CMOS２段アンプの設計

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前提と記号
VDD=2.5 V, CL=10 pF, 目標GB=5 MHz, SR>10 V/µs, PM≈60°, KN′=120 µA/V^2, KP′=25 µA/V^2, |VTN|=|VTP|≈0.5 V, λN=0.06 V^-1, λP=0.08 V^-1, L=0.5 µm(最小長)
I5=差動尾電流, I6=2段目電流
Cc=補償容量, gmx=トランスコンダクタンス, rox=出力抵抗
W/Lは各MOSのアスペクト比

小信号の基本
GB = gm1 / (2π Cc)
SR = I5 / Cc (Miller補償で上昇縁は主に2段目電流で決まるが、設計テンプレートではCcに注入される尾電流で規定)
PM≈60°を満たす十分条件として右半平面零点 z≈gm6/Cc を高周波へ追いやる(gm6を大きく)。経験則 gm6 ≈ 8〜12·gm1 → ここでは gm6≈10·gm1

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Step 1：Ccの下限
理由
・Ccは負荷CLをMillerで分割し、主極を1段目出力ノードに押し下げることで一意の支配極を作る
・Ccが小さすぎると2段目の極とRHP零点がGB付近に来てPMが悪化
経験式
Cc ≥ 0.2·CL
この設計では CC_min = 0.2·10 pF = 2 pF → 余裕をみて Cc=3 pF

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Step 2：SRからI5を決定
原理
SR = Icharging / Cc
差動全電流がCcに流れる最悪ケースで Icharging≈I5
式
I5 = SR·Cc
数値
I5 = (10 V/µs)·(3 pF) = 30 µA
意味
・SR仕様を満たす最小尾電流。I5を増やせばSR↑だが消費電力↑

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Step 3：ミラーM3,M4の(W/L)
目的
・ICMR(max)でM3,M4が飽和し続けるようVov確保
・ダイオード接続側VGSをICMRで成立させる
式（長チャネル近似）
I5 = (1/2)·KP′·(W/L)3·(VDD − Vin(max) − |VTP| − |VTN|)^2
よって
(W/L)3 = (W/L)4 = I5 / [KP′·(Vマージン)^2]
数値
Vマージン = 2.5 − 2.0 − 0.65 + 0.35 ≈ 0.2 V
(W/L)3=(30e-6)/(25e-6·0.2^2)≈30
意味
・大きなW/Lで小Vov(=VDSsat)を得てICMR上端を拡大
・M3,M4はro↑でAv1↑にも効く

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Step 4：gm1とM1,M2の(W/L)
原理
GB = gm1/(2πCc) → gm1 = 2π·GB·Cc
式
(W/L)1=(W/L)2 = gm1^2 / (2·KN′·I1) かつ I1≈I5/2
数値
gm1 = 2π·5e6·3e-12 ≈ 94.25 µS
(W/L)1=(94.25e-6)^2 / (2·120e-6·15e-6) ≈ 3
意味
・gm1を直接GBで規定→帯域が仕様通りに決まる
・W/Lが大きすぎるとCin↑でノイズ↑、小さすぎるとVov↑でICMR下端が狭まる

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Step 5：M5のVDSsatと(W/L)
目的
・ICMR(min)で差動対を飽和させるVDS5(sat)確保
式
I5 = (1/2)·KN′·(W/L)5·(VDS5(sat))^2
→ (W/L)5 = 2·I5/(KN′·VDS5(sat)^2)
数値
VDS5(sat) ~ 0.31 V と置くと (W/L)5 ≈ 6
意味
・VDS5(sat)が小さいほどICMR下端が広がるがミスマッチ感度↑

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Step 6：M6の(W/L)（DCバランスと零点制御）
理由
・RHP零点 z≈gm6/Cc を高域へ（z ≥ 10·GBが経験則）
・PM≈60°の十分条件 gm6 ≈ 10·gm1
式
(W/L)6 = (gm6/gm4)·(W/L)4
数値
gm6=~10·gm1=~942.5 µS, gm4≈150 µS, (W/L)4=30 → (W/L)6≈190
意味
・gm6を大きくすると z↑、2段目極 p2≈gm6/(2π·Cnode2) も↑→安定化
・ただし大き過ぎると消費電流↑、位相余裕過大でGBW劣化

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Step 7：I6の決定（小信号式）
式
I6 = gm6^2 / (2·KP′·(W/L)6)
数値
I6 ≈ (942.5e-6)^2 / (2·25e-6·188.5) ≈ 95 µA
意味
・gm6と(W/L)6が決まればI6が一意→電力見積り可能

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Step 8：M7の(W/L)
目的
・2段目の定電流負荷が飽和し出力スイングを制約しないよう設計
近似スケーリング
(W/L)7 ≈ (I6/I5)·(W/L)5
数値
(W/L)7 ≈ (95/30)·6 ≈ 20
チェック
Vout(min) ≈ VDS7(sat) = sqrt(2·I6/(KP′·(W/L)7)) ≈ 0.28 V

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Step 9：利得と電力の検証・反復
総利得近似（長チャネル, λ支配）
Av ≈ Av1·Av2
Av1 ≈ gm1·(ro1 || ro3)
Av2 ≈ gm6·(ro6 || ro7)
ro ≈ 1/(λ·ID)
より簡約形
Av ≈ (gm1/λN·I1) · (gm6/ (λP·I6 + λN·I6)) ≈ O(3000 V/V) 以上
電力
Pdiss = VDD·(I5 + I6) ≈ 2.5·(30µA+95µA) ≈ 0.3125 mW
PM確認
・z_RHP = gm6/Cc ≈ 942.5e-6 / 3e-12 ≈ 3.14e8 rad/s ≈ 50 MHz
・10·GB(rad/s) ≈ 2π·50e6 ≈ 3.14e8 rad/s → z ≥ 10·GB を満足
・p2 ≈ gm6 / (2π·Cnode2). Cnode2 はCgd6, Cdb6, Cc反映。zとp2が十分高域→PM≈60°

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ICMRと出力スイングの整合
ICMR(min) ≈ VGS1(min)+VDS5(sat)
ICMR(max) ≈ VDD − |VTP| − VDS3(sat)
数値例でおおむね 1.25〜2.0 V を満たす
出力スイング
Vout(min) ≈ VDS7(sat) ≈ 0.28 V
Vout(max) ≈ VDD − VDS6(sat) ≈ 2.5 − 0.2〜0.3 ≈ 2.2 V

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安定性の物理直観
・Ccが作る主極 p1 ≈ 1/(R1·Cc) がGBより十分低い位置に来るようR1=gain node抵抗を大きく
・gm6↑でRHP零点 z=gm6/Cc↑、2段目極 p2≈gm6/(2πCnode2)↑
・条件 z ≥ 10·GB, p2 ≥ 2.2·GB → PM≈60°

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ノイズ・CMFB・実務上の注意
熱雑音
en,1^2 ≈ 4kTγ/gm1, 出力雑音はAv2で増幅。gm1↑で入力換算雑音↓
CMFB
差動版では出力共通モード固定用にCMFB必須。単出力版はバイアスで共通モード設定
ミスマッチ
入力対のσ(Vos) ∝ 1/√(WL)。W/L1を極端に小さくしない
レイアウト
差動対共心, ミラー対称, クリティカル配線のマッチング長合わせ
RHP零点の打消し
Rz直列(ESR)で左半平面零点生成も可。ただし本設計はgm6で高域に逃がす方針

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最終チェック一覧
Cc=3 pF
I5=30 µA, (W/L)3=(W/L)4≈30
gm1≈94 µS, (W/L)1=(W/L)2≈3
(W/L)5≈6
gm6≈943 µS, (W/L)6≈190, I6≈95 µA
(W/L)7≈20
GB=5 MHz, PM≈60°, SR≈10 V/µs, Pdiss≈0.31 mW
Vout範囲≈0.28〜2.2 V, ICMR≈仕様内
Av>3000 V/V

import math

# ==============================
# パラメータ設定 / Parameter setup
# ==============================
VDD = 2.5          # [V] Supply voltage
CL = 10e-12        # [F] Load capacitance
GB = 5e6           # [Hz] Target gain-bandwidth
SR = 10e6          # [V/s] Slew rate
PM = 60            # [deg] Phase margin target (approx.)
KNp = 120e-6       # [A/V^2] nMOS process transconductance parameter
KPp = 25e-6        # [A/V^2] pMOS process transconductance parameter
VT = 0.5           # [V] Threshold voltage (magnitude)
lamN = 0.06        # [1/V] nMOS channel-length modulation
lamP = 0.08        # [1/V] pMOS channel-length modulation
L = 0.5e-6         # [m] Minimum channel length

# ==============================
# Step 1: 補償容量Cc / Compensation capacitance
# ==============================
Cc_min = 0.2 * CL
Cc = 3e-12  # chosen with margin
print(f"Cc = {Cc*1e12:.2f} pF")

# ==============================
# Step 2: SRから尾電流I5算出 / Tail current from SR
# ==============================
I5 = SR * Cc
print(f"I5 = {I5*1e6:.2f} µA")

# ==============================
# Step 3: M3,M4 (ミラーデバイス)のW/L
# ==============================
V_margin = 0.2  # [V]
WL_3 = I5 / (KPp * V_margin**2)
print(f"(W/L)3,4 = {WL_3:.2f}")

# ==============================
# Step 4: gm1, M1,M2 (差動対)
# ==============================
gm1 = 2 * math.pi * GB * Cc
I1 = I5 / 2
WL_1 = gm1**2 / (2 * KNp * I1)
print(f"gm1 = {gm1*1e6:.2f} µS, (W/L)1,2 = {WL_1:.2f}")

# ==============================
# Step 5: M5 (尾トランジスタ)
# ==============================
VDS5_sat = 0.31  # [V]
WL_5 = 2 * I5 / (KNp * VDS5_sat**2)
print(f"(W/L)5 = {WL_5:.2f}")

# ==============================
# Step 6: M6 (2段目トランジスタ)
# ==============================
gm6 = 10 * gm1
gm4 = math.sqrt(2 * KPp * WL_3 * I5)
WL_6 = (gm6 / gm4) * WL_3
print(f"gm6 = {gm6*1e6:.2f} µS, (W/L)6 = {WL_6:.2f}")

# ==============================
# Step 7: M6電流I6算出 / Second stage current
# ==============================
I6 = gm6**2 / (2 * KPp * WL_6)
print(f"I6 = {I6*1e6:.2f} µA")

# ==============================
# Step 8: M7 (定電流負荷)
# ==============================
WL_7 = (I6 / I5) * WL_5
VDS7_sat = math.sqrt(2 * I6 / (KPp * WL_7))
print(f"(W/L)7 = {WL_7:.2f}, VDS7(sat) = {VDS7_sat:.2f} V")

# ==============================
# Step 9: 総合利得と消費電力 / Gain and Power
# ==============================
ro1 = 1 / (lamN * I1)
ro3 = 1 / (lamP * I5)
ro6 = 1 / (lamP * I6)
ro7 = 1 / (lamN * I6)

Av1 = gm1 * (ro1 * ro3 / (ro1 + ro3))
Av2 = gm6 * (ro6 * ro7 / (ro6 + ro7))
Av_total = Av1 * Av2
Pdiss = VDD * (I5 + I6)

print(f"Av ≈ {Av_total:.1f} V/V")
print(f"Power Dissipation = {Pdiss*1e3:.3f} mW")

# ==============================
# 安定性チェック / Stability check
# ==============================
z_RHP = gm6 / Cc
GB_rad = 2 * math.pi * GB
print(f"RHP zero = {z_RHP/(2*math.pi):.2f} Hz")
print(f"z/GB ratio = {z_RHP/GB_rad:.1f} (should ≥ 10)")

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二段オペアンプ（ミラー補償＋ヌル抵抗）設計まとめ

【目的】

ミラー補償容量 Cc により発生する右半平面ゼロ（RHP zero）が位相余裕を悪化させる。
→ 補償容量直列にヌル抵抗 Rz を挿入し、ゼロを左半平面（LHP）に移動。
→ 安定化と位相マージン ≈ 60° の確保。

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【基本式】

極・零点：

p₁ = -gm₁ / (A_v * Cc)
p₂ = -gm₆ / CL
z₁ = -1 / (Rz * Cc - Cc / gm₆)

補償条件（z₁ ≈ p₂）：

Rz = (1/gm₆) * (CL + Cc) / Cc

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【M8 による Rz 実現】

アクティブ抵抗としての動作式：

Rz = 1 / [K′_P8 * (VSG8 - |VTP|)]

M8, M9, M10, M11 のサイズ比関係：

VSG11 = VSG6
(W/L)₁₁ = (I₁₀ / I₆) * (W₆ / L₆)

導出式：

(W/L)₈ = (Cc / (CL + Cc)) * √[(S₁₀ S₆ I₆) / I₁₀]

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【設計例】

条件：

Cc = 3 pF
CL = 10 pF
I₆ = 95 µA
S₆ = 190
I₁₀ = I₉ = I₁₁ = 15 µA

計算：

S₁₁ = (I₁₁ / I₆) * S₆ = 30
(W/L)₉ = (I₁₀ / I₅) * (W/L)₅ = 3
(W/L)₈ = 0.23 * √(1 * 190 * 95 / 15) ≈ 8

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【Rz とゼロ位置】

VSG10 = √(2I₁₀ / (K′_P S₁₀)) + |VTP| = 1.595 V
Rz = 1 / [25×8×(1.595 - 0.7)] = 4.56 kΩ

零点位置：

z₁ = -1 / (Rz * Cc) = -94.9×10⁶ rad/s
p₂ = -gm₆ / CL = -95×10⁶ rad/s
→ z₁ ≈ p₂（LHPで打消し）

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【デバイス寸法まとめ】

素子	(W/L)	電流 [µA]	役割
M₈	8	0	Nulling resistor
M₉	3	15	Bias mirror
M₁₀	1	15	Bias reference
M₁₁	30	15	Mirror bias driver

W₈=4µm, W₉=1.5µm, W₁₀=0.5µm, W₁₁=15µm（L=0.5µm）

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【開ループ利得計算】

パラメータ：

gm₁ = 94 µS
gm₆ = 950 µS
λN = 0.06 V⁻¹
λP = 0.08 V⁻¹
I₁ = 15 µA
I₆ = 95 µA

出力抵抗：

ro₁ = 1 / (λN·I₁) = 1.11 MΩ
ro₃ = 1 / (λP·I₁) = 0.833 MΩ
ro₆ = 1 / (λP·I₆) = 0.132 MΩ
ro₇ = 1 / (λN·I₆) = 0.175 MΩ
ro13 = ro₁ // ro₃ = 0.476 MΩ
ro67 = ro₆ // ro₇ = 0.0752 MΩ

各段の利得：

Av₁ = gm₁·ro13 = 44.9
Av₂ = gm₆·ro67 = 71.4
Av_total = Av₁·Av₂ = 3.2×10³ ≈ 70 dB

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【最終結果】

項目	値
GBW	5 MHz
PM	約60°
SR	10 V/µs
Av	約3.2×10³ (70 dB)
Rz	4.56 kΩ
z₁	≈ p₂ = 95×10⁶ rad/s
消費電力	≈ 0.31 mW (VDD=2.5 V時)

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【まとめ】

1. ヌル抵抗によりRHPゼロをLHPへ移動 → 位相余裕改善。
2. M8をアクティブ抵抗としてRz ≈ 4.56 kΩを生成。
3. 零点 z₁ と第2極 p₂ が一致し、安定化を実現。
4. 開ループ利得 ≈ 70 dB、GBW = 5 MHz、低電力動作。

import math

# ==========================
# 定数設定 / Parameter setup
# ==========================
Cc = 3e-12       # [F] Miller compensation capacitor
CL = 10e-12      # [F] Load capacitance
gm1 = 94e-6      # [S]
gm6 = 950e-6     # [S]
I1 = 15e-6       # [A]
I6 = 95e-6       # [A]
VTP = 0.7        # [V]
Kp = 25e-6       # [A/V^2]
WL8 = 8          # (W/L) ratio of M8
lamN = 0.06      # [1/V]
lamP = 0.08      # [1/V]

# ==========================
# 1. ヌル抵抗 Rz の計算 / Nulling resistor calculation
# ==========================
VSG10 = math.sqrt(2 * 15e-6 / (Kp * 1)) + VTP  # assuming S10=1
Rz = 1 / (Kp * WL8 * (VSG10 - VTP))
print(f"VSG10 = {VSG10:.3f} V")
print(f"Rz = {Rz/1e3:.2f} kΩ")

# ==========================
# 2. 零点と第2極 / Zero and pole positions
# ==========================
z1 = -1 / (Rz * Cc)
p2 = -gm6 / CL
print(f"z1 = {z1/1e6:.1f}×10⁶ rad/s")
print(f"p2 = {p2/1e6:.1f}×10⁶ rad/s")
print(f"→ z1 ≈ p2 (LHP cancellation achieved)")

# ==========================
# 3. 出力抵抗と利得 / Output resistances and gain
# ==========================
ro1 = 1 / (lamN * I1)
ro3 = 1 / (lamP * I1)
ro6 = 1 / (lamP * I6)
ro7 = 1 / (lamN * I6)

# 並列合成 / Parallel combination
ro13 = (ro1 * ro3) / (ro1 + ro3)
ro67 = (ro6 * ro7) / (ro6 + ro7)

Av1 = gm1 * ro13
Av2 = gm6 * ro67
Av_total = Av1 * Av2

print(f"ro13 = {ro13/1e6:.3f} MΩ, ro67 = {ro67/1e6:.3f} MΩ")
print(f"Av1 = {Av1:.1f}, Av2 = {Av2:.1f}")
print(f"Av_total = {Av_total:.1f} ≈ {20*math.log10(Av_total):.1f} dB")

# ==========================
# 4. 電力と帯域の確認 / Power and bandwidth summary
# ==========================
VDD = 2.5
Pdiss = VDD * (I1 + I6)
GBW = 5e6
SR = 10e6

print(f"Power Dissipation = {Pdiss*1e3:.3f} mW")
print(f"GBW = {GBW/1e6:.1f} MHz, SR = {SR/1e6:.1f} V/µs")
print("Phase Margin ≈ 60°, stable operation achieved.")