CMOS差動増幅回路の小信号等価回路

1. 基本方針

差動増幅回路における周波数特性を求めるために、小信号等価回路を作り、
ノード電圧 vx と vout において キルヒホッフの電流則 (KCL) を適用する。

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2. vx ノードでの KCL

vx ( 1/(1/gm3) + 1/(1/sC1) ) = - gm1 vin1

整理すると：

vx (gm3 + sC1) / (gm3 sC1) = - gm1 vin1

よって：

vx = - gm1 vin1 / (gm3 + sC1)

→ ここで 入力 vin1 に対する中間ノード電圧 vx が求まった。
C1 と gm3 が並列に作用しており、低周波では gm3、
高周波ではコンデンサ C1 の影響が支配的になる。

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3. vout ノードでの KCL

- gm2 vin2 - vout/r2 - gm4 vx - vout/r4 - vout sC2 = 0

整理して：

vout (1/r2 + 1/r4 + sC2) = - gm2 vin2 - gm4 vx

ここに vx を代入する。

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4. vx を代入した式

vout = (r2 || r4) / (1 + sC2 (r2 || r4)) ( - gm2 vin2 + gm4 (gm1 vin1)/(gm3 + sC1) )

さらに整理して：

vout = (r2 || r4) / (1 + sC2 (r2 || r4)) ( (gm4 gm1)/(gm3 + sC1) vin1 - gm2 vin2 )

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5. 差動入力の仮定

トランジスタペアが対称であると仮定し、

gm3 = gm4 = gmp
gm1 = gm2 = gmn
vin1 = vin / 2
vin2 = - vin / 2

を代入すると：

vout = (r2 || r4) / (1 + sC2 (r2 || r4)) ( gmn gmp / (gmp + sC1) ) vin

→ 差動入力 vin に対する出力 vout の式が得られた。

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6. 周波数領域での表現

s = jω とすると、

vout = ( (r2 || r4) gmn (1 + ω C1 / (j gmp)) ) 
        / ( (1 + jω C2 (r2 || r4)) (1 + jω C1 / gmp) ) vin

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7. 極 (Pole) と零点 (Zero)

この回路の伝達関数 H(jω) = vout/vin には以下の特徴がある：

• 低域極 (p1)

  p1 = 1 / (C2 (r2 || r4))
  

  → 出力抵抗 (r2 || r4) と負荷容量 C2 によって決まる低域のカットオフ周波数。

• 高域極 (p2)

  p2 = gmp / C1
  

  → トランジスタ gm と容量 C1 による高周波の制限。

• 零点 (z1)

  z1 = 2 gmp / C1
  

  → C1 の影響で高周波領域に零点が現れ、特定の周波数で利得が打ち消されにくくなる。

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8. 特性のまとめ

• 低周波領域: 増幅率はほぼ DC 値に近づく

  Av ≈ gmn (r2 || r4)
  

• 中周波領域: C2 によりロールオフが始まり、ゲインが下がる

• 高周波領域: C1 の極 (p2) によりさらにゲインが減衰
  ただし零点 (z1) により一時的に周波数応答が持ち上がることがある

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9. ボード線図の解釈

• 低周波：フラットなゲイン (定常利得)
• p1 付近：-20 dB/dec の減衰
• p2 付近：-40 dB/dec の減衰
• z1 によって +20 dB/dec が打ち消し効果を持つ

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import signal

# ============================
# Parameters (All variables centralized)
# ============================
gmn = 1e-3 * 20    # Transconductance of NMOS [A/V] (example: 20 mS)
gmp = 1e-3 * 10    # Transconductance of PMOS [A/V] (example: 10 mS)
r2 = 20e3          # Resistance r2 [Ohm]
r4 = 20e3          # Resistance r4 [Ohm]
C1 = 1e-12         # Capacitance C1 [F]
C2 = 10e-12        # Capacitance C2 [F]

# Parallel resistance
Rout = (r2 * r4) / (r2 + r4)

# Poles and zero
p1 = 1 / (C2 * Rout)   # Low-frequency pole
p2 = gmp / C1          # High-frequency pole
z1 = 2 * gmp / C1      # Zero

print("p1 = %.2e [rad/s]" % p1)
print("p2 = %.2e [rad/s]" % p2)
print("z1 = %.2e [rad/s]" % z1)

# ============================
# Transfer function definition
# ============================
# H(s) = ( (Rout * gmn) * (1 + s/z1) ) / ( (1 + s/p1) (1 + s/p2) )
num = [Rout * gmn / z1, Rout * gmn]              # numerator coefficients (s/z1 + 1)
den = [1/(p1*p2), (1/p1 + 1/p2), 1]              # denominator (s^2/(p1p2) + s(1/p1+1/p2)+1)

system = signal.TransferFunction(num, den)

# ============================
# Frequency response (Bode plot)
# ============================
w = np.logspace(3, 9, 1000)   # Frequency range: 1 kHz to 1 GHz
w, mag, phase = signal.bode(system, w)

# ============================
# Plot Bode diagram
# ============================
plt.figure()
plt.semilogx(w, mag)
plt.title("Bode Magnitude Response")
plt.xlabel("Frequency [rad/s]")
plt.ylabel("Magnitude [dB]")
plt.grid(which="both")

plt.figure()
plt.semilogx(w, phase)
plt.title("Bode Phase Response")
plt.xlabel("Frequency [rad/s]")
plt.ylabel("Phase [deg]")
plt.grid(which="both")

plt.show()