オーバーサンプリングだけのとき
量子化ノイズ電力
$$
P_{qn}=\frac{\Delta^2}{12}
$$
均一スペクトル密度
$$
S_e(f)=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{1}{f_s}
$$
信号帯域 $[-f_b,f_b]$ に理想LPF $H(f)$ を通すと
$$
P_e=\int_{-f_b}^{f_b}S_e(f)|H(f)|^2,df
=\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{f_s}\int_{-f_b}^{f_b}1,df
=\frac{\Delta^2}{12}\frac{2f_b}{f_s}
$$
オーバーサンプリング比 $M=\frac{f_s}{2f_b}$ より
$$
P_e=\frac{\Delta^2}{12M}
$$
ΔΣ（離散時間）でノイズシェーピングする場合の一般形
離散角周波数 $\omega=2\pi f/f_s$，帯域端 $\omega_b=2\pi f_b/f_s=\pi/M$。
出力の帯域内ノイズ電力
$$
P_n=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_b}^{\omega_b}!!\left|NTF!\left(e^{j\omega}\right)\right|^2 d\omega
$$
一次の基本NTFは $NTF(z)=1-z^{-1}$ なので
$$
\left|NTF(e^{j\omega})\right|^2=\left|1-e^{-j\omega}\right|^2
=2-2\cos\omega=4\sin^2!\frac{\omega}{2}
$$
一次（厳密積分→近似）
$$
\begin{aligned}
P_n&=\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_b}^{\omega_b}4\sin^2!\frac{\omega}{2},d\omega\
&=\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{2\pi}\cdot 4\bigl(\omega_b-\sin\omega_b\bigr)
\end{aligned}
$$
OSRが大（$\omega_b\ll1$）では $\sin\omega_b=\omega_b-\omega_b^3/6+O(\omega_b^5)$ だから
$$
P_n\approx\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{2\pi}\cdot 4\cdot\frac{\omega_b^3}{6}
=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{\omega_b^3}{3\pi}
$$
$\omega_b=\pi/M$ を代入すると
$$
P_n\approx\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{\pi^2}{3}\cdot M^{-3}
$$
二次（厳密積分→近似）
二次NTFは $(1-z^{-1})^2$，よって
$$
\left|NTF(e^{j\omega})\right|^2=16\sin^4!\frac{\omega}{2}
$$
積分は（偶関数を利用）
$$
\int_{-\omega_b}^{\omega_b}16\sin^4!\frac{\omega}{2},d\omega
=12\omega_b-16\sin\omega_b+2\sin2\omega_b
$$
小$\omega_b$ 展開（$\sin\omega_b=\omega_b-\omega_b^3/6+\omega_b^5/120$, $\sin2\omega_b=2\omega_b-\tfrac{4}{3}\omega_b^3+\tfrac{4}{15}\omega_b^5$）から
$$
12\omega_b-16\sin\omega_b+2\sin2\omega_b
=\frac{2}{5}\omega_b^5+O(\omega_b^7)
$$
したがって
$$
P_n\approx\frac{\Delta^2}{12}\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2}{5}\omega_b^5
=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{\omega_b^5}{5\pi}
=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{\pi^4}{5}\cdot M^{-5}
$$
一般次数 $L$
$NTF(z)=(1-z^{-1})^{L}\Rightarrow |NTF(e^{j\omega})|^2=(2\sin(\omega/2))^{2L}$。
$\omega\ll1$ で $\sin(\omega/2)\approx\omega/2$ を用いると被積分関数は $\omega^{2L}$ に近似でき
$$
\int_{-\omega_b}^{\omega_b}\omega^{2L},d\omega=\frac{2,\omega_b^{2L+1}}{2L+1}
$$
よって
$$
P_n\approx\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2,\omega_b^{2L+1}}{2L+1}
=\frac{\Delta^2}{12}\cdot\frac{\pi^{2L}}{2L+1}\cdot M^{-(2L+1)}
$$
（$L=1,2$ を代入すると上の結果と一致）
SNRの式（フルスケール正弦入力の例）
信号電力（量子化ステップ $\Delta$，有効ビット $N$）
$$
P_s=\frac{(2^N-1)^2\Delta^2}{8}
$$
よって
$$
SNR=\frac{P_s}{P_n}
\approx
\begin{cases}
\displaystyle \frac{9}{2\pi^2}(2^N-1)^2,M^{3} & (L=1)\[6pt]
\displaystyle \frac{45}{2\pi^4}(2^N-1)^2,M^{5} & (L=2)\[6pt]
\displaystyle \frac{(2L+1)}{2,\pi^{2L}}(2^N-1)^2,M^{(2L+1)} & (\text{一般 }L)
\end{cases}
$$