【第0章 算数のたいせつな2つのルール】
● 1. A×B = B×A（かけ算の交換法則）
かけ算は、順番を入れかえても答えがかわらないというルール。
式
A×B = B×A
例
3×5 = 5×3 = 15
4×25 = 25×4 = 100
2×7 = 14（7×2でも14）
理由
かけ算は「同じ数をくり返し足す」ことだから。
3×5
＝ 5を3回
＝ 5+5+5
5×3
＝ 3を5回
＝ 3+3+3+3+3
どちらも15。
図でも同じ。
たて3行×よこ5列＝15
たて5行×よこ3列＝15
→ 並び方はちがっても、数は同じ。
便利な使い方
・25×4 → 4×25 にして100にしやすい
・3×12 → 12×3 にして暗算しやすい
算数の自由度を上げるもっとも大事な法則。
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● 2. A = B は B = A（等号の対称性）
= の意味は「左と右が同じ」。
A = B
（AとBが同じ値）
だから
B = A
と書きかえても同じ意味。
例
5+3 = 8 → 8 = 5+3
12×2 = 24 → 24 = 12×2
4² = 16 → 16 = 4²
中学の方程式で必ず必要になる基礎ルール。
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【第1章 たし算・ひき算の工夫】
● ① “キリのいい数” を作る
48 + 29
→ 48 + 30 − 1
＝77
38 + 57
→ 38 + 62 − 5
＝95
399 + 257
→ 400 + 256
＝656
1000 − 497
→ 1000 − 500 + 3
＝503
ポイント
・近いキリのいい数（10・100・1000）に寄せる
・頭の計算が楽になる
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● ② くり下がりをなくす引き算
83 − 47
→ 83 − 50 + 3
＝36
402 − 198
→ 402 − 200 + 2
＝204
1000 − 481
→ 1000 − 500 + 19
＝519
ポイント
・ひきにくい数を“ひきやすい数”に変えてから調整する
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【第2章 かけ算をラクにする暗算ワザ】
● ① 偶数 × 5・15・25
5・25・125 はこう変形できる：
5 = 10÷2
25 = 100÷4
125 = 1000÷8
例）偶数×15
28×15
→28×(3×5)
→(28÷2)×30
＝420
例）偶数×25
46×25
→46×(100÷4)
→(46÷4)×100
＝1150
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● ② 4の倍数 × 25
36×25
→36÷4 × 100
＝900
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● ③ 8の倍数 × 125
64×125
→64÷8 × 1000
＝8000
56×125
→7×1000
＝7000
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【第3章 かけ算・割り算の考え方】
● ① 割り算は「分数」にして × に変える
48 ÷ 6
→ 48 × 1/6
＝ 8
120 ÷ 0.25
→ 120 × 4
＝ 480
ポイント
・わり算は「×逆数」にする時間短縮ワザ
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● ② 逆数とは
a × (1/a) = 1 になる数。
3 → 1/3
0.25 → 4
5 → 1/5
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● ③ 分配法則（ばらす・くくる）
● ばらす
a(b+c) = ab+ac
12×49
→12×(50−1)
→600−12
＝588
● くくる
ab+ac = a(b+c)
14×15 + 14×5
→14(15+5)
→280
● 引き算版
a(b−c) = ab−ac
25×19
→25×(20−1)
→500−25
＝475
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【第4章 公式を使った計算】
● ① (a+b)² の公式
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(20+3)² = 529
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● ② 平方差
(A+B)(A−B) = A² − B²
(30+2)(30−2) = 900−4 = 896
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● ③ A² = (A+B)(A−B) + B²
50² = 53×47 + 3²
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● ④ 近い数どうしのかけ算
49×51
→(50−1)(50+1)
→50²−1
＝2499
97×103
→100²−3²
＝9991
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【第5章 小数 ↔ 分数】
● ① 小数 → 分数
0.1 = 1/10
0.25 = 1/4
0.5 = 1/2
0.75 = 3/4
● ② 分数 → 小数
1/2 = 0.5
1/4 = 0.25
1/8 = 0.125
● ③ 約分
18/24
→ 3/4
● ④ 通分
1/6 + 1/4
→ 2/12 + 3/12
＝5/12
● ⑤ 分数のかけ算・わり算
2/3 × 5/7 = 10/21
2/3 ÷ 5/7 = 2/3 × 7/5 = 14/15
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【第6章 倍数・約数・素因数分解】
● ① 倍数判定
2の倍数：末尾が偶数
3の倍数：桁の和が3の倍数
4の倍数：下2けた
8の倍数：下3けた
● ② 素因数分解例
36 = 2²×3²
75 = 3×5²
● ③ 最大公約数
12, 18
共通部分 → 6
● ④ 最小公倍数
2² と 3² → 36
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【第7章 よく出る数】
■ ① 平方（1〜20）
1²=1
2²=4
3²=9
4²=16
5²=25
6²=36
7²=49
8²=64
9²=81
10²=100
11²=121
12²=144
13²=169
14²=196
15²=225
16²=256
17²=289
18²=324
19²=361
20²=400
■ ② 2・3・10 の累乗
2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
10¹=10, 10²=100, 10³=1000, 10⁴=10000
【1〜100 素因数分解一覧】
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 2²
5 = 5
6 = 2×3
7 = 7
8 = 2³
9 = 3²
10 = 2×5
11 = 11
12 = 2²×3
13 = 13
14 = 2×7
15 = 2×3
16 = 2⁴
17 = 17
18 = 2×3²
19 = 19
20 = 2²×5
21 = 3×7
22 = 2×11
23 = 23
24 = 2³×3
25 = 5²
26 = 2×13
27 = 3³
28 = 2²×7
29 = 29
30 = 2×3×5
31 = 31
32 = 2⁵
33 = 3×11
34 = 2×17
35 = 5×7
36 = 2²×3²
37 = 37
38 = 2×19
39 = 3×13
40 = 2³×5
41 = 41
42 = 2×3×7
43 = 43
44 = 2²×11
45 = 3²×5
46 = 2×23
47 = 47
48 = 2⁴×3
49 = 7²
50 = 2×5²
51 = 3×17
52 = 2²×13
53 = 53
54 = 2×3³
55 = 5×11
56 = 2³×7
57 = 3×19
58 = 2×29
59 = 59
60 = 2²×3×5
61 = 61
62 = 2×31
63 = 3²×7
64 = 2⁶
65 = 5×13
66 = 2×3×11
67 = 67
68 = 2²×17
69 = 3×23
70 = 2×5×7
71 = 71
72 = 2³×3²
73 = 73
74 = 2×37
75 = 3×5²
76 = 2²×19
77 = 7×11
78 = 2×3×13
79 = 79
80 = 2⁴×5
81 = 3⁴
82 = 2×41
83 = 83
84 = 2²×3×7
85 = 5×17
86 = 2×43
87 = 3×29
88 = 2³×11
89 = 89
90 = 2×3²×5
91 = 7×13
92 = 2²×23
93 = 3×31
94 = 2×47
95 = 5×19
96 = 2⁵×3
97 = 97
98 = 2×7²
99 = 3²×11
100 = 2²×5²
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【第8章 平均・誤差・概算】
■ ① 平均
平均＝合計 ÷ 個数
■ ② 誤差で平均
基準100からのズレを使う。
■ ③ 誤差で合計
合計＝基準×個数＋誤差の合計
■ ④ 概算
198×51 → 200×50 など、近い数でまとめる。
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【第9章 単位・速さ・割合】
■ ① 単位変換
1m=100cm
1kg=1000g
■ ② 時間
1分=60秒
■ ③ 速さ（み・は・じ）
み＝は×じ
は＝み÷じ
じ＝み÷は
■ ④ 割合
40の25% → 40×0.25=10
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【第10章 逆算・正負の数】
■ ① 逆算
□×8=56 → □=7
■ ② 正負の数
マイナス×マイナス=プラス
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【第11章 位そろえ】
小数点をそろえる。
不足の桁は0でうめる。
例
7.8 → 7.80
0.35 → 0.35
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【第12章 大きい数の位取り】
万・億・兆は 4けたごと に区切る。
例
4兆230億 → 4,230,000,000,000
文章題での読み違いを防ぐ基本知識。
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【第13章 約分チェックリスト】
両方偶数？
末尾が 5 or 0？
桁の和が 3 の倍数？
小さいほうが約数になっている？
この順で調べると速い。
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【第14章 指数（べき乗）】
指数＝同じ数を何回もかける書き方。
2³=8
10⁴=10000
面積・体積・桁数の計算に頻出。
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【第15章 比の鉄則（内項・外項）】
比の計算は分数や方程式の基礎。
● 公式
A : B = C : D
内側どうし・外側どうしの積が等しい。
B×C = A×D
● 例
3 : 4 = x : 20
4x = 3×20
4x = 60
x = 15
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【第16章 円周率（3.14）の暗記】
● よく使う値
2×3.14 = 6.28
3×3.14 = 9.42
4×3.14 = 12.56
5×3.14 = 15.70
6×3.14 = 18.84
7×3.14 = 21.98
8×3.14 = 25.12
9×3.14 = 28.26
● ポイント
・筆算ミスがほぼゼロ
・計算スピードが約3倍
【第17章 速さの単位変換（3.6の法則）】
km/h ⇄ m/s は「1000 ÷ 3600 = 1/3.6」を使うと即変換できる。
● m/s → km/h
m/s × 3.6
例：10 m/s → 36 km/h
● km/h → m/s
km/h ÷ 3.6
例：72 km/h → 20 m/s
【第18章 三角定規の比】
直角三角形の代表的な角度と辺の比。
● 45°–45°–90°（直角二等辺三角形）
1 : 1 : √2
√2 ≈ 1.41
● 30°–60°–90°（代表三角形）
1 : √3 : 2
√3 ≈ 1.73
（最短辺＝1、斜辺＝2）