。
2. $g_m$ を飽和領域で計算し、$V_{gs} - V_{thn}$ の関数としてプロットせよ。

---

(3) NMOSソース接地アンプ

理論式

• 入力信号：

  $$
  v_{in}(t) = 0.025 \sin(2\pi \cdot 1000 t)
  $$

• 増幅率（小信号近似）：

  $$
  A_v = - g_m R_D
  $$

  ただし $g_m = k_n (V_{gs} - V_{thn})$, $R_D$ はドレイン抵抗。

• 出力電圧：

  $$
  v_{out}(t) = A_v \cdot v_{in}(t)
  $$

  ただし電源電圧 $V_{DD}$ による制限（クリッピング）がある場合を考慮する。

課題

• パラメータ例として $k_n, V_{thn}, R_D$ を仮定せよ（例：$k_n = 200\ \mu A/V^2, V_{thn} = 0.7V, R_D = 1\text{ k}\Omega$）。
• Python で入力波形と出力波形を生成し、クリップを入れた結果をプロットせよ。

---

(4) NMOS差動アンプ

理論式

• 差動入力：

  $$
  v_{id}(t) = 0.01 \sin(2\pi \cdot 10^6 t)
  $$

• 出力（理想差動増幅）：

  $$
  v_{out}(t) = A_v \cdot v_{id}(t), \quad A_v = g_m R_D
  $$

• テール電流制約：
  差動ペアに流せる電流 $I_{tail}$ が2 mA とすると、各トランジスタの $I_d$ は合計でこれを超えないようにする。

課題

• NMOS 差動対のパラメータ（例：$k_n, V_{thn}, R_D, I_{tail}$）を仮定せよ。
• Python で入力‐差動信号と出力信号をシミュレーションし、テール電流制約による飽和やクリッピングが起きる領域も観察せよ。

---

(5) CMOS NAND回路

理論式

• 真理値表： $Y = \overline{A \cdot B}$

• プルアップ（PMOS 並列）、プルダウン（NMOS 直列）による構成。

• 遅延時間近似：

  $$
  t_{pd} = 0.69 R_{eq} C_L
  $$

  ここで $R_{eq}$ は入力が変化したときの等価抵抗、$C_L$ は負荷容量。

課題

• 真理値表を Python で生成せよ。
• 複数の $C_L$（例：1 pF、10 pF、100 pF）を仮定し、遅延時間を計算・プロットせよ。

また、NOT回路（CMOSインバータ）をシグモイド関数で近似し，電源電圧 (V_{DD})，トランジスタ寸法 (W/L) を含めて表すと以下になる。
(1) 基本式（電圧入力 → 電圧出力）
Vout = VDD * (1 - 1 / (1 + exp(-k * (Vin - VM))))

(2) パラメータ定義
VDD : 電源電圧 例) 1.8 V, 3.3 V
VM : 反転点（スイッチング閾値） NMOS/PMOS比で決定
k : 遷移の鋭さを決める係数 k ∝ sqrt( μp * (W/L)p / (μn * (W/L)n) )

(3) MOS寸法との関係（スイッチング点近似）
μn * ((W/L)n / (W/L)p) * ((VM - Vtn) / (VDD - VM - |Vtp|))^2 = 1

μn, μp : 電子・正孔移動度
Vtn, Vtp : NMOS/PMOSのしきい値電圧

(4) 解釈
(W/L)n ↑ → VM ↓ （NMOS強 → 出力0側に寄る）
(W/L)p ↑ → VM ↑ （PMOS強 → 出力1側に寄る）
VDD ↑ → 出力スイング幅が拡大し、シグモイドの上下限が広がる

(6) CMOSインバータ（NOT回路）

理論式

• NMOS と PMOS が補完的動作する回路。静的電流は通常ゼロ（入力が定常状態のとき）。

• 電流平衡条件で VTC を導出：NMOS の漏れ電流／飽和電流式と、PMOS の式を使って $I_{d,n}(V_{in}, V_{out}) = I_{d,p}(V_{in}, V_{out})$ と設定する。

• 簡略な転移特性例：

  $$
  V_{out} \approx \frac{k_p (V_{DD}-V_{in}-|V_{thp}|)^2}{k_n (V_{in}-V_{thn})^2 + k_p (V_{DD}-V_{in}-|V_{thp}|)^2} ; V_{DD}
  $$

• 理想スイッチモデル（しきい値による出力の変化）：

  $$
  V_{out} =
  \begin{cases}
  V_{DD}, & V_{in} < V_{th} \
  0, & V_{in} > V_{th}
  \end{cases}
  $$

課題

• NMOS と PMOS のデバイス定数 $k_n, k_p$、しきい値 $V_{thn}, |V_{thp}|$ を仮定せよ（例：$k_n = 200\ \mu A/V^2, k_p = 100\ \mu A/V^2, V_{thn} = 0.7V, |V_{thp}| = 0.7V$）。
• 矩形波入力を与えたときの過渡応答も Python でシミュレーションせよ。

---

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ================== (2) MOSFET Id-Vds ==================
# Device parameters
kn = 200e-6   # NMOS [A/V^2]
kp = 100e-6   # PMOS [A/V^2]
Vthn = 0.7    # NMOS threshold [V]
Vthp = -0.7   # PMOS threshold [V]
lambda_n = 0.02   # Channel-length modulation (example)
lambda_p = 0.02

Vds = np.linspace(0, 5, 200)
Vgs_list = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]

def Id_nmos(Vgs, Vds):
    Id = np.zeros_like(Vds)
    for i, vds in enumerate(Vds):
        if Vgs < Vthn:
            Id[i] = 0
        elif vds < (Vgs - Vthn):
            Id[i] = kn*((Vgs-Vthn)*vds - 0.5*vds**2)   # linear
        else:
            Id[i] = 0.5*kn*(Vgs-Vthn)**2*(1+lambda_n*vds) # saturation
    return Id

plt.figure(figsize=(8,5))
for Vgs in Vgs_list:
    plt.plot(Vds, Id_nmos(Vgs,Vds), label=f"Vgs={Vgs} V")
plt.xlabel("Vds [V]")
plt.ylabel("Id [A]")
plt.title("NMOS Id-Vds Characteristics")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# Transconductance in saturation
Vgs = np.linspace(Vthn, 3, 100)
gm = kn*(Vgs-Vthn)
plt.figure()
plt.plot(Vgs-Vthn, gm)
plt.xlabel("Vgs - Vthn [V]")
plt.ylabel("gm [A/V]")
plt.title("NMOS Transconductance in Saturation")
plt.grid(True)
plt.show()

# ================== (3) NMOS Common-Source Amplifier ==================
Vin_t = np.linspace(0, 2e-3, 1000) # time ~2 ms
vin = 0.025*np.sin(2*np.pi*1e3*Vin_t)  # 1 kHz input

RD = 1e3
Vgs_bias = 2.0
gm_bias = kn*(Vgs_bias-Vthn)
Av = -gm_bias*RD
vout = Av*vin

VDD = 5.0
vout_clipped = np.clip(vout, -VDD, VDD)

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(Vin_t*1000, vin, label="Input Vin [V]")
plt.plot(Vin_t*1000, vout_clipped, label="Output Vout [V]")
plt.xlabel("Time [ms]")
plt.ylabel("Voltage [V]")
plt.title("NMOS Common-Source Amplifier (with clipping)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# ================== (4) NMOS Differential Amplifier ==================
t = np.linspace(0, 2e-6, 2000)
vid = 0.01*np.sin(2*np.pi*1e6*t)
Itail = 2e-3
Id_single = Itail/2 + kn*(vid/2)*(1.0)  # crude approx
Id_single = np.clip(Id_single, 0, Itail) # tail current constraint
vout_diff = (Id_single - Itail/2)*RD

plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(t*1e6, vid, label="Differential Input [V]")
plt.plot(t*1e6, vout_diff, label="Output Vout [V]")
plt.xlabel("Time [us]")
plt.ylabel("Voltage [V]")
plt.title("NMOS Differential Amplifier with Tail Current Constraint")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# ================== (5) CMOS NAND Gate ==================
import itertools

def nand_gate(A,B):
    return int(not(A and B))

print("CMOS NAND Truth Table")
print("A B | Y")
for A,B in itertools.product([0,1],[0,1]):
    print(f"{A} {B} | {nand_gate(A,B)}")

CL_values = [1e-12, 10e-12, 100e-12]
Req = 1e3
tpd = [0.69*Req*CL for CL in CL_values]

plt.figure()
plt.loglog(CL_values, tpd, 'o-')
plt.xlabel("Load Capacitance CL [F]")
plt.ylabel("Propagation Delay [s]")
plt.title("CMOS NAND Propagation Delay vs Load Capacitance")
plt.grid(True, which="both")
plt.show()

# ================== (6) CMOS Inverter ==================
Vin = np.linspace(0,5,500)
VDD = 5.0
Vout = (kp*(VDD-Vin-Vthp)**2) / (kn*(Vin-Vthn)**2 + kp*(VDD-Vin-Vthp)**2) * VDD
Vout[Vin<Vthn] = VDD
Vout[Vin>VDD+Vthp] = 0

plt.figure()
plt.plot(Vin, Vout)
plt.xlabel("Vin [V]")
plt.ylabel("Vout [V]")
plt.title("CMOS Inverter Voltage Transfer Characteristic")
plt.grid(True)
plt.show()

# Transient response with square wave input
t = np.linspace(0, 2e-6, 2000)
vin_square = (np.sign(np.sin(2*np.pi*1e6*t))+1)/2*VDD
vout_square = VDD - vin_square  # ideal inverter

plt.figure()
plt.plot(t*1e6, vin_square, label="Vin")
plt.plot(t*1e6, vout_square, label="Vout")
plt.xlabel("Time [us]")
plt.ylabel("Voltage [V]")
plt.title("CMOS Inverter Transient Response")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

演習問題（定電流負荷差動アンプの伝達関数解析）

【目的】
定電流負荷差動増幅器の小信号動作を理解し、周波数応答（伝達関数）を理論式とシミュレーションの両面から検証する。

【問題文】

図の定電流負荷差動アンプについて、次の設問に答えよ。

(1) 小信号等価回路を描け。
入力：vid = v1 - v2
出力：vo = vout

(2) 小信号解析により、出力電圧 vo と入力差電圧 vid の関係式（伝達関数）を導け。
H(s) = Vout(s) / Vid(s)

(3) 次の式をもとに、低周波ゲイン Av0 と極（ポール）周波数 ωp を求めよ。

 H(s) = -gmN * (roN || roP) / (1 + s * (roN || roP) * (Cgs + Cgd))

 Av0 = -gmN * (roN || roP)
 ωp = 1 / ((roN || roP) * (Cgs + Cgd))

(4) パラメータ gmN, roN, roP を以下の式で定義し、設計値から数値計算せよ。

 gmN = μn * Cox * (W/L)n * (VGSN - VthN)
 roN = 1 / (λn * ID)
 roP = 1 / (λp * ID)

(5) 伝達関数を近似式で表し、シミュレーションのボード線図と比較せよ。

 H(s) ≈ Av0 / (1 + s / ωp)
 ≈ (-gmN * (roN || roP)) / (1 + s * (roN || roP) * Ceff)
 （Ceff ≈ Cgs + Cgd）

(6) 図の周波数特性（ゲイン特性）を読み取り、低周波ゲイン [dB] と
-3 dB 周波数 fp [Hz] を求め、理論値と比較せよ。

!pip install numpy matplotlib scipy

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# ==============================
# パラメータ設定 / Parameters
# ==============================
mu_n = 300e-4         # 電子移動度 [m^2/Vs]
Cox  = 3.45e-3        # 酸化膜容量 [F/m^2]
W_Ln = 100e-6 / 1e-6  # (W/L)n
VGSN = 1.2            # ゲート・ソース電圧 [V]
VthN = 0.6            # しきい値電圧 [V]
lam_n = 0.02          # λn [1/V]
lam_p = 0.03          # λp [1/V]
ID = 50e-6            # ドレイン電流 [A]
Cgs = 0.2e-12         # ゲート・ソース容量 [F]
Cgd = 0.1e-12         # ゲート・ドレイン容量 [F]

# ==============================
# 小信号パラメータ計算 / Parameter calculation
# ==============================
gmN = mu_n * Cox * W_Ln * (VGSN - VthN)
roN = 1 / (lam_n * ID)
roP = 1 / (lam_p * ID)
ro_eq = (roN * roP) / (roN + roP)
Ceff = Cgs + Cgd

Av0 = -gmN * ro_eq
wp = 1 / (ro_eq * Ceff)
fp = wp / (2 * np.pi)

print(f"gmN = {gmN:.3e} [S]")
print(f"ro_eq = {ro_eq:.3e} [Ω]")
print(f"Av0 = {Av0:.2f} (linear), {20*np.log10(abs(Av0)):.2f} [dB]")
print(f"fp = {fp/1e6:.2f} [MHz]")

# ==============================
# 伝達関数生成 / Transfer function
# ==============================
num = [Av0]
den = [1/(wp), 1]
sys = signal.TransferFunction(num, den)

# ==============================
# 周波数特性プロット / Frequency response
# ==============================
w = np.logspace(4, 9, 500)  # 10 kHz〜1 GHz
w, mag, phase = signal.bode(sys, w)

plt.figure(figsize=(6,4))
plt.semilogx(w/(2*np.pi), mag)
plt.title("Differential Amplifier Frequency Response")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Gain [dB]")
plt.grid(True, which="both", ls="--")
plt.show()

---

【出力項目】

• ( g_m )：トランスコンダクタンス [S]
• ( r_o )：等価出力抵抗 [Ω]
• ( A_{v0} )：低周波利得（線形・dB）
• ( f_p )：極（ポール）周波数 [Hz]

---

【結果の考察】

• 低周波域でゲイン ≈ ( 20\log_{10}|A_{v0}| )
• 約 ( f_p ) 以降、-20 dB/dec の傾きで減衰
• 理論式
  [
  H(s) = \frac{-g_m (r_{on} || r_{op})}{1 + s (r_{on} || r_{op})(C_{gs}+C_{gd})}
  ]
  と一致する一次ローパス特性を確認できる。

自由演習：オペアンプの開ループ周波数特性とステップ応答解析

【目的】
CMOSオペアンプの開ループ周波数特性およびステップ応答（過渡応答）を理論とシミュレーションにより解析し，
設計パラメータ（トランジスタ寸法，バイアス電流，容量）との関係を理解する。

【課題】

(1) 以下のオペアンプ回路について，AC解析により開ループ利得特性 |Av(f)| [dB] と位相特性を求めよ。
- 低周波利得 Av0 [dB]
- 利得交点周波数 (unity gain frequency) fu [Hz]
- 位相余裕 (phase margin) [deg]

(2) 小信号等価回路を描き，伝達関数 H(s) = Vout(s) / Vin(s) を導出せよ。

  H(s) = Av0 / (1 + s/ωp1)(1 + s/ωp2)

  ここで ωp1, ωp2 は1段目および2段目の極（ポール）とする。

(3) 1段目差動増幅段と2段目増幅段のゲインをそれぞれ gm1·ro1，gm2·ro2 として，
直流利得 Av0 を次式で表せ。

  Av0 ≈ (gm1·ro1) · (gm2·ro2)

(4) 周波数応答を近似的に次式で表せ。

  |Av(f)| ≈ Av0 / √{ [1 + (f/fp1)^2] [1 + (f/fp2)^2] }

  fp1 = 1 / (2π·R1·C1)
  fp2 = 1 / (2π·R2·C2)

(5) 図(a)の検証回路を用い，開ループゲインおよび帯域を理論計算せよ。

  f1 = 1 / (2π·R1·C1)
  f2 = Av0 / (2π·R2·C2)
  （条件：f1 < f2 < fu）

  例：
  Av0 = 60 dB (≈ 1000)
  f1 = 1 / (2π·16 kΩ·10 μF) ≈ 1 Hz
  f2 = Av0 / (2π·160 kΩ·1 mF) ≈ 10 Hz

(6) 過渡解析によりステップ応答（立上り時間・立下り時間・オーバーシュート）を求め，
開ループゲインおよびポール位置との関係を考察せよ。

(7) ステップ応答の理論式（一次系近似）を示せ。

  vo(t) = Vfinal·(1 - e^{-t/τ})
  τ = 1 / ωp1

(8) PMOS/NMOSのSPICEモデルパラメータ（Level=2）を用いてシミュレーションを実施し，
モデル式に基づく gm, ro の概算を示せ。

  gm = 2·ID / (VGS - Vth)
  ro = 1 / (λ·ID)

【補足】

.model pmos-X PMOS (Level=2 ... )
.model nmos-X NMOS (Level=2 ... )

上記パラメータを回路シミュレータ（例：LTspice, NGspice）に入力し，解析を行うこと。

# Program Name: opamp_openloop_response.py
# Creation Date: 20251021
# Overview: Open-loop frequency response and step response analysis of CMOS operational amplifier
# Usage: Run in Google Colab or Jupyter → observe Bode plot and transient response

!pip install numpy matplotlib scipy

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# ======================================
# Parameters / パラメータ設定
# ======================================

# トランジスタ・回路パラメータ（例）
gm1 = 1e-3       # [S] 1段目トランスコンダクタンス
gm2 = 2e-3       # [S] 2段目トランスコンダクタンス
ro1 = 100e3      # [Ω] 1段目出力抵抗
ro2 = 200e3      # [Ω] 2段目出力抵抗
R1  = 16e3       # [Ω]
R2  = 160e3      # [Ω]
C1  = 10e-6      # [F]
C2  = 1e-3       # [F]
Vstep = 1.0      # ステップ入力 [V]

# ======================================
# Derived values / 派生値計算
# ======================================
Av0 = (gm1 * ro1) * (gm2 * ro2)
fp1 = 1 / (2 * np.pi * R1 * C1)
fp2 = Av0 / (2 * np.pi * R2 * C2)
wp1, wp2 = 2*np.pi*fp1, 2*np.pi*fp2

print("=== Open-Loop Parameters ===")
print(f"Av0  = {Av0:.2e} (linear) = {20*np.log10(Av0):.2f} dB")
print(f"fp1  = {fp1:.2f} Hz")
print(f"fp2  = {fp2:.2f} Hz")

# ======================================
# Transfer Function / 伝達関数
# ======================================
num = [Av0]
den = [1/(wp1*wp2), (1/wp1 + 1/wp2), 1]
sys = signal.TransferFunction(num, den)

# ======================================
# Frequency Response / 周波数応答解析
# ======================================
f = np.logspace(0, 8, 500)   # 1 Hz ～ 100 MHz
w = 2 * np.pi * f
w, mag, phase = signal.bode(sys, w)

plt.figure(figsize=(7,4))
plt.semilogx(f, mag)
plt.title("Open-Loop Gain (Bode Magnitude)")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Gain [dB]")
plt.grid(which='both')
plt.show()

plt.figure(figsize=(7,4))
plt.semilogx(f, phase)
plt.title("Open-Loop Phase Response")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Phase [deg]")
plt.grid(which='both')
plt.show()

# ======================================
# Step Response / ステップ応答解析
# ======================================
t, y = signal.step(sys)
y = y * Vstep / np.max(y) * Vstep  # 正規化（ステップ入力振幅を考慮）

plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(t, y)
plt.title("Step Response (Transient)")
plt.xlabel("Time [s]")
plt.ylabel("Vout [V]")
plt.grid(True)
plt.show()

# ======================================
# Time constant and comparison / 時定数比較
# ======================================
tau = 1 / wp1
print("\n=== Step Response (First-Order Approximation) ===")
print(f"Time constant τ = {tau:.3e} [s]")
print("Expected vo(t) ≈ Vfinal * (1 - exp(-t/τ))")

【Python課題】AD/DA変換器の特性評価（ランプ波入力）

次の仕様に基づき、Pythonでプログラムを作成せよ。

⸻

(1) A/D変換器の評価プログラム
• A/D変換器は 8 ビット、基準電圧 Vref = 2.0 V とする。
• 1LSB の理論値を計算すること。
• 入力信号はランプ波（0 V → Vref まで直線的に増加）とする。
• 例えば、100 サンプルに分割して入力を生成すること。
• 各入力値に対する理論的デジタル出力を計算し、グラフにプロットせよ。
• 測定値が与えられた場合は理論値との差（誤差）を計算せよ。

⸻

(2) D/A変換器の評価プログラム
• D/A変換器は 8 ビット、基準電圧 Vref = 2.0 V とする。
• 1LSB の理論値を計算すること。
• 入力信号はランプ波に対応するデジタルコード列とする。
• 例: CODE = 0, 1, 2, …, 255
• 各コードに対する出力電圧（理論値）を計算し、グラフにプロットせよ。
• 測定値が与えられた場合は理論値との差（誤差）を計算せよ。

⸻

(3) 発展課題
• A/D → D/A を直列接続したシステムをシミュレーションする。
• 入力信号をランプ波（0 V → Vref）とした場合、最終的な出力波形を描画せよ。
• 理論値と比較して、システム全体の誤差を評価せよ。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ===================== Parameters / パラメータ =====================
Vref = 2.0           # Reference voltage [V] / 基準電圧
Nbit = 8             # Number of bits / ビット数
Nsamples = 100       # Number of samples for ramp input / ランプ波の分割数

# ===================== 1 LSB Calculation / 1LSB計算 =====================
LSB = Vref / (2**Nbit)   # 1LSB voltage value / 1LSBの電圧
print("1 LSB =", LSB, "V")

# ===================== (1) ADC Evaluation / A/D変換器評価 =====================
# Generate ramp input signal / ランプ波入力信号生成
Vin = np.linspace(0, Vref, Nsamples)   # 0V → Vrefまで直線的に増加

# Ideal ADC output code / 理論的デジタル出力
ADC_code = np.floor(Vin / Vref * (2**Nbit - 1)).astype(int)

# Plot ADC transfer characteristic / ADC伝達特性の描画
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(Vin, ADC_code, "bo-", label="ADC Output Code")
plt.title("ADC Ramp Response")
plt.xlabel("Input Voltage [V]")
plt.ylabel("Digital Output Code")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# ===================== (2) DAC Evaluation / D/A変換器評価 =====================
# Generate digital codes / デジタルコード生成
DAC_code = np.arange(0, 2**Nbit)

# Ideal DAC output / 理論的出力電圧
Vout_DAC = DAC_code * LSB

# Plot DAC transfer characteristic / DAC伝達特性の描画
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(DAC_code, Vout_DAC, "r-", label="DAC Output Voltage")
plt.title("DAC Ramp Response")
plt.xlabel("Digital Input Code")
plt.ylabel("Output Voltage [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# ===================== (3) Cascade ADC→DAC / ADC→DAC直列システム =====================
# ADC output codes fed into DAC / ADC出力コードをDACに入力
Vout_cascade = ADC_code * LSB

# Error evaluation / 誤差評価
error = Vin - Vout_cascade

# Plot comparison / 比較プロット
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.plot(Vin, Vin, "k--", label="Ideal Input (Vin)")
plt.plot(Vin, Vout_cascade, "g.-", label="ADC→DAC Output")
plt.title("ADC→DAC Cascade Response")
plt.xlabel("Input Voltage [V]")
plt.ylabel("Voltage [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

# Plot error / 誤差プロット
plt.figure(figsize=(8,4))
plt.plot(Vin, error, "m.-", label="Error (Vin - Vout)")
plt.title("System Error (ADC→DAC)")
plt.xlabel("Input Voltage [V]")
plt.ylabel("Error [V]")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

【技術解説：A/D・D/A変換器の1LSB理論式と評価】

1. はじめに
   アナログ・デジタル変換器（ADC）およびデジタル・アナログ変換器（DAC）は、連続信号と離散信号を相互変換する装置である。その性能指標の一つに1LSB（Least Significant Bit：最小有効ビット）電圧がある。本稿では、AD/DA変換器の1LSB理論式を導出し、実験値との関係を整理する。

---

1. A/D変換器（ADC）の1LSB理論式

(1) 定義式
V_LSB = (2 × V_ref) / (2^n - 1)

ここで、
V_ref：基準電圧（Reference Voltage）
n：分解能（ビット数）

「2×Vref」は入力範囲が±Vref（差動入力）であることを意味する。範囲は −Vref ～ +Vref、全振幅2Vref。

(2) 数値例
V_ref = 1.23 [V], n = 8
V_LSB = (2 × 1.23) / 255 = 9.647 [mV]

1カウントあたりの入力電圧変化量は約9.65mV。

(3) 意味
・V_LSBはデジタル出力1カウントに対応する最小の入力電圧変化量。
・(2^n - 1)は255段階の間隔を表す（8ビットの場合）。
・ADCは入力振幅2Vrefを255分割する。

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1. D/A変換器（DAC）の1LSB理論式

(1) 定義式
V_LSB = V_ref / (2^n - 1)

(2) 出力電圧の一般式
V_out = V_ref × (1/2^1 × b1 + 1/2^2 × b2 + … + 1/2^n × bn)
ここで bi ∈ {0,1}

各ビットは2進加重抵抗分圧回路（R-2Rラダー等）により実現される。

(3) 数値例
V_ref = 2.0 [V], n = 8
V_LSB = 2.0 / 255 = 7.843 [mV]
出力電圧は0〜2Vの範囲を255等分。

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1. ADCとDACの比較表

項目	A/D変換器	D/A変換器
入力信号	アナログ電圧	デジタル値
出力信号	デジタル値	アナログ電圧
分解能	2^n 段階	2^n 段階
1LSB電圧	(2V_ref)/(2^n - 1)	(V_ref)/(2^n - 1)
入力・出力範囲	±Vref	0〜Vref
数値例 (n=8, Vref=1.23V)	9.647 mV	7.843 mV (Vref=2V時)

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1. 物理的意味と誤差要因

(1) 物理的意味
・ADCは±Vrefの差動入力を2Vrefで換算。
・DACは0〜Vrefの単極変換で基準電圧1倍。

(2) 主な誤差要因
・抵抗精度：R-2Rラダーの抵抗誤差
・オペアンプ誤差：オフセット電圧、バイアス電流
・基準電圧誤差：Vrefの温度ドリフトや電源ノイズ
・スイッチング遅延：サンプリング保持遅延
・ノイズ：外部電源や量子化ノイズの影響

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1. まとめ

理論的な1LSB電圧式：
V_LSB(ADC) = (2V_ref)/(2^n - 1)
V_LSB(DAC) = (V_ref)/(2^n - 1)

ADCは正負両振幅(±Vref)の差動入力を扱い、
DACは0〜Vrefの単極出力を扱うため、係数が異なる。

実験では、上式の理論値を基準に、実測値との差から
非直線性誤差、オフセット誤差などを評価する。

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