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@qwer123123

高専のための応用数学

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第1章　第1節　ベクトルの演算（Vector Operations）

1．ベクトルの基本定義

定義
空間内の位置を表す数量には「大きさ」と「向き」がある。このような量を**ベクトル（vector）**という。
成分表示では
a = (a₁, a₂, a₃)
と書く。ここで a₁, a₂, a₃ はそれぞれ x, y, z 成分を表す。

2．ベクトルの加法と減法

定義
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)
a − b = (a₁ − b₁, a₂ − b₂, a₃ − b₃)

性質
(1) 交換法則　a + b = b + a
(2) 結合法則　(a + b) + c = a + (b + c)

例題1
a = (1, 2, −1), b = (3, −1, 2) のとき
a + b = (4, 1, 1)

3．スカラー倍（Scalar Multiplication）

定義
k を実数とすると
k a = (k a₁, k a₂, k a₃)

例題2
a = (2, −1, 3), k = −2 のとき
−2a = (−4, 2, −6)

4．内積（Dot Product）

定義
a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cosθ

意味
内積は、ベクトル間のなす角 θ を表す。
θ = arccos( (a・b)/(|a||b|) )

例題3
a = (1, 0, 2), b = (2, −1, 1)
a・b = 1×2 + 0×(−1) + 2×1 = 4
|a| = √5, |b| = √6
cosθ = 4/(√5√6) → θ ≈ 33.6°

5．直交条件（Orthogonality）

定理
a ⟂ b ⇔ a・b = 0

例題4
a = (1, 2, 3), b = (−2, 1, 0)
a・b = 1×(−2) + 2×1 + 3×0 = 0
したがって a ⟂ b。

6．外積（Cross Product）

定義
a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)
|a×b| = |a||b|sinθ

意味
a×b は a, b に垂直なベクトルであり、
|a×b| は a, b が張る平行四辺形の面積を表す。

例題5
a = (1, −1, 2), b = (2, 1, 3)
a×b = ((−1)×3 − 2×1, 2×2 − 1×3, 1×1 − (−1)×2) = (−5, 1, 3)

|a×b| = √( (−5)² + 1² + 3² ) = √35
したがって面積 S = √35。

7．スカラー三重積（Scalar Triple Product）

定義
a・(b×c) = |a||b||c| cosφ sinθ
= 平行六面体の体積（符号付き）

例題6
a = (1, 1, 1), b = (0, 1, 2), c = (1, 2, 1)

b×c = (1×1 − 2×2, 2×1 − 0×1, 0×2 − 1×1) = (−3, 2, −1)
a・(b×c) = 1×(−3) + 1×2 + 1×(−1) = −2
体積 = |−2| = 2

8．ベクトル三重積（Vector Triple Product）

恒等式
a×(b×c) = (a・c)b − (a・b)c

証明
右辺を任意の d に内積し、成分計算により同値であることを示す。

9．応用例：平面の法線ベクトル

平面の法線 n は、平面上の2つの独立ベクトル a, b に対して
n = a×b で定義される。
方程式は n・(r − r₀) = 0 で表される。

第1章　第2節　ベクトルの成分分解（Component Resolution of Vectors）

1．成分表示と単位ベクトル

定義
空間の直交座標系 O-xyz において、単位ベクトルを
e₁, e₂, e₃ とすると、任意のベクトル a は

　a = a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃

で表される。
ここで (a₁, a₂, a₃) は a の成分である。
また、|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

2．成分分解の原理

考え方
任意のベクトル a は、座標軸方向の単位ベクトル e₁, e₂, e₃ に沿う成分へ分解できる。

　a = (a・e₁)e₁ + (a・e₂)e₂ + (a・e₃)e₃

このとき、a・e₁ = a₁, a・e₂ = a₂, a・e₃ = a₃

3．例題1　成分分解

a = (3, 2, −1) のとき
a = 3e₁ + 2e₂ − 1e₃

|a| = √(3² + 2² + (−1)²) = √14
方向余弦：
cosα = 3/√14, cosβ = 2/√14, cosγ = −1/√14

4．方向余弦の定義

定義
ベクトル a が座標軸 x, y, z となす角を α, β, γ とすると

cosα = a₁/|a|, cosβ = a₂/|a|, cosγ = a₃/|a|

性質
cos²α + cos²β + cos²γ = 1

5．例題2　方向余弦の計算

a = (1, 2, 2) の場合、|a| = 3
よって
cosα = 1/3, cosβ = 2/3, cosγ = 2/3

→ a は軸に対しほぼ等しい角度をなす。

6．ベクトルの射影（Projection）

定義
ベクトル a の b 方向への射影（スカラー射影）は

　proj_b(a) = (a・b̂) = |a|cosθ

方向付き射影ベクトルは

　(a・b̂)b̂ = ((a・b)/|b|²)b

例題3
a = (1, 2, 3), b = (2, 0, 1)

a・b = 1×2 + 2×0 + 3×1 = 5
|b|² = 5
したがって射影ベクトル

　= (5/5)b = b = (2, 0, 1)

7．直交分解（Orthogonal Decomposition）

定義
a を b の方向成分と、b に垂直な成分に分ける。

a = a∥ + a⊥

ここで
a∥ = ((a・b)/|b|²)b
a⊥ = a − a∥

例題4
a = (1, 2, 3), b = (2, 0, 1)

a∥ = ((5)/5)(2, 0, 1) = (2, 0, 1)
a⊥ = (1, 2, 3) − (2, 0, 1) = (−1, 2, 2)

8．平面の法線方向と分解

平面 Π：n・r = d
において、点 P の位置ベクトル rₚ の法線方向成分は

　rₚ・n̂ = d

ここで n̂ = n/|n| は単位法線ベクトル。

第1章 第3節　ベクトル場（Vector Field）

問題1　勾配（Gradient）

f(x, y, z) = x y² z²
点 P(1, 2, 2) における ∇f を求めよ。

解説
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
= (y²z², 2xyz², 2xy²z)
P(1,2,2) → (16, 8, 8)

問題2　接平面と法線ベクトル

f(x,y,z) = x² + y² + z² − 9
点 P(2,1,2) における接平面の方程式を求めよ。

解説
∇f = (2x, 2y, 2z) → P(2,1,2) で (4,2,4)
法線 n = (4,2,4)
接平面：4(x−2) + 2(y−1) + 4(z−2) = 0
→ 4x + 2y + 4z = 18

問題3　発散（Divergence）

F = (xy, yz, zx) のとき div F を求めよ。

解説
div F = ∂(xy)/∂x + ∂(yz)/∂y + ∂(zx)/∂z
= y + z + x = x + y + z

問題4　回転（Curl）

F = (y, z, x) のとき rot F を求めよ。

解説
rot F = (∂Fz/∂y−∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z−∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x−∂Fx/∂y)
= (0−1, 1−1, 0−1) = (−1, 0, −1)

問題5　線積分

r(t) = (t, t², 0), t∈[0,1],
F = (2x, y, 0) のとき ∫₀¹ F・dr を求めよ。

解説
dr/dt = (1, 2t, 0)
F = (2t, t², 0)
F・dr = 2t×1 + t²×2t = 2t + 2t³
∫₀¹ (2t + 2t³)dt = [t² + (1/2)t⁴]₀¹ = 1.5

問題6　グリーンの定理

C：x² + y² = 1
F = (−y, x)
∮_C (F・dr) を求めよ。

解説
∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − (−1) = 2
∬_D 2 dxdy = 2×π(1²) = 2π
→ ∮_C (−y dx + x dy) = 2π

問題7　ガウスの定理

S：半径 a の球面
F = r = (x, y, z)
∬_S F・n dS を求めよ。

解説
div F = 3
∬_S F・n dS = ∭_V div F dV = 3 × (4/3)πa³ = 4πa³

問題8　ストークスの定理

C：x² + y² = 1, z=0
F = (−y, x, 0)
∮_C F・dr を求めよ。

解説
∇×F = (0, 0, 2)
n = (0,0,1)
面積積分：∬_S (∇×F)・n dS = 2π
→ ∮_C F・dr = 2π（確認一致）

問題9　恒等式確認

∇・(∇×F)=0,　∇×(∇φ)=0
は任意の滑らかな F, φ で恒等的に成立。

問題10　工学応用（電場・流体）

  1. 電場の保存性：
    　E = −∇φ ⇒ rot E = 0
    　電位φが存在するとき電場は保存場。

  2. 流体の発散：
    　div v = 0 ⇒ 非圧縮流体。
    　流入量＝流出量の保存を意味する。

第1章 第4節　ベクトル解析の積分（Integrals in Vector Analysis）

1. 線積分（Line Integral）

【問題1】

ベクトル場
F(x, y) = (y, −x)
曲線 C：x² + y² = 4（z=0平面上の円）を反時計回りに1周するとき，
線積分 ∮_C F・dr を求めよ。

【解説】

(1) パラメータ表示

円周を θ で表す：

x = 2cosθ
y = 2sinθ
(dx, dy) = (−2sinθ dθ, 2cosθ dθ)

(2) ベクトル場と接線ベクトル

F = (2sinθ, −2cosθ)
dr = (−2sinθ, 2cosθ)dθ

(3) 内積計算

F・dr = (2sinθ)(−2sinθ) + (−2cosθ)(2cosθ)
       = −4(sin²θ + cos²θ)
       = −4

(4) 積分区間

θ = 0 → 2π（1周）

∮_C F・dr = ∫₀^{2π} (−4)dθ = −8π

反時計回りは正の向きなので符号を反転：

答え：+8π

【物理的意味】

このベクトル場は、原点を中心とする**反時計回りの渦（rot F = 2）**を表す。
積分値 8π は、**1周する際の総循環量（vorticity circulation）**である。

2. 発散定理（Divergence Theorem / Gauss's Law）

【問題2】

球面 S：x² + y² + z² = a²
ベクトル場 F = (x, y, z) のとき、
⨌_S F・n dS を求めよ。

【解説】

(1) 発散の計算

div F = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 3

(2) 体積積分（発散定理を利用）

⨌_S F・n dS = ∭_V div F dV
              = 3 × 体積(V)
              = 3 × (4/3)πa³
              = 4πa³

【工学的意味】

これは電場 E = (x, y, z) のような放射状ベクトルに対して、
球面を貫く**電束（flux）**が体積の3倍に比例することを示す。

3. ストークスの定理（Stokes' Theorem）

【問題3】

F = (z, 0, −x)
C：x² + y² = 1, z=0 の上向き法線をもつ円
∮_C F・dr を求めよ。

【解説】

(1) rot F の計算

∇×F = (∂/∂y(−x) − ∂/∂z(0),
        ∂/∂z(z) − ∂/∂x(−x),
        ∂/∂x(0) − ∂/∂y(z))
     = (0, 2, 0)

(2) 面法線ベクトル

n = (0, 0, 1)

(3) rot F・n = 0 ⇒ 面積積分 = 0

したがって線積分も 0。

答え：0

【意味】

rot F が z 成分を持たないため、z=0平面では渦が存在しない。
物理的には「平面上に循環のない流れ」を意味する。

4. 勾配場の線積分（Gradient Field）

【問題4】

スカラー場 f(x, y, z) = x² + y² + z²
P(0, 0, 0) → Q(1, 1, 1) の経路に沿って ∫_C ∇f・dr を求めよ。

【解説】

保存場では経路に依存しないため：

∫_C ∇f・dr = f(Q) − f(P)
= (1² + 1² + 1²) − 0
= 3

答え：3

【物理的意味】

これはポテンシャル差（電位差、位置エネルギー差）に相当。
∇f が力場を表すとき、積分値はその経路でなす仕事量。

5. 面積分（Flux Integral）

【問題5】

F = (x, y, z)
平面 S：x + y + z = 3
（第1象限の切片三角形、A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3)）
⨌_S F・n dS を求めよ。

【解説】

(1) 法線ベクトル

n = (1, 1, 1) / √3

(2) 平面上の点の条件

z = 3 − x − y

(3) F・n = (x + y + z)/√3 = 3/√3 = √3（平面上では一定）

(4) 面積

三角形OAB：底辺=3, 高さ=3 → 面積D = ½ × 3 × 3 = 9/2

(5) よって

⨌_S F・n dS = √3 × 面積D = √3 × 9/2 = (9√3)/2

答え：(9√3)/2

【物理的意味】

これは平面を通過する流束（flux）であり、
F が放射ベクトルなら面を貫く総流量を表す。

6. 曲線積分（Work of Force Field）

【問題6】

F = (3x, y², 2z)
経路 C：r(t) = (t, t², t³), 0 ≤ t ≤ 1
∫_C F・dr を求めよ。

【解説】

(1) dr = (1, 2t, 3t²) dt

(2) F = (3t, t⁴, 2t³)

F・dr = 3t×1 + t⁴×2t + 2t³×3t²
       = 3t + 2t⁵ + 6t⁵
       = 3t + 8t⁵

(3) 積分

∫₀¹ (3t + 8t⁵) dt
= [1.5t² + (4/3)t⁶]₀¹
= 1.5 + 1.33 = 2.83

答え：2.83

【工学的意味】

これは力 F が粒子を曲線上に動かすときの仕事量（work）。
経路が非直線であっても、積分により正確な物理量を評価できる。

7. 理論的まとめ

概念 数式 意味
勾配（∇f） ベクトル場の変化率 スカラー場の傾き（力・電場）
発散（div F） ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z 源・吸収（流出入）
回転（rot F） ∇×F 渦の強さと方向
ガウスの定理 ⨌_S F・n dS = ∭_V div F dV 面と体積の関係
ストークスの定理 ∮_C F・dr = ∬_S (∇×F)・n dS 線と面の関係
グリーンの定理 ∬_D (∂Q/∂x−∂P/∂y) = ∮ (Pdx+Qdy) 平面内の循環量

第2章 第1節　関数の極限（Limits of Functions）

1. 極限の定義

問題1

lim x→2 (3x + 1)

解答：7
解説：x が 2 に近づくとき、3x + 1 = 3×2 + 1 = 7。
したがって極限値は 7。

問題2

lim x→1 (x²−1)/(x−1)

解答：2
解説：代入すると 0/0 の不定形。
x²−1 = (x−1)(x+1) と因数分解し約分すると、lim x→1 (x+1)=2。

2. 極限の性質

性質 式 条件
和 lim(f+g)=lim f + lim g 常に成立
差 lim(f−g)=lim f − lim g 常に成立
積 lim(fg)=(lim f)(lim g) 常に成立
商 lim(f/g)=(lim f)/(lim g) 分母≠0

問題3

lim x→0 (sin x)/x

解答：1
解説：x→0 のとき sinx ≈ x（ラジアン単位）。
したがって比は1。

問題4

lim x→∞ (1 + 1/x)^x

解答：e
解説：ネイピア数 e の定義に一致。指数関数の極限式。

3. 一方からの極限

問題5

lim x→0+ 1/x , lim x→0− 1/x

解答：+∞ , −∞
解説：右側からは正の大値へ発散、左側からは負の大値へ発散。
左右一致しないため全体の極限は存在しない。

4. 無限大と無限小

問題6

lim x→∞ (3x²+5)/(2x²+1)

解答：3/2
解説：最高次項の係数比が極限値になる。
3x²/2x² = 3/2。

5. 連続関数

問題7

f(x)={ x² (x≠2), 4 (x=2) }

解答：連続
解説：lim x→2 x²=4, f(2)=4。
極限値と関数値が一致するため連続。

問題8

f(x)={ x+1 (x<1), 2x (x≥1) }

解答：連続
解説：左極限=2, 右極限=2, f(1)=2。
すべて一致。

6. 不連続の種類

種類 内容 例
跳躍不連続 左右極限が異なる sgn(x)
無限不連続 無限大に発散 1/x
除去可能不連続 極限値はあるが定義が異なる sinx/x

問題9

f(x)=(x²−1)/(x−1)

解答：除去可能不連続
解説：lim x→1 f(x)=2 だが f(1) 未定義。
f(1)=2 と定義すれば連続化可能。

7. 重要な極限

式 結果
lim x→0 sinx/x 1
lim x→0 (1+ax)^{1/x} e^a
lim x→∞ (1+1/x)^x e
lim x→0 (e^x−1)/x 1
lim x→0 (a^x−1)/x ln a

8. ε–δ 論法（厳密定義）

f(x) が x=a で極限 L をもつとは
任意の ε>0 に対して、ある δ>0 が存在し、
|x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε となること。

問題10

f(x)=2x+1 のとき x→1 で極限 L=3 を示せ。

解答：δ=ε/2
解説：|f(x)−3|=|2x−2|=2|x−1|。
|x−1|<ε/2 とすれば |f(x)−3|<ε が成立。

第2章 第2節　関数の極限の計算（Calculation of Limits）

1. 直接代入法（Direct Substitution）

問題1

lim x→3 (2x²−5x+1)

解答：10
解説：多項式は連続関数なので、直接代入できる。
2×3²−5×3+1=18−15+1=4。

2. 因数分解による除去（Factorization Method）

問題2

lim x→2 (x²−4)/(x−2)

解答：4
解説：分子を因数分解。
x²−4=(x−2)(x+2)。
(x−2)を約分して lim x→2 (x+2)=4。

問題3

lim x→−1 (x²−1)/(x+1)

解答：−2
解説：x²−1=(x+1)(x−1)。
約分して lim x→−1 (x−1)=−2。

3. 共役式による有理化（Rationalization）

問題4

lim x→4 (√x−2)/(x−4)

解答：1/4
解説：分母分子に共役式 (√x+2) をかける。
((√x−2)(√x+2))/(x−4)=1/(√x+2)。
lim x→4 1/(√4+2)=1/4。

4. 分母を整理する形（Simplification by Denominator）

問題5

lim x→1 (x³−1)/(x−1)

解答：3
解説：x³−1=(x−1)(x²+x+1)。
lim x→1 (x²+x+1)=3。

5. 三角関数の極限（Trigonometric Limits）

問題6

lim x→0 sinx/x

解答：1
解説：sinx ≈ x（ラジアン）。定義上この極限値は1。

問題7

lim x→0 (1−cosx)/x²

解答：1/2
解説：1−cosx=2sin²(x/2)。
代入で lim x→0 2sin²(x/2)/x² = 1/2。

6. 指数・対数関数の極限（Exponential and Logarithmic Limits）

問題8

lim x→0 (e^x−1)/x

解答：1
解説：e^x の微分係数定義より1。

問題9

lim x→0 (a^x−1)/x

解答：ln a
解説：指数関数の導関数定義による。

7. 無限大の極限（Limits at Infinity）

問題10

lim x→∞ (3x³+2)/(5x³+4)

解答：3/5
解説：最高次項で割る。
(3+2/x³)/(5+4/x³)→3/5。

問題11

lim x→∞ (2x²−5x)/(x²+3x)

解答：2
解説：分母分子をx²で割ると (2−5/x)/(1+3/x)→2。

8. 不定形の整理（Indeterminate Forms）

問題12

lim x→0 (√(x+1)−1)/x

解答：1/2
解説：共役式 (√(x+1)+1) を掛けて
(x)/(x(√(x+1)+1))=1/(√(x+1)+1)。
x→0 で 1/2。

9. 重要極限まとめ

形式 結果
sinx/x 1
(1−cosx)/x² 1/2
(e^x−1)/x 1
(a^x−1)/x ln a
(1+1/x)^x e

10. 工学的応用（Engineering Connection）

分野 極限の利用
電気回路 過渡応答の最終値
制御工学 定常値誤差の評価
力学 速度・加速度の定義
情報理論 指数関数的減衰・成長の解析

---# 第2章 第3節　複素関数の積分（Integration of Complex Functions）

1. 複素積分の定義（Definition of Complex Integral）

複素関数 f(z) を、曲線 C: z=z(t) (a≤t≤b) に沿って積分することを「複素積分」という。

∫_C f(z)dz = ∫_a^b f(z(t)) z'(t) dt

ここで
z'(t)=dx/dt+i(dy/dt)
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) とすると：

∫_C f(z)dz = ∫_C (u+iv)(dx+i dy)
= ∫_C (u dx−v dy) + i∫_C (v dx+u dy)

2. 性質（Properties）

性質 公式
線形性 ∫_C (af+bg)dz = a∫_C fdz + b∫_C gdz
結合性 ∫_(C1+C2) fdz = ∫_C1 fdz + ∫_C2 fdz
逆向き路 ∫_(-C) fdz = -∫_C fdz

3. 基本例題（Basic Examples）

例題1

C: z=t+it (0≤t≤1)
∫_C z dz

解：
z=t+it, dz=(1+i)dt
∫_0^1 (t+it)(1+i)dt = (1+i)^2(1/2) = i

例題2

C: z=t+i(1−t) (0≤t≤1)
∫_C dz/z

解：
z=t+i(1−t), dz=(1−i)dt
∫_0^1 ((1−i)dt)/(t+i(1−t)) = (1−i)log(1/i) = (π/2)(1+i)

4. コーシーの積分定理（Cauchy’s Integral Theorem）

領域 D 内で f(z) が正則ならば、任意の閉曲線 C に対して：
∮_C f(z)dz = 0

物理的意味：正則関数は「回転を持たないベクトル場」を表す。

例題3

f(z)=e^z, C: |z|=1
∮_C e^z dz = 0

5. コーシーの積分公式（Cauchy’s Integral Formula）

閉曲線 C 内で f(z) が正則ならば：
f(a) = (1/(2πi)) ∮_C f(z)/(z−a) dz

例題4

f(z)=z^2+1, C: |z|=2, a=0
∮_C f(z)/z dz = 2πi f(0) = 2πi

6. 導関数の積分公式（Derivative Formula）

f^(n)(a) = (n!/(2πi)) ∮_C f(z)/(z−a)^(n+1) dz

例題5

f(z)=e^z, a=1, n=2
∮_C e^z/(z−1)^3 dz = 4πi e

7. リウヴィルの定理（Liouville’s Theorem）

全平面で正則かつ有界な f(z) は定数関数である。

証明の要点：
|f'(z)| ≤ M/r
r→∞ で f'(z)=0 ⇒ f(z)=定数

8. 応用（Applications）

分野 応用内容
電磁気学 電界・ポテンシャル解析 (∮E·dl=0)
回路理論 ナイキストの安定判別
流体力学 複素ポテンシャルによる流れ解析
量子力学 波動関数の解析接続
制御理論 開ループ伝達関数の極と零点解析

9. 代表問題と結果

問 内容 答え
1 ∫_C z dz, C:z=t+it i
2 ∫_C dz/z, C:z=e^{iθ}, 0≤θ≤π iπ
3 ∮_C e^z/(z−1)^3 dz 4πi e
4 f(z)=1/((z−1)(z−i)) 0
5 F(z)=∫_0^z f(ζ)dζ F'(z)=f(z)

10. まとめ（Summary）

  • 複素積分は線積分の拡張
  • コーシーの定理で閉曲線の積分は0
  • 積分公式で関数値や導関数が求まる
  • リウヴィルの定理で正則関数の性質を規定
  • 工学応用では回路・波動・流体系に利用される

第2章 第4節　複素関数のべき級数展開（Power Series Expansion of Complex Functions）

1. 定義（Definition）

f(z) が点 a の近傍で正則であるとき、次のように展開できる：

f(z) = Σ_{n=0}^{∞} aₙ (z − a)ⁿ
ただし、
aₙ = f⁽ⁿ⁾(a) / n!

【収束半径（Radius of Convergence）】

次のいずれかで求める：

  1. 比の判定法
     R = lim_{n→∞} |aₙ / aₙ₊₁|

  2. 根の判定法
     1/R = limsup_{n→∞} |aₙ|^{1/n}

【収束範囲】

|z − a| < R → 絶対収束
|z − a| = R → 境界上の収束は関数による
|z − a| > R → 発散

2. テイラー展開（Taylor Expansion）

f(z) が z=a で n 回微分可能なら：

f(z) = f(a) + f'(a)(z−a) + f''(a)/2!(z−a)² + …
  = Σ_{n=0}^{∞} [f⁽ⁿ⁾(a)/n!] (z−a)ⁿ

【例題1】 f(z)=e^z

f⁽ⁿ⁾(0)=1 より：

e^z = 1 + z + z²/2! + z³/3! + …
収束半径 R = ∞（全平面で正則）

【例題2】 f(z)=sin z, cos z

sin z = z − z³/3! + z⁵/5! − z⁷/7! + …
cos z = 1 − z²/2! + z⁴/4! − z⁶/6! + …
R = ∞（全平面で正則）

【例題3】 f(z)=1/(1−z)

幾何級数の形：

1/(1−z) = Σ_{n=0}^{∞} zⁿ (|z|<1)
導関数：f'(z)=1/(1−z)² → 係数 n z^{n−1}

【例題4】 f(z)=1/(2−z)

中心 a=1 として：

f(z)=1/(1+(z−1)) = 1 − (z−1) + (z−1)² − (z−1)³ + …
収束半径：|z−1| < 1

【例題5】 f(z)=log(1+z)

f'(z)=1/(1+z) ⇒ 積分して：

log(1+z) = z − z²/2 + z³/3 − z⁴/4 + …
収束半径：|z| < 1

3. べき級数の演算（Operations）

  1. 加減法則
     (Σaₙzⁿ) ± (Σbₙzⁿ) = Σ(aₙ ± bₙ)zⁿ

  2. 積の法則（コーシー積）
     (Σaₙzⁿ)(Σbₙzⁿ) = Σ_{n=0}^{∞} (Σ_{k=0}^{n} aₖ b_{n−k}) zⁿ

  3. 微分
     (Σaₙzⁿ)' = Σ_{n=1}^{∞} n aₙ z^{n−1}

  4. 積分
     ∫(Σaₙzⁿ)dz = Σ_{n=0}^{∞} aₙ z^{n+1}/(n+1)

4. ローラン展開（Laurent Expansion）

f(z) が環状領域 a<|z−z₀|<b で正則なら：

f(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} cₙ (z−z₀)ⁿ
  = Σ_{n=0}^{∞} cₙ (z−z₀)ⁿ + Σ_{n=1}^{∞} c_{−n} (z−z₀)^{−n}

cₙ = (1/(2πi)) ∮_C f(ζ)/(ζ−z₀)^{n+1} dζ

【特に重要】

c_{−1} = Residue(f, z₀) （留数）

【例題6】 f(z)=1/(z(z−1))

部分分数分解：

f(z) = 1/z − 1/(z−1)

(1) |z|<1 のとき：
1/(z−1)=−Σ_{n=0}^{∞} zⁿ ⇒ f(z)=Σ_{n=0}^{∞} zⁿ₊¹
(2) |z|>1 のとき：
1/z=Σ_{n=0}^{∞} 1/z^{n+1} ⇒ f(z)=Σ_{n=1}^{∞} 1/z^{n+1}

5. 留数（Residue）

f(z) に z=a の極（Pole）があるとき：

(1) 1次の極

Res(f,a) = lim_{z→a} (z−a)f(z)

(2) m次の極

Res(f,a) = (1/(m−1)!) lim_{z→a} d^{m−1}/dz^{m−1} [(z−a)^m f(z)]

【例題7】

f(z)=e^z/(z−1)²
→ 2次の極 z=1
Res(f,1)= (1/(1!)) d/dz [e^z]_{z=1} = e

6. 留数定理（Cauchy’s Residue Theorem）

閉曲線 C 内の正則関数 f(z) に対し：

∮_C f(z)dz = 2πi Σ Res(f, zₖ)

【例題8】

f(z)=1/(z²+1), C: |z|=2
→ 特異点 z=i, z=−i
C 内に z=i あり
Res(f,i) = lim_{z→i} (z−i)/(z²+1) = 1/(2i)
∴ ∮_C f(z)dz = 2πi × (1/(2i)) = π

7. 特異点の分類（Classification of Singularities）

種類 定義 例 留数
除去可能特異点 f(z) が有限に拡張可 sinz/z at z=0 0
極（Pole） (z−a)^m f(z) が有限 1/(z−a)^m 有限値
真性特異点 限界値が無限多様 e^{1/z} 不定

8. 積分への応用（Applications of Power Series & Residue）

  1. 実積分の評価
     ∫_{−∞}^{∞} e^{ix}/(x²+1) dx = π e^{−1}

  2. 留数による周期信号解析
     ∮ f(z)e^{inz}dz = 2πi × Res(f(z)e^{inz}, zₖ)

  3. 電気回路の周波数応答
     H(jω) = Σ aₙ (jω)ⁿ → 伝達特性の展開近似

  4. 流体・量子・制御工学への応用
     ローラン展開はポテンシャル場・安定解析に広く応用。

9. 重要公式まとめ（Summary of Key Formulas）

内容 式
テイラー展開 f(z)=Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! (z−a)ⁿ
収束半径 R=lim_{n→∞}
微分・積分 Σaₙzⁿ → Σn aₙz^{n−1}, Σaₙzⁿ → Σaₙz^{n+1}/(n+1)
ローラン展開 f(z)=Σ_{n=−∞}^{∞} cₙ(z−z₀)ⁿ
留数 c_{−1}=Res(f,z₀)
留数定理 ∮ f(z)dz = 2πi ΣRes
コーシー公式 f(a)=1/(2πi) ∮ f(z)/(z−a)dz

第3章 第1節　ラプラス変換（Laplace Transform）

1. 定義（Definition）

ラプラス変換（Laplace Transform）は、時間領域の関数 f(t) を複素数 s 領域へ写像する変換である。

L{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt, (s = σ + jω)

2. 存在条件（Existence Condition）

f(t) が t ≥ 0 で区分的連続かつ指数オーダ（|f(t)| ≤ M e^{λt}）であれば、
ラプラス変換は s > λ に対して収束する。

3. 基本公式（Basic Formulas）

No f(t) F(s)=L{f(t)} 備考
(1) 1 1/s 基本形
(2) t 1/s²
(3) tⁿ n!/s^{n+1} n∈ℕ
(4) e^{at} 1/(s−a) 平行移動則
(5) sin(ωt) ω/(s²+ω²) 周波数ω
(6) cos(ωt) s/(s²+ω²) 周波数ω
(7) e^{at}sin(ωt) ω/[(s−a)²+ω²]
(8) e^{at}cos(ωt) (s−a)/[(s−a)²+ω²]
(9) δ(t) 1 ディラックδ
(10) δ(t−a) e^{−as} 遅延項
(11) H(t−a) e^{−as}/s 単位ステップ関数

4. 基本性質（Properties）

性質 式 意味
線形性 L{af+bg} = aL{f}+bL{g} 加法・スカラー不変
微分 L{f'} = sF(s)−f(0) 微分方程式に適用
積分 L{∫f(τ)dτ} = F(s)/s 積分変換
時間移動 L{f(t−a)H(t−a)} = e^{−as}F(s) 遅延
指数乗算 L{e^{at}f(t)} = F(s−a) 平行移動
t倍 L{t f(t)} = −dF/ds s微分に対応
畳み込み L{f∗g} = F(s)G(s) 時間積分畳み込み定理

5. 基本例題（Practice Examples）:contentReference[oaicite:0]{index=0}

(1) L{t²}

 = ∫₀^∞ e^{−st} t² dt
 = 2/s³

(2) L{e^{−t}}

 = 1/(s+1)

(3) L{t e^{−2t}}

 = 1/(s+2)²

(4) L{sin t}, L{cos t}

 L{sin t} = 1/(s²+1), L{cos t} = s/(s²+1)

(5) L{sin 2t} = 2/(s²+4)

  L{cos 2t} = s/(s²+4)

6. 平行移動の法則（Shifting Theorem）

L{e^{−a t} f(t)} = F(s+a)
L{f(t−a)H(t−a)} = e^{−as} F(s)

例：
L{e^{−t} sin t} = 1/[(s+1)²+1]

7. 微分と積分のラプラス変換:contentReference[oaicite:1]{index=1}

変換対象 結果
L{f'(t)} sF(s) − f(0)
L{f''(t)} s²F(s) − s f(0) − f'(0)
L{t f(t)} −dF(s)/ds
L{tⁿ f(t)} (−1)ⁿ dⁿF(s)/dsⁿ

例：
L{t e^{−t}} = −d/ds [1/(s+1)] = 1/(s+1)²

8. 畳み込み定理（Convolution Theorem）

(f∗g)(t) = ∫₀^t f(τ)g(t−τ)dτ
L{f∗g} = F(s)G(s)

例：
L⁻¹{1/[s(s+1)]} = 1 − e^{−t}

9. ステップ関数・ディラックδ関数:contentReference[oaicite:2]{index=2}

関数 ラプラス変換
H(t−a) e^{−as}/s
δ(t−a) e^{−as}
δ'(t−a) s e^{−as}
e^{−a t} H(t−a) e^{−as}/(s+a)

10. 代表的な演習公式:contentReference[oaicite:3]{index=3}

No 問題 解答
(1) L{t e^{−t}} 1/(s+1)²
(2) L{t² e^{−2t}} 2/(s+2)³
(3) L{sin 2t} 2/(s²+4)
(4) L{cos 3t} s/(s²+9)
(5) L{e^{−2t}cos t} (s+2)/[(s+2)²+1]
(6) L{e^{−t}sin 2t} 2/[(s+1)²+4]

11. 逆ラプラス変換（Inverse Laplace Transform）

F(s) = L{f(t)}
⇔ f(t) = L⁻¹{F(s)} = (1/2πj)∫_{σ−j∞}^{σ+j∞} e^{st} F(s) ds

代表例

F(s) f(t)
1/s 1
1/s² t
1/(s+1) e^{−t}
1/(s²+1) sin t
s/(s²+1) cos t
1/[(s+2)²+9] e^{−2t} sin(3t)

12. ラプラス変換の応用（Applications）

  1. 微分方程式の解法
     f'' + 3f' + 2f = 0 → (s²F − sf(0) − f'(0)) + 3(sF − f(0)) + 2F = 0
     → F(s) = [(s+3)f(0) + f'(0)] / [(s+1)(s+2)]

  2. 回路解析（RC回路）
     L{di/dt + (1/RC)i} = sI(s) + (1/RC)I(s) = V(s)/R
     → I(s) = (1/R)·V(s)/(s + 1/RC)

  3. 制御工学
     伝達関数 G(s) = 出力/入力 = L{y(t)}/L{u(t)}

13. ラプラス変換表（Summary Table）

f(t) F(s)
1 1/s
t 1/s²
t² 2/s³
e^{at} 1/(s−a)
sin(ωt) ω/(s²+ω²)
cos(ωt) s/(s²+ω²)
e^{at}sin(ωt) ω/[(s−a)²+ω²]
e^{at}cos(ωt) (s−a)/[(s−a)²+ω²]
δ(t−a) e^{−as}
H(t−a) e^{−as}/s

第3章 第2節　ラプラス変換の応用（Applications of Laplace Transform）

1. 微分方程式の解法（Solving Differential Equations）

【例題1】

与式：x'' − x = 1
初期条件：x(0)=0, x'(0)=0

ラプラス変換：s²X − s·0 − 0 − X = 1/s
→ X(s) = 1/[s(s²−1)]
部分分数分解：X = 1/2[(1/(s−1)) − (1/(s+1)) − (2/s)]
逆変換：x(t) = e^t − e^{−t} − 2 = 2sinh(t) − 2

【例題2】

x'' + x' = 1
→ s²X − s·0 − 0 + sX = 1/s
→ X = 1/[s²(s+1)]
部分分数分解：X = 1/s − 1/(s+1) − 1/s²
逆変換：x(t) = 1 − e^{−t} − t

【例題3】

x'' + 2x' + 2x = 0, x(0)=0, x'(0)=0
→ X = 1/[(s+1)² + 1]
逆変換：x(t) = e^{−t}(sin t + cos t)

【例題4】

x'' + 3x' + 2x = 0, x(0)=0, x'(0)=0
→ X = 1/(s+1)(s+2)
→ 部分分数：X = 1/(s+1) − 1/(s+2)
逆変換：x(t) = e^{−t} − e^{−2t}

2. 定数項付き方程式（Constant Term Cases）

x'' + x = 1
→ X = 1/[s(s²+1)]
逆変換：x(t) = 1 − cos t

3. 電気回路の解析（Electric Circuit Analysis）

RC回路

電荷 q(t) の方程式：dq/dt + q/(RC) = E/R
ラプラス変換：sQ + Q/(RC) = E/(Rs)
→ Q(s) = E/(R s (s + 1/RC))
逆変換：q(t) = (E/R) [1 − e^{−t/(RC)}]

4. 機械振動系（Mechanical Oscillation）

x'' + 2ζω₀x' + ω₀²x = 0
→ X(s) = 1/[s² + 2ζω₀s + ω₀²]
ケース別：

減衰率ζ 解の形 時間領域表現
ζ < 1 振動減衰系 e^{−ζω₀t} (A sin ω_d t + B cos ω_d t), ω_d = ω₀√(1−ζ²)
ζ = 1 臨界減衰 (A + Bt)e^{−ω₀t}
ζ > 1 過減衰 A e^{r₁t} + B e^{r₂t}, r₁,r₂<0

5. 弾性曲線方程式（Elastic Curve Equation）

EI x'''' = −w

ラプラス変換：s⁴X = −w/(EI s)
→ X = (−w)/(EI s⁵) + C₁/s⁴ + C₂/s³ + C₃/s² + C₄/s
逆変換：x(t) = −(w t⁴)/(24EI) + C₁t³/6 + C₂t²/2 + C₃t + C₄

境界条件で定数決定：
x(0)=0, x''(0)=0, x(l)=0, x''(l)=0
→ 解：x(t) = (w/(24EI))(t²(l−t)²)

6. 積分方程式への応用（Integral Equations）

(1)

f(t) = ∫₀^t sin(t−τ)f(τ)dτ
ラプラス変換：F(s) = (1/(s²+1))F(s)
→ F(s)[1 − 1/(s²+1)] = 0
→ F(s) = 0 ⇒ f(t)=0

(2)

f(t) = ∫₀^t e^{−(t−τ)}f(τ)dτ
→ F(s) = F(s)/(s+1) ⇒ F(s)[1−1/(s+1)] = 0
→ f(t)=0

7. 境界条件を含む問題（Boundary-Value Problems）

例：x'' + 4x = 0, x(0)=0, x(π/4)=1
→ s²X + 4X = 0 ⇒ X = 0
逆変換：x(t)=C₁sin(2t)+C₂cos(2t)
条件代入：C₂=0, C₁=1/sin(π/2)=1 ⇒ x(t)=sin(2t)

8. 節末総合問題（Review Summary）

問題 方程式 解
(1) x''−x=1 x=e^t−e^{−t}−2
(2) x''+x'=1 x=1−e^{−t}−t
(3) x''+2x'+2x=0 x=e^{−t}(sin t+cos t)
(4) dq/dt+q/RC=E/R q=(E/R)(1−e^{−t/RC})
(5) EI x''''=−w x=(w/(24EI))(t²(l−t)²)

9. 重要公式（Key Formulas）

名称 式
微分方程式 L{f''} = s²F − s f(0) − f'(0)
積分方程式 L{∫₀^t f(τ)dτ} = F(s)/s
畳み込み定理 L{f∗g} = F(s)G(s)
平行移動則 L{e^{−at}f(t)} = F(s+a)
初期値定理 f(0⁺)=lim_{s→∞} sF(s)
終値定理 f(∞)=lim_{s→0} sF(s)

第3章 第3節　伝達関数とボード線図と現代制御

【1】伝達関数 (Transfer Function)

定義：
線形時不変システム(LTI)において、入力u(t)と出力y(t)の関係をラプラス変換すると

G(s) = Y(s) / U(s)

このG(s)を「伝達関数(Transfer Function)」という。
初期条件を0とした線形微分方程式から求められる。

例：一次遅れ系 (First-Order System)

微分方程式：
τ * dy/dt + y = K * u

ラプラス変換：
(τs + 1)Y(s) = K U(s)

したがって：
G(s) = K / (τs + 1)

K：定常ゲイン
τ：時定数（応答速度）

例：二次遅れ系 (Second-Order System)

G(s) = ωn^2 / (s^2 + 2ζωn s + ωn^2)

ωn：固有角周波数
ζ：減衰係数
ζ > 1 ：過減衰
ζ = 1 ：臨界減衰
ζ < 1 ：不足減衰

【2】ボード線図 (Bode Diagram)

伝達関数の周波数応答 G(jω) を
振幅特性： 20 * log10( |G(jω)| ) [dB]
位相特性： angle( G(jω) ) [deg]
として、対数軸上に描く。

例：一次遅れ系のボード線図

G(s) = K / (τs + 1)
→ G(jω) = K / (1 + jωτ)

周波数領域ごとの特性：

低周波 (ω << 1/τ)： 振幅 ≈ 20log10(K), 位相 ≈ 0°
高周波 (ω >> 1/τ)： 振幅 ≈ -20log10(ωτ) + 20*log10(K), 位相 ≈ -90°

折れ点（コーナー周波数）：
ωc = 1 / τ

Python実装例（一次遅れ系のボード線図）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

K = 1
tau = 0.1
w = np.logspace(0, 3, 500)
mag = 20*np.log10(K/np.sqrt(1+(w*tau)**2))
phase = -np.degrees(np.arctan(w*tau))

plt.figure()
plt.subplot(2,1,1)
plt.semilogx(w, mag)
plt.ylabel('Gain [dB]')
plt.title('Bode Diagram (First-order System)')

plt.subplot(2,1,2)
plt.semilogx(w, phase)
plt.xlabel('Frequency [rad/s]')
plt.ylabel('Phase [deg]')
plt.show()

【3】周波数応答と安定性

開ループ伝達関数：
G(s)H(s)

閉ループ伝達関数：
T(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s))

安定条件：
1 + G(s)H(s) = 0 の根（極）が s 平面の左半平面にあること。

ナイキスト線図との関係：
ボード線図から「ゲイン余裕(Gain Margin)」と「位相余裕(Phase Margin)」を読み取る。

位相余裕 > 0 → 安定
位相余裕 < 0 → 不安定傾向

【4】現代制御理論 (Modern Control Theory)

状態方程式 (State Equation)：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du

x：状態変数
A：システム行列
B：入力行列
C：出力行列
D：直結行列

ラプラス変換による伝達関数：
G(s) = C * (sI - A)^(-1) * B + D

例：一次遅れ系の状態空間表現

dx/dt = -(1/τ)*x + (K/τ)*u
y = x

行列表現：
A = [-1/τ], B = [K/τ], C = [1], D = [0]

伝達関数：
G(s) = C*(sI - A)^(-1)*B = K / (τs + 1)

【5】可制御性と可観測性

可制御性(Controllability)：
入力によって任意の状態へ到達可能か。

可制御行列：
C_mat = [B, AB, A^2B, ... , A^(n-1)B]
rank(C_mat) = n なら可制御。

可観測性(Observability)：
出力から状態を一意に推定できるか。

可観測行列：
O_mat = [[C], [CA], [CA^2], ... ]
rank(O_mat) = n なら可観測。

【6】極配置と状態フィードバック

状態フィードバック制御：
u = -Kx + r

閉ループ方程式：
dx/dt = (A - B*K)x + Br

K を設計して (A - B*K) の固有値（極）を望む位置に配置する。
→ 極配置法 (Pole Placement)

【7】現代制御の応用分野

分野 応用例 制御目的
機械工学 倒立振子・ロボットアーム 安定化・トルク制御
電気電子 DCモータ制御 速度・位置制御
航空宇宙 姿勢制御 角速度安定化
ロボティクス・AI 状態推定＋強化学習 自律制御・適応制御

【8】MATLAB制御設計例

A = [0 1; -2 -3];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = [0];

sys = ss(A, B, C, D);
bode(sys)
margin(sys) % 位相余裕とゲイン余裕を表示

第4章 フーリエ解析

第1節 フーリエ級数

【問題1】

周期関数の線形結合が周期関数であることを示せ。

解説
f(x+T)=f(x), g(x+T)=g(x) のとき
a·f(x+T)+b·g(x+T)=a·f(x)+b·g(x)
したがって a·f(x)+b·g(x) も周期 T の周期関数。

【問題2】

周期関数 f(x), g(x) の積 f(x)g(x) も周期関数であることを示せ。

解説
f(x+T)=f(x), g(x+T)=g(x) より
f(x+T)g(x+T)=f(x)g(x)。
したがって f(x)g(x) は周期 T の周期関数。

【問題3】

f(x)=C（定数関数）は周期関数か。

解説
f(x+2π)=f(x)=C なので周期 2π の周期関数である。

【問題4】

cos(nx), cos(kx) の直交性を示せ。

解説
∫*{−π}^{π} cos(nx)cos(kx)dx
= 0（n≠k）, = π（n=k）
よって ∫*{−π}^{π} cos(nx)cos(kx)dx = πδ_{nk}

【問題5】

フーリエ級数の線形性を示せ。

解説
f(x)=a₀/2+Σ[aₙcos(nx)+bₙsin(nx)]
g(x)=c₀/2+Σ[cₙcos(nx)+dₙsin(nx)]
とすれば、
f+g=(a₀+c₀)/2+Σ[(aₙ+cₙ)cos(nx)+(bₙ+dₙ)sin(nx)]
したがって線形結合もフーリエ級数となる。

【問題6】

f(x)=x（奇関数）のフーリエ級数を求めよ。

解説
aₙ=0（奇関数のため）。
bₙ=(2/π)∫₀^π x·sin(nx)dx
=(2/nπ)[sin(nx)−n·x·cos(nx)]|₀^π
= (2/nπ)[0−π(−1)ⁿ]=(2/n)(−1)^{n+1}
∴ f(x)=Σ[(2/n)(−1)^{n+1}sin(nx)]

【問題7】

f(x)=x（周期2π）のフーリエ級数。

解説
a₀=(1/π)∫*{−π}^{π}x dx=0
aₙ=(1/π)∫*{−π}^{π}x cos(nx)dx=0
bₙ=(1/π)∫_{−π}^{π}x sin(nx)dx=2(−1)^{n+1}/n
∴ f(x)=2 Σ[(-1)^{n+1}/n sin(nx)]

【問題8】

区間 [−L,L], L=2 のとき f(x)=x のフーリエ正弦級数。

解説
f(x) は奇関数なので正弦項のみ。
bₙ=(2/L)∫₀^L x·sin(nπx/L)dx
=(4/nπ)[(−1)^{n+1}]
∴ f(x)=Σ[(4/nπ)(−1)^{n+1}sin(nπx/2)]

【問題9】

指数形フーリエ級数を求めよ。

解説
f(x)=Σ cₙ e^{inx}
cₙ=(1/2π)∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx}dx
f(x)=x のとき cₙ=(i/n)(−1)^n
∴ f(x)=Σ[(i/n)(−1)^n e^{inx}]

【問題10】

固有値問題 X''=λX, X(0)=0, X(1)=0 を解け。

解説
(i) λ>0 → X=Ae^{√λx}+Be^{−√λx}
→ 境界条件から A=B=0 → X≡0
(ii) λ=0 → X=A+Bx → A=B=0 → X≡0
よって非自明解をもつのは λ<0 の場合のみ。

【節末問題1】

f(x)=3+x のフーリエ級数。

解説
a₀=(1/π)∫*{−π}^{π}(3+x)dx=6
aₙ=(1/π)∫*{−π}^{π}(3+x)cos(nx)dx=0
bₙ=(1/π)∫_{−π}^{π}(3+x)sin(nx)dx=2(−1)^{n+1}/n
∴ f(x)=3 + 2 Σ[(-1)^{n+1}/n sin(nx)]

【節末問題2】

f(x)=x² のフーリエ級数。

解説
a₀=(1/π)∫*{−π}^{π}x²dx=2π²/3
aₙ=(1/π)∫*{−π}^{π}x²cos(nx)dx=4(−1)^n/n²
bₙ=0
∴ f(x)=π²/3 + 4 Σ[(-1)^n/n² cos(nx)]

【節末問題3】

f(x)=|x| のフーリエ級数。

解説
a₀=(1/π)∫_{−π}^{π}|x|dx=2π
aₙ=(2/π)∫₀^π x cos(nx)dx=4((−1)^n−1)/(πn²)
bₙ=0
∴ f(x)=π/2 − (4/π) Σ[cos((2n−1)x)/(2n−1)²]

【節末問題4】

f(x)=e^{x/L}, 区間 [−L,L] の場合。

解説
aₙ=(1/L)∫*{−L}^{L} e^{x/L}cos(nπx/L)dx
　=(2/L)[L/(1+(nπ)²)](1−(−1)^n e²)
bₙ=(1/L)∫*{−L}^{L} e^{x/L}sin(nπx/L)dx
　=(2/L)[nπL/(1+(nπ)²)](1−(−1)^n e²)

第4章 フーリエ解析

第2節 フーリエ変換とFFT

【1. フーリエ変換の定義】

連続関数 f(x) のフーリエ変換：
F(k) = ∫_{−∞}^{∞} f(x) e^{−ikx} dx

逆変換：
f(x) = (1/2π) ∫_{−∞}^{∞} F(k) e^{ikx} dk

【2. 性質（基本公式）】

性質 式 意味
線形性 a·f₁ + b·f₂ ⇔ a·F₁ + b·F₂ 加算に対応
微分 f'(x) ⇔ (ik)F(k) x微分はk倍
積分 ∫f(x)dx ⇔ F(k)/(ik) 積分は1/(ik)倍
平行移動 f(x−x₀) ⇔ e^{−ikx₀}F(k) シフト
スケーリング f(ax) ⇔ (1/ a )F(k/a) 拡大縮小
畳み込み (f∗g)(x) ⇔ F(k)G(k) 積は畳み込み

【問題1】

f(x)=1 (−a<x<a) のフーリエ変換を求めよ。

解説
F(k)=∫_{−a}^{a} e^{−ikx}dx = 2 sin(ka)/k
∴ F(k) = 2 sin(ka)/k

（sinθ/θ → 1 の極限で k→0 の場合も含む）

【問題2】

f'(x) のフーリエ変換を求めよ。

解説
f'(x) = d/dx f(x)
F{f'(x)} = ∫ f'(x)e^{−ikx}dx
= [f(x)e^{−ikx}] − (−ik)∫f(x)e^{−ikx}dx
= ik·F(k)

∴ f'(x) ⇔ ikF(k)

【問題3】

F(k) = ∫ f(x)e^{−ikx}dx の両辺を k で微分すると？

解説
dF/dk = ∫ f(x)(−ix)e^{−ikx}dx
∴ x·f(x) ⇔ i·dF/dk

【問題4】

ガウス関数 f(x)=e^{−x²/a²} のフーリエ変換を求めよ。

解説
F(k)=∫ e^{−x²/a²}e^{−ikx}dx
= √π·a·e^{−(ak/2)²}
∴ フーリエ変換後もガウス型になる。

【問題5】

畳み込み (f∗g)(x) のフーリエ変換を求めよ。

解説
(f∗g)(x)=∫f(t)g(x−t)dt
F{f∗g}=F(k)G(k)

∴ 畳み込みは周波数領域での積に対応。

【問題6】

デルタ関数 δ(x−t) の性質を示せ。

解説
∫ f(x)δ(x−t)dx=f(t)
δ(x−t)=δ(t−x)
∴ フーリエ変換では e^{−ikt}

【問題7】

偶関数 f(x)=f(−x) と奇関数 f(−x)=−f(x) の場合。

解説

  • 偶関数 ⇒ フーリエ余弦変換のみ非ゼロ
    F_c(k)=2∫₀^∞ f(x)cos(kx)dx
  • 奇関数 ⇒ フーリエ正弦変換のみ非ゼロ
    F_s(k)=2i∫₀^∞ f(x)sin(kx)dx

【応用：FFT（高速フーリエ変換）】

FFT はフーリエ変換を 離散化して高速計算する手法。
離散フーリエ変換 (DFT) の式：

Xₖ = Σ_{n=0}^{N−1} xₙ e^{−i(2π/N)kn}
xₙ = (1/N) Σ_{k=0}^{N−1} Xₖ e^{i(2π/N)kn}

計算量：

  • 直接計算：O(N²)
  • FFT法（分割統治）：O(N log₂N)

【問題8】

N=4 の場合の FFT 手順を説明せよ。

解説

  1. 入力列 x₀,x₁,x₂,x₃ を偶奇に分離：
    　偶数: x₀,x₂ → E(k), 奇数: x₁,x₃ → O(k)
  2. 再結合：
    　X(k)=E(k)+W_N^k O(k), X(k+N/2)=E(k)−W_N^k O(k)
    　ただし W_N=e^{−i(2π/N)}
  3. これを再帰的に適用する。

【問題9】

FFTの工学的応用を述べよ。

分野 用途
音響 スペクトル分析、ノイズ除去
画像処理 フィルタリング、圧縮
通信 OFDM変調、スペクトル拡散
機械学習 畳み込み計算の高速化（CNN）
制御・信号処理 周波数応答解析、フィードバック設計

第5章　微分方程式と偏微分方程式

第1節　常微分方程式（Ordinary Differential Equations）

【1】定義

未知関数 y(x) とその導関数 dy/dx, d²y/dx²,… を含む方程式を
微分方程式（Differential Equation） という。

例：
dy/dx = ky　　　　（指数的増加）
d²x/dt² = −ω²x　（単振動）

【2】階数と次数

  • 階数：含まれる最高階の導関数の階数。
  • 次数：導関数の指数。

例：
(d²y/dx²)³ + (dy/dx)² = 0
→ 階数 = 2, 次数 = 3

【3】解の種類

  • 一般解：任意定数Cを含む。
  • 特解：初期条件でCを決定。

dy/dx = ky
→ y = Ce^{kx},　y(0)=y₀ ⇒ y=y₀e^{kx}

【4】分離変数形

dy/dx = f(x)g(y) のとき
(1/g(y)) dy = f(x) dx
両辺を積分：
∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx

例：
dy/dx = 2xy → (1/y)dy=2x dx → ln|y|=x²+C → y=C'e^{x²}

【5】1階線形微分方程式

dy/dx + P(x)y = Q(x)
積分因子 μ(x)=e^{∫P(x)dx}
→ y=(1/μ)∫μQ dx

例：dy/dx + y = e^x
μ=e^x, y=e^{−x}∫e^{2x}dx=(1/2)e^x+Ce^{−x}

【6】2階線形微分方程式（定係数）

a d²y/dx² + b dy/dx + c y = 0
→ 特性方程式：a r² + b r + c = 0

判別式 根の種類 一般解
b²−4ac>0 実数根 y=C₁e^{r₁x}+C₂e^{r₂x}
b²−4ac=0 重根 y=(C₁+C₂x)e^{rx}
b²−4ac<0 複素根 y=e^{αx}(C₁cosβx+C₂sinβx)

【7】応用例（単振動）

d²x/dt² + ω²x = 0
→ x = A cos(ωt) + B sin(ωt),　周期T=2π/ω

【8】数値解法（オイラー法）

y_{n+1} = y_n + f(x_n,y_n)Δx

Python実装：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x,y): return -2*y
x0,y0,h,N = 0,1,0.1,20
x=np.arange(0,N*h,h); y=np.zeros(len(x)); y[0]=y0
for n in range(1,len(x)): y[n]=y[n-1]+h*f(x[n-1],y[n-1])
plt.plot(x,y,'o-',label='Euler'); plt.plot(x,np.exp(-2*x),label='Exact')
plt.legend(); plt.xlabel('x'); plt.ylabel('y'); plt.show()

第2節　偏微分方程式（Partial Differential Equations）

【1】定義

複数の独立変数をもつ未知関数 u(x,t,…) の偏導関数を含む方程式。
∂u/∂t = α∂²u/∂x²

【2】代表式と物理的意味

種類 一般形 物理現象
熱伝導方程式 ∂u/∂t = α∂²u/∂x² 温度伝導
波動方程式 ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² 弦の振動
ラプラス方程式 ∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0 定常電位
ポアソン方程式 ∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=f(x,y) 外力分布場

【3】熱伝導方程式の導出

熱流束 q = −k ∂u/∂x
エネルギー保存：ρc ∂u/∂t = ∂q/∂x
→ ∂u/∂t = (k/ρc)∂²u/∂x² = α∂²u/∂x²

【4】変数分離法による解析解

u(x,t)=X(x)T(t) とおく。

∂u/∂t=α∂²u/∂x² → X dT/dt = αT d²X/dx²
(1/T)dT/dt = α(1/X)d²X/dx² = −λ

解：
T(t)=Ce^{−αλt},　X(x)=A sin(√λx)+B cos(√λx)

境界条件X(0)=X(L)=0より
λₙ=(nπ/L)²
→ u(x,t)=Σ Aₙ sin(nπx/L)e^{−α(nπ/L)²t}

【5】波動方程式の解析解

∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²

解：u(x,t)=f(x−ct)+g(x+ct)

例：弦の振動：u(x,t)=A sin(kx−ωt)

k=2π/λ,　ω=2πf,　位相速度v=ω/k=c

【6】ラプラス方程式（2次元）

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0
電位・熱分布の定常状態に現れる。

【7】有限差分法（FDM）による熱方程式近似

u_{i,j+1}=u_{i,j}+α(Δt/Δx²)(u_{i+1,j}−2u_{i,j}+u_{i−1,j})

安定条件：αΔt/Δx² ≤ 1/2

Python例：

import numpy as np, matplotlib.pyplot as plt
alpha,L,Nx,dt,Nt=0.01,1.0,50,0.0005,500
dx=L/Nx; x=np.linspace(0,L,Nx+1)
u=np.sin(np.pi*x); u_new=np.zeros_like(u)
for n in range(Nt):
    for i in range(1,Nx):
        u_new[i]=u[i]+alpha*dt/dx**2*(u[i+1]-2*u[i]+u[i-1])
    u[:]=u_new[:]
plt.plot(x,u); plt.xlabel('x'); plt.ylabel('u(x,t)'); plt.title('Heat Equation')
plt.show()
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