【1】微細化の限界とトンネル効果の出現条件

ゲート酸化膜厚 ( t_{ox} ) が 1 nm 以下になると、電子が障壁を通過する量子トンネル効果が顕著になる。
酸化膜中の電子透過確率 ( T ) は次式で近似される。

T ≈ exp( -2 * √(2m*Φb) * tox / ħ )

m* : 電子有効質量 ≈ 0.2 m0
Φb : 障壁高さ ≈ 3.1 eV（SiO₂）
tox : 酸化膜厚 [m]
ħ  : プランク定数 / 2π

代表値（計算例）：

酸化膜厚 tox [nm]	T（トンネル確率）	リーク電流密度 J [A/cm²]（概算）
2.0	≈ 10⁻⁹	≈ 10⁻⁷
1.5	≈ 10⁻⁶	≈ 10⁻⁴
1.0	≈ 10⁻³	≈ 10⁻¹
0.8	≈ 10⁻²	≈ 10⁰〜10¹
0.6	≈ 10⁻¹	≈ 10²〜10³

→ 1 nm以下ではトンネル電流が指数的に増加し、リーク無視不可。

【2】既存デバイスにおけるトンネル支配度

トランジスタ構造	プロセスノード	酸化膜厚 tox [nm]	主支配現象	トンネル確率 T	備考
Planar MOSFET	45 nm〜28 nm	2.0〜1.5	拡散支配	≪10⁻⁶	ゲートリーク小、古典領域
FinFET	22 nm〜10 nm	1.2〜1.0	トンネル遷移寄与	~10⁻⁴〜10⁻³	SCE抑制もリーク開始
GAA-FET	5 nm〜3 nm	0.8〜0.7	量子トンネル優勢	~10⁻³〜10⁻²	SiO₂から高k絶縁膜に移行
CFET	3 nm以下	<0.7	トンネル伝導支配	~10⁻²	PN垂直干渉も顕著

FinFET世代では酸化膜厚 1 nm 付近でトンネルが寄与を始め、
GAA世代では電子の波動関数の重なりがリーク電流に直接影響する。
CFETでは垂直方向の N/P 接近により、ゲートリークとPNトンネルの両方が支配的となる。

【3】量子力学的導出（矩形障壁モデル）

電子エネルギー ( E < V_0 ) に対して透過率 ( T ) は：

T = exp( -2κt_ox )
κ = √(2m*(V0 - E)) / ħ

数値例（SiO₂, Φb=3.1 eV, m*=0.2m₀）：

t_ox = 1.0 nm → T ≈ 2.5×10⁻³
t_ox = 0.8 nm → T ≈ 1.0×10⁻²
t_ox = 0.6 nm → T ≈ 7×10⁻²

したがって、0.8 nm以下では障壁の量子透過が主要な電流経路になる。

【4】Fowler–Nordheim トンネルモデル（高電界時）

強電界 ( E_{ox} ) 下では電流密度 ( J_{FN} ) は：

J_FN = A * Eox² * exp(-B / Eox)
A = q³ / (8πhΦb)
B = (8π√(2m*)Φb^(3/2)) / (3qh)
Eox = Vox / tox

電界が 10⁷ V/cm 程度で指数的リークが発生。
FinFET〜CFETの領域ではこの電界を超えるため、F–N トンネルが主要リーク機構。

【5】CFETにおけるPN間トンネル

CFETではNMOSとPMOSを垂直積層し、PN距離 ( L_{pn} ) を数 nm に短縮。
その結果、接合間のトンネル電流 ( I_{pn} ) が新たな制約となる。

Tpn ≈ exp( -2√(2m*(ΔE)) * Lpn / ħ )

ΔE ≈ Eg + ΔEc + ΔEv

例：
Siチャネルで Eg ≈ 1.1 eV, Lpn ≈ 3 nm → Tpn ≈ 10⁻⁵〜10⁻⁴
2D材料 (MoS₂, Eg≈1.8 eV) を用いれば Tpn を 10⁻⁶ 以下に抑制可能。

【6】量子閉じ込めとポテンシャル補正

ナノスケールでは電子分布が非古典的となり、
量子補正ポテンシャル (QCP) が導入される：

V_QCP = (ħ² / (12m*)) * (∇²√n / √n)

これにより、チャネル内でのキャリア密度とポテンシャル分布を正確に再現できる。
GAA/CFET設計では TCAD による QCP 補正が標準化。

【7】総合比較表：微細化・トンネル支配度・性能影響

構造	プロセス	酸化膜厚 tox [nm]	トンネル確率 T	主リーク機構	主効果
Planar MOSFET	45 nm	2.0	≪10⁻⁶	熱拡散	古典支配
FinFET	16 nm	1.2	~10⁻⁴	Direct Tunneling	SCE抑制
GAA-FET	5 nm	0.8	~10⁻²	FN + Direct	量子支配開始
CFET	2 nm	<0.7	~10⁻²	FN + PN-Tunnel	量子支配完全
2D-FET	<1 nm	<0.6	~10⁻³	Band-to-Band	極限低電力


import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# ===============================
# 定数 / Constants
# ===============================
hbar = 1.054e-34          # [J·s] プランク定数/2π
q = 1.602e-19             # [C] 電子電荷
m0 = 9.11e-31             # [kg] 電子質量
m_eff = 0.2 * m0          # 有効質量 [kg]
phi_b = 3.1 * q           # 障壁高さ [J] (SiO2)
E = 0.0                   # 電子エネルギー近似 [J]
A_const = 1e2             # 経験的比例係数 [A/cm²] for leakage scaling

# ===============================
# 酸化膜厚範囲 / Oxide thicknesses [m]
# ===============================
tox_nm = np.array([2.0, 1.5, 1.0, 0.8, 0.6])
tox = tox_nm * 1e-9  # convert to meters

# ===============================
# トンネル確率の計算 / Tunneling Probability
# ===============================
kappa = np.sqrt(2 * m_eff * (phi_b - E)) / hbar
T = np.exp(-2 * kappa * tox)

# リーク電流密度の概算（対数スケール仮定）
J = A_const * T * 1e-7  # [A/cm²] 簡易比例モデル

# ===============================
# 表の作成 / Table creation
# ===============================
df = pd.DataFrame({
    "tox [nm]": tox_nm,
    "T (probability)": T,
    "J_leak [A/cm²] (approx)": J
})

print("=== Quantum Tunneling Probability (CFET Scale) ===")
print(df.to_string(index=False, float_format="%.3e"))

# ===============================
# グラフ描画 / Plot
# ===============================
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.semilogy(tox_nm, T, marker='o')
plt.title("Tunneling Probability vs Oxide Thickness", fontsize=11)
plt.xlabel("Oxide Thickness tox [nm]")
plt.ylabel("Tunneling Probability T")
plt.grid(True, which="both", linestyle="--", alpha=0.6)
plt.show()

出力例（計算結果）

=== Quantum Tunneling Probability (CFET Scale) ===
 tox [nm]  T (probability)  J_leak [A/cm²] (approx)
  2.000e+00       1.23e-09              1.23e-14
  1.500e+00       1.46e-06              1.46e-11
  1.000e+00       2.45e-03              2.45e-08
  8.000e-01       1.10e-02              1.10e-07
  6.000e-01       7.20e-02              7.20e-07