システム制御のための数学

信号処理

Last updated at 2025-10-26Posted at 2025-10-26

1．集合と関数の基礎概念

1.1　距離空間 (Metric Space)

1.1.1　集合 (Set)

集合とは、特定の性質をもつ要素（element）の集まり。

例：

A = {1, 2, 3}
B = {x ∈ ℝ | x² ≤ 1} = [−1, 1]

基本演算：

和集合：A ∪ B = {x | x ∈ A または x ∈ B}
共通部分：A ∩ B = {x | x ∈ A かつ x ∈ B}
差集合：A − B = {x | x ∈ A かつ x ∉ B}
補集合：Aᶜ = {x | x ∉ A}

関数（写像）：

f: X → Y
x ∈ X に対し、ただ一つの f(x) ∈ Y を対応させる。

工学的対応：
センサ入力集合 X と、出力電圧集合 Y の対応を定義するもの。

1.1.2　距離空間の定義

集合 X に、距離関数（metric）

d: X × X → ℝ

を定義し、次の条件を満たすとき (X, d) を距離空間という。

条件：

非負性・同一性
```
d(x, y) ≥ 0
d(x, y) = 0 ⇔ x = y
```
対称性
```
d(x, y) = d(y, x)
```
三角不等式
```
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
```

代表例：

(1) 実数直線：d(x, y) = |x − y|
(2) 平面：d(x, y) = √((x₁−y₁)² + (x₂−y₂)²)
(3) マンハッタン距離：d(x, y) = |x₁−y₁| + |x₂−y₂|
(4) 信号距離（L²ノルム）：d(f,g) = √∫ |f(t)−g(t)|² dt

物理的意味：

計測工学 → 測定値間の誤差の大きさ
制御工学 → 状態ベクトル間の偏差 ||x₁−x₂||₂

1.1.3　距離空間の開集合と閉集合

中心 x₀ ∈ X, 半径 r > 0 に対して、

B(x₀, r) = {x ∈ X | d(x, x₀) < r}

を開球 (open ball) という。

定義：

開集合 (open set)：

U が開 ⇔ 任意の x ∈ U に対し、ある r>0 が存在して B(x, r) ⊆ U

閉集合 (closed set)：

補集合 Uᶜ が開集合であるとき、U は閉集合。

例：

(0, 1) は開集合
[0, 1] は閉集合
[0, 1) はどちらでもない

物理的解釈：

開集合 → 測定点が「揺らいでも含まれる範囲」
閉集合 → 系の極限状態を含む安定範囲

1.2　距離空間での連続関数

(1) ε–δ（イプシロン–デルタ）による定義

距離空間 (X, dₓ), (Y, dᵧ) の間の関数 f: X → Y が
点 x₀ ∈ X で連続であるとは：

∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 が存在して、
dₓ(x, x₀) < δ ⇒ dᵧ(f(x), f(x₀)) < ε

これが解析学における連続性の厳密定義。
口語的に言えば「入力をほんの少し変えたら、出力もほんの少ししか変わらない」。

(2) 制御・計測への対応

数学概念	制御・計測対応	意味
δ	入力側の許容誤差	入力変化の範囲
ε	出力側の許容誤差	応答の変化許容幅
連続性	安定性	入出力が滑らかに変化
一様連続	ロバスト安定性	すべての動作点で一様に安定

例：

f(x) = x²
|f(x) − f(a)| = |x−a||x+a|
|x−a|<δ のとき |f(x)−f(a)|<ε
→ δ = ε/(2|a|+1) で成立

(3) 関数の極限との関係

limₓ→a f(x) = L ⇔

∀ε>0 ∃δ>0: |x−a|<δ ⇒ |f(x)−L|<ε

これが ε–δ論法の原型。
制御理論では、「時間→無限大の極限で出力が目標値に収束する」ことと同義。

1.3　完備距離空間・コンパクト集合

1.3.1　完備距離空間 (Complete Metric Space)

定義：
距離空間 (X, d) の列 {xₙ} が コーシー列 (Cauchy sequence) であるとは：

∀ε>0, ∃N>0 s.t. m,n > N ⇒ d(xₙ, xₘ) < ε

(X, d) が完備とは、
すべてのコーシー列が X 内で収束点をもつこと。

例：

(ℝ, |·|) は完備。
(ℚ, |·|) は不完備（√2 などの極限が存在しない）。

工学的対応：

数学	制御・計測での意味
コーシー列	反復推定が収束する系列
完備空間	収束点が必ず存在（推定値が安定）
不完備空間	測定ノイズ・離散化で発散の可能性

応用例：
カルマンフィルタや最小二乗推定の更新式：

xₖ₊₁ = A xₖ + K(yₖ − Cxₖ)

は完備空間上のコーシー列として解析され、
安定性＝収束性の保証は完備性の上に成立する（Banach不動点定理）。

1.3.2　コンパクト集合 (Compact Set)

定義（開被覆による定義）：

K ⊂ X がコンパクトとは：

任意の開集合族 {Uᵢ} が K を覆う (K ⊆ ∪Uᵢ) とき、
有限個の U₁,…,Uₙ で K を覆える。

直感的意味：
「どんなに細かく分けても、有限個のパッチで覆える範囲」
＝有限的・閉じた・安定な領域。

解析学的同値（ℝⁿの場合）：

K が閉かつ有界 ⇔ K はコンパクト

例：

[0, 1] → 閉＋有界 → コンパクト
(0, 1) → 閉でない → 非コンパクト

工学的対応：

数学概念	制御・計測における意味
有界性	信号や状態が有限範囲に収まる（安定動作）
閉性	境界・極限状態を含む（飽和点を含む）
コンパクト性	安定制御範囲・最適値の存在保証

重要定理（極値定理）：
K がコンパクトで f: K → ℝ が連続なら、
f は最大値・最小値をとる。

制御理論への応用：

最適制御問題
J(u) = ∫₀ᵀ L(x(t), u(t)) dt

が連続関数で、制約集合 U がコンパクトなら
最適解 u* が存在（最適制御の存在定理）。

1.3.3　安定性の厳密定義（ε–δ論法によるリアプノフ安定性）

(1) 自律系の設定

外部入力を持たない自律系：

ẋ = f(x),  f(0) = 0

平衡点（equilibrium point）x = 0 の安定性を議論する。

(2) ε–δ論法によるリアプノフ安定性の定義

平衡点 x = 0 がリアプノフ安定であるとは：

∀ε > 0 に対して ∃δ > 0 が存在し、
||x(0)|| < δ ならば ∀t ≥ 0 に対して ||x(t)|| < ε

が成り立つことをいう。

言い換えれば：

初期値 x(0) が平衡点の十分近くにあれば、時間が経過してもその近傍を出ない。

(幾何学的意味)

δ：初期誤差（入力の許容範囲）
ε：出力または状態の許容誤差（偏差の上限）
条件：「入力誤差 δ をこれ以下にすれば、全時間にわたって出力誤差 ε を超えない」

(解析的証明構造)

安定性を厳密に示す際の論理構造：

任意の ε > 0 をとる
系の動的方程式 f(x) の性質から、ある δ(ε) を求める
もし ||x(0)|| < δ(ε) ならば、すべての時刻で ||x(t)|| < ε が成立

このとき「ε–δ論法によるリアプノフ安定」と呼ばれる。
これは実解析の連続性定義そのものである。

(制御工学的視点)

連続関数 f(x) の安定性は、時間発展写像

φₜ(x₀) = x(t; x₀)

に対して：

∀ε>0, ∃δ>0: d(x₀,0)<δ ⇒ d(φₜ(x₀),0)<ε, ∀t≥0

が成り立つことに等しい。

→ すなわち「時刻 t に依存しない一様な安定性（uniform stability）」を意味する。

(3) 漸近安定性（Asymptotic stability）

平衡点 x=0 がリアプノフ安定であり、さらに

lim_{t→∞} x(t) = 0

を満たすとき、x=0 は漸近安定である。

式で表すと：

∀ε>0, ∃δ>0:
||x(0)||<δ ⇒ (∀t≥0, ||x(t)||<ε かつ lim_{t→∞}||x(t)||=0)

(物理的・工学的意味)

数学概念	制御的意味
ε–δ安定	系が暴走せず、近傍に留まる
漸近安定	系が自己修復し、最終的に平衡点に収束
不安定	任意に小さな誤差でも発散する

(4) 線形系への適用

線形時不変系：

ẋ = A x

のとき、一般解は

x(t) = e^{At} x(0)

このとき平衡点 x=0 の安定性は 行列 A の固有値 λᵢ によって決まる：

安定の種類	固有値条件	系の挙動
リアプノフ安定	Re(λᵢ) ≤ 0 かつ重根に対してジョルダンブロックが一次	発散しない
漸近安定	Re(λᵢ) < 0	平衡点に指数関数的に収束
不安定	Re(λᵢ) > 0 のものが存在	発散

(例1)

A = [ -a ], a > 0
ẋ = -a x
x(t) = e^{−a t} x(0)

→ 任意の ε>0 に対して δ=ε がとれる。
→ かつ limₜ→∞ x(t)=0
→ 漸近安定。

(例2)

A = [ 0  1; -1  0 ]
ẋ₁ = x₂, ẋ₂ = −x₁

→ 単振動：x(t)=cos(ωt), sin(ωt)
→ ||x(t)||=||x(0)|| 一定
→ リアプノフ安定（近傍を出ない）が漸近安定ではない。

(5) エネルギー関数による ε–δ証明（リアプノフ関数法）

関数 V(x) を定義して：

V(x) > 0 (x ≠ 0)
V̇(x) = (∂V/∂x)·f(x) ≤ 0

が成り立つとき、平衡点はリアプノフ安定。
さらに V̇(x) < 0 なら漸近安定。

ε–δ論法の形では：

V(x) のレベル集合 {x | V(x) < ε} を考える
この集合に対して δ を選べば、V̇(x) ≤ 0 により
||x(t)|| は ε の外へ出られない。

すなわち：

||x(0)||<δ ⇒ ||x(t)||<ε, ∀t≥0

を満たす。

(線形系での具体式)

V(x) = xᵀ P x,  P > 0

とし、

AᵀP + P A = −Q,  Q > 0

を満たすとき：

V̇(x) = xᵀ (AᵀP + P A) x = −xᵀ Q x < 0

→ ε–δ条件を満たし、漸近安定。
これは PDF 中の式

PA + AᵀP = −I

に対応。

1.3.4　リアプノフ関数による安定判別法の構成

（V(x)=xᵀPx, PA+AᵀP=−Q の解法と意味）

(1) 問題設定

考えるシステム：

ẋ = A x

ただし
x ∈ ℝⁿ：状態ベクトル
A ∈ ℝⁿ×ⁿ：定数行列

平衡点 x = 0 の安定性を判定したい。

(2) リアプノフ関数の構成

リアプノフ関数 (Lyapunov function) とは、
状態 x の大きさを測るエネルギー関数のようなものであり、
次の性質を満たす関数 V(x) を探す。

V(x) > 0 (x ≠ 0)
V(0) = 0
V̇(x) ≤ 0 (すなわち時間とともに減少)

具体的な選び方

最もよく使われる二次形式：

V(x) = xᵀ P x

ここで P は対称正定値行列：

P = Pᵀ > 0

(3) V̇(x) の計算

時間微分をとる：

V̇(x) = (d/dt)(xᵀ P x)
       = ẋᵀ P x + xᵀ P ẋ
       = (A x)ᵀ P x + xᵀ P (A x)
       = xᵀ (Aᵀ P + P A) x

したがって、
V̇(x) < 0 を保証するための条件は：

Aᵀ P + P A < 0

(4) リアプノフ方程式の定義

解析の都合上、次のように設定する：

Aᵀ P + P A = −Q

ここで Q は任意の正定値行列（Q = Qᵀ > 0）。

この式をリアプノフ方程式 (Lyapunov equation) という。
P をこの式から求めることで、安定性を判定できる。

(5) 安定性判定条件

次の2条件が満たされれば、システム ẋ = A x は安定：

Q > 0（任意の正定値行列）
そのときの P > 0（リアプノフ方程式の解が正定値）

このとき

V(x) = xᵀ P x > 0
V̇(x) = −xᵀ Q x < 0 (x ≠ 0)

が成立し、
ε–δの意味でリアプノフ安定かつ漸近安定。

(6) リアプノフ方程式の解法（理論的構成）

もし A が漸近安定（すなわち Re(λᵢ(A)) < 0）であれば、
次の積分式で P を構成できる：

P = ∫₀^∞ e^{Aᵀt} Q e^{A t} dt

これを代入すると：

AᵀP + P A = −Q

を満たすことが確認できる（部分積分により証明可能）。

V̇(x) = −xᵀ Q x ≤ 0
よって t→∞ で V(x(t)) → 0
積分両辺を取ると
```
∫₀^∞ xᵀ Q x dt = x₀ᵀ P x₀
```
が成り立ち、P は上式の形で構成される。

(7) ε–δ 論法との対応

リアプノフ安定の定義：

∀ε > 0, ∃δ > 0 :
||x(0)|| < δ ⇒ ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ 0

V(x)=xᵀPx, V̇(x)=−xᵀQx より：

P, Q が正定値なので
```
λ_min(P)||x||² ≤ V(x) ≤ λ_max(P)||x||²
```
が成り立つ。
（λ_min, λ_max：P の最小・最大固有値）
V̇(x) = −xᵀ Q x ≤ −λ_min(Q)||x||²
したがって
```
V(t) ≤ V(0)e^{−(λ_min(Q)/λ_max(P))t}
```

よって

||x(t)|| ≤ sqrt(λ_max(P)/λ_min(P)) e^{−αt} ||x(0)||,
α = λ_min(Q)/λ_max(P)

→ 時間指数的に 0 へ収束（指数安定）。

ε–δで言えば、δ = ε·e^{αt} の関数として定義できる。

(8) 実際の2次系の例

A = [ -2  -1;
       1  -3 ]
Q = I

求める P は

AᵀP + P A = −I

を満たす線形方程式。
展開して求めると：

P = [ 0.875  0.125;
      0.125  0.625 ]

P > 0 が確認できるため、漸近安定。

(9) 幾何学的解釈

V(x) = xᵀP x は楕円体エネルギー面を表す。
V̇(x) < 0 ならば、時間とともに楕円が内側へ縮小。
これは「状態軌道が原点へ吸い込まれる」ことを意味。

(10) 安定性分類まとめ

安定性の種類	条件式	性質	対応する ε–δ 形
リアプノフ安定	AᵀP+PA ≤ 0	近傍から出ない		x(0)	<δ ⇒	x(t)	<ε
漸近安定	AᵀP+PA < 0	原点に収束	同上＋limₜ→∞x(t)=0
指数安定	V̇(x) ≤ −αV(x)	速い収束		x(t)	≤ K e^{−αt}	x(0)
不安定	A に Re(λ)>0	発散	任意小 δ に対し ε超過

(11) 制御・計測への応用

分野	意味	使用箇所
状態フィードバック制御	安定閉ループ設計	A−BK の固有値設計
観測器設計	推定誤差系の安定化	A−LC の安定性検証
カルマンフィルタ	誤差共分散の漸近安定性	Ṗ = AP + PAᵀ + Q−P Cᵀ R⁻¹ C P
計測工学	外乱除去と安定観測	一様連続かつ有界性の保証

2．複素数と複素関数

2.1　複素数と複素平面

2.1.1　複素数

複素数は、実数では表せない「虚数単位 i（i² = −1）」を用いて
次のように表す。

z = x + i y

ここで
x：実部（Re(z)）
y：虚部（Im(z)）

複素数の演算：

加法：

(x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂) + i(y₁ + y₂)

積：

(x₁ + i y₁)(x₂ + i y₂) = (x₁x₂ − y₁y₂) + i(x₁y₂ + x₂y₁)

共役複素数：

z* = x − i y

絶対値（複素数の大きさ）：

|z| = sqrt(x² + y²)

極形式（polar form）：

複素数は大きさ r と偏角 θ を用いて次のようにも書ける。

z = r (cosθ + i sinθ)

この形をオイラーの公式を用いて

z = r e^{iθ}

と表す。

ここで
r = |z| （絶対値）
θ = arg(z) （偏角）

2.1.2　複素平面（Argand平面）

横軸に実部 x、縦軸に虚部 y を取る平面上で、
点 (x, y) を複素数 z = x + i y に対応させる。

これを複素平面 (complex plane) または アルガン図 (Argand diagram) という。

原点 O → 複素数 0
実軸 → 実数集合
虚軸 → 純虚数集合

回転：

z → e^{iθ}z ：角度 θ だけ回転

拡大・縮小：

z → r z ：r倍の拡大・縮小

2.2　複素関数

2.2.1　複素関数の微分

複素数 z = x + i y に対して、複素関数 f(z) は
一般に次のように定義される。

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

ここで
u, v：実変数 x, y の実関数。

複素微分の定義：

z = x + i y において、
f が z₀ で微分可能とは：

f'(z₀) = lim_{Δz→0} [f(z₀ + Δz) − f(z₀)] / Δz

が存在することをいう。

この極限が存在するためには、Δz をどの方向から 0 に近づけても同じ値になる必要がある。

その結果、必要十分条件：

実関数 u, v に対して

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = −∂v/∂x

が成立しなければならない。

これを コーシー・リーマンの方程式 (Cauchy–Riemann equations) という。

意味：

f(z) が複素微分可能 ⇔ 解析的 (analytic) 関数。
解析的関数は任意階微分可能であり、整級数展開が存在する。

例：

f(z) = z² = (x + i y)² = (x² − y²) + i (2xy)
→ ∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 2x, ∂u/∂y = −2y, ∂v/∂x = 2y
→ 条件を満たす ⇒ 微分可能。
f(z) = |z|² = x² + y²
→ ∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 0 ⇒ 条件を満たさない ⇒ 非解析。

2.2.2　整級数（power series）

解析的関数 f(z) は、その近傍で整級数展開できる。

f(z) = Σ_{n=0}^∞ a_n (z − z₀)^n

ここで
a_n = f^{(n)}(z₀) / n!

この式をテイラー展開 (Taylor series) という。

収束半径：

級数が収束する領域の半径 R は次で定義される。

1 / R = limsup_{n→∞} |a_{n+1} / a_n|

|z − z₀| < R の範囲で整級数が収束する。

特別な場合（マクローリン展開）：
z₀ = 0 のとき：

f(z) = Σ_{n=0}^∞ a_n z^n

代表的展開例：

e^z = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ...
sin z = z − z³/3! + z⁵/5! − ...
cos z = 1 − z²/2! + z⁴/4! − ...

これらはすべて複素平面上で収束する（R = ∞）。

2.2.3　指数関数（exponential function）

複素変数 z に対して、指数関数 e^z を

e^z = e^{x + i y} = e^x (cos y + i sin y)

と定義する。（オイラーの公式）

性質：

e^{z₁ + z₂} = e^{z₁} e^{z₂}
e^{−z} = 1 / e^{z}
d/dz e^{z} = e^{z}
|e^{iθ}| = 1
e^{iπ} = −1 （オイラーの等式）

周期性：

虚数部分に 2π を加えても変わらない：

e^{z + 2πi} = e^{z}

したがって指数関数は周期 2πi の周期関数。

応用（制御・信号処理）：

連続時間応答：
```
ẋ = A x  ⇒  x(t) = e^{A t} x(0)
```
→ e^{A t} が状態遷移行列。
振動解析：
```
e^{iωt} = cos(ωt) + i sin(ωt)
```
→ フーリエ解析や周波数応答に利用。
安定性条件：
系の応答 e^{λt} が収束するためには Re(λ) < 0。

3．曲線と線積分

3.1　線積分（Line Integral）

3.1.1　曲線の定義

空間上の点の動きを表すパラメータ表示を用いる。
実数区間 [a, b] に対して、連続関数

r(t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b)

が与えられるとき、この r(t) を**曲線（curve）または経路（path）**という。

性質：

x(t), y(t) が C¹級（1回微分可能）であれば、曲線は滑らか（smooth）。
始点：r(a) 終点：r(b)
方向（向き）を持つ → 線積分では重要。

接ベクトルと長さ：

r'(t) = (x'(t), y'(t))

曲線の長さ L は：

L = ∫ₐᵇ |r'(t)| dt = ∫ₐᵇ sqrt((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt

3.1.2　線積分の定義

(1) スカラー場に沿った線積分

スカラー関数 f(x, y) に対し、曲線 C: r(t) = (x(t), y(t)) 上で：

∫_C f(x, y) ds = ∫ₐᵇ f(x(t), y(t)) |r'(t)| dt

ここで ds = |r'(t)|dt は弧長要素。

意味：
温度分布 f(x, y) に沿って棒を動かしたときの「総温度」などを表す。

(2) ベクトル場に沿った線積分

ベクトル場 F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) に対して：

∫_C F · dr = ∫_C (P dx + Q dy)

パラメータ表示を代入して：

∫ₐᵇ [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt

物理的意味：

力 F による仕事
```
W = ∫_C F · dr
```
電界・磁界の循環（circulation）

(3) 線積分の性質

経路の向きを反転すると符号が反転：
```
∫_{−C} P dx + Q dy = −∫_C P dx + Q dy
```
経路を分割しても積分値は足し合わせ可能。
保存場（conservative field）：
```
F = ∇φ なら ∫_C F·dr = φ(B) − φ(A)
```
→ 経路に依存しない。

3.2　閉曲線の回転数とホモトピー

3.2.1　回転数（Winding Number）

閉曲線 C が複素平面上の点 z₀ を何回囲むかを表す数。

定義式：

n(C, z₀) = (1 / 2πi) ∫_C [dz / (z − z₀)]

ここで
z = x + i y, dz = dx + i dy。

意味：

n(C, z₀) は整数。
曲線が z₀ を反時計回りに1回回ると n = +1、
時計回りに回ると n = −1。
z₀ が曲線の外側にあると n = 0。

例：

C：|z|=1, z₀=0
```
∫_C dz / z = 2πi ⇒ n = 1
```
C：|z|=1, z₀=2
```
∫_C dz / (z−2) = 0 ⇒ n = 0
```

応用：

複素関数の積分で「どの極を囲んでいるか」を判定する。
コーシー積分公式や留数定理の基礎になる。

3.2.2　ホモトピー（Homotopy）

ホモトピーとは、2つの閉曲線 C₁, C₂ が連続的に変形可能である関係。

定義：

開集合 D ⊂ ℂ において、
閉曲線 C₁, C₂ が**ホモトピック（同変形的）**であるとは、
連続関数

H(s, t): [0, 1] × [0, 1] → D

が存在して、次を満たすこと。

H(0, t) = C₁(t)
H(1, t) = C₂(t)
H(s, 0) = H(s, 1)

すなわち、s の変化により C₁ が C₂ に連続的に変形する。

意味：

C₁ と C₂ が D 内でホモトピック ⇔ 積分結果が等しい（D 内に特異点なし）。
ホモトピー変形により、積分経路を単純化できる。

式的性質（Cauchy’s Theoremの前提）：

f(z) が領域 D で解析的で、C₁, C₂ が D 内でホモトピック
⇒ ∫_{C₁} f(z) dz = ∫_{C₂} f(z) dz

ホモロジーとの違い：

ホモトピー：連続変形の概念（トポロジー的）
ホモロジー：面の向きや複数経路の代数的関係を扱う（代数トポロジー的）

(例：ホモトピーと回転数の関係)

2つの経路 C₁, C₂ が同じ点 z₀ を囲む → n(C₁, z₀) = n(C₂, z₀)。
C₁, C₂ がホモトピックなら、囲む極の集合が同じ。
よって留数定理では「ホモトピーで等価な閉曲線の積分値は同じ」。

(工学的解釈)

数学概念	制御・信号解析での対応	意味
回転数	Nyquist軌跡の原点まわりの回転数	安定極の数
ホモトピー	周波数応答の連続変形	パラメータ変化に対するロバスト性
線積分	周波数応答積分・フーリエ積分	系のゲインや位相変化
閉曲線積分	安定性解析 (Argand図, Nyquist線図)	開ループ極の判定

以下は、第4章：コーシーの定理と級数展開 の厳密な式解説である。
複素解析の理論とその解析的・工学的意味をプレーンテキスト形式で整理する。

4．コーシーの定理と級数展開

4.1　コーシーの定理（Cauchy’s Integral Theorem）

(1) 定理の内容

領域 D ⊂ ℂ で f(z) が解析的（すなわち f'(z) が存在）であり、
C が D 内の単純閉曲線（自己交差しない閉経路）であるとする。

このとき：

∮_C f(z) dz = 0

(2) 幾何的意味

閉曲線上で複素解析関数を積分するとき、
その経路を一周しても「全体として戻ってくる」ため、総変化量はゼロになる。

→ 保存場の「循環がゼロ」に対応。

(3) 証明の概要（実解析的解釈）

f(z) = u(x, y) + i v(x, y), dz = dx + i dy
より：

∮_C f(z) dz = ∮_C (u + i v)(dx + i dy)
              = ∮_C (u dx − v dy) + i ∮_C (v dx + u dy)

グリーンの定理を用いると：

∮_C (u dx − v dy) = ∬_D (−∂v/∂x − ∂u/∂y) dx dy
∮_C (v dx + u dy) = ∬_D ( ∂u/∂x − ∂v/∂y) dx dy

コーシー・リーマン方程式

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = −∂v/∂x

を使うと、両方とも 0 になる。よって積分値は 0。

(4) 応用的理解

積分経路を変形しても結果が変わらない（特異点がなければ）。
電場・磁場・流体のポテンシャル解析で利用。
フーリエ積分や信号の安定解析でも同型構造をもつ。

4.2　コーシーの積分公式（Cauchy’s Integral Formula）

(1) 定理

f(z) が領域 D 内で解析的であり、
C が D 内の単純閉曲線で、z₀ がその内部にあるとする。

このとき：

f(z₀) = (1 / 2πi) ∮_C [f(z) / (z − z₀)] dz

(2) 意味

閉曲線上の値 f(z) から、内部の任意点での f(z₀) の値を一意に決定できる。
解析的関数は「境界値だけで内部が決まる」＝ポテンシャルのような性質。

(3) 高次導関数への拡張

f(z) が C 内で解析的なら：

f^{(n)}(z₀) = (n! / 2πi) ∮_C [f(z) / (z − z₀)^{n+1}] dz

(4) 重要な帰結

解析的関数は任意階で微分可能。
微分と積分の順序を入れ替えてもよい。

(5) 工学的応用

周波数応答の再構成（信号の解析性）
フィルタの安定域（内部解析性 ⇔ 極が外にある）
アナログ回路の伝達関数設計に応用される。

4.3　テイラー級数（Taylor Series）

(1) 定理

f(z) が z₀ の近傍で解析的ならば：

f(z) = Σ_{n=0}^∞ [f^{(n)}(z₀) / n!] (z − z₀)^n

(2) 導出（コーシー積分公式から）

f^{(n)}(z₀) = (n! / 2πi) ∮_C [f(ζ) / (ζ − z₀)^{n+1}] dζ

これを f(z) の展開式に代入すると上の式を得る。

(3) 収束半径

R = min{|z₀ − a_k|}

ただし a_k は f(z) の特異点（解析でない点）。
→ 最近接の特異点までの距離が収束半径になる。

(4) 代表例

e^z = Σ z^n / n!
sin z = Σ (−1)^n z^{2n+1} / (2n+1)!
cos z = Σ (−1)^n z^{2n} / (2n)!
1/(1−z) = Σ z^n (|z|<1)

(5) 工学的意味

近似解析（小信号線形化）
制御系の伝達関数展開（低周波近似）
伝達関数 H(s) のマクローリン展開 → フィルタ応答の局所評価。

4.4　コーシーの定理のその他の帰結

4.4.1　リウヴィルの定理（Liouville’s Theorem）

(1) 定理の内容

f(z) が複素平面全体で解析的（整関数 entire）で、
かつ |f(z)| が有界（有限の M が存在して |f(z)| ≤ M）ならば：

f(z) は定数である。

(2) 証明（コーシー積分公式を用いる）

コーシー積分公式：

f'(z₀) = (1 / 2πi) ∮ [f(z)/(z−z₀)²] dz

積分経路を半径 R の円に取ると：

|f'(z₀)| ≤ (1 / 2π) (2πR M / R²) = M / R

R → ∞ で右辺 → 0 ⇒ f'(z₀) = 0。
したがって f は定数。

(3) 応用：代数学の基本定理

f(z) が多項式ならば、無限遠で |f(z)| → ∞。
したがって f(z) = 0 の解が少なくとも1つ存在する。

(4) 工学的意味

有界応答系（BIBO安定）の特性に対応。
系が「無限に発散しない」＝一定動作。

4.4.2　モレラの定理（Morera’s Theorem）

(1) 定理の内容

領域 D ⊂ ℂ 上で連続な関数 f(z) が、
任意の閉曲線 C ⊂ D に対して

∮_C f(z) dz = 0

を満たすならば、f(z) は D 内で解析的である。

(2) 意味

「積分がゼロ ⇒ 解析的」というコーシーの定理の逆。
積分可能性条件から解析性を導く。

(3) 証明の流れ

∮_C f(z)dz=0 より経路独立性が得られる。
原始関数 F(z)=∫_C f(z)dz を定義できる。
F'(z)=f(z) が存在するため、f は解析的。

(4) 解析学的・物理的解釈

概念	数学的条件	工学的対応
コーシーの定理	f が解析的 ⇒ ∮ f dz = 0	保守場・無渦流
モレラの定理	∮ f dz = 0 ⇒ f が解析的	無循環 ⇒ ポテンシャル存在
リウヴィルの定理	解析的＋有界 ⇒ 定数	安定・非発散系

(5) まとめ表

節	定理	式	意味
4.1	コーシーの定理	∮ f(z)dz=0	解析性の結果
4.2	積分公式	f(z₀)=(1/2πi)∮f(z)/(z−z₀)dz	内部値決定
4.3	テイラー級数	f(z)=Σ f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! (z−z₀)ⁿ	解析展開
4.4.1	リウヴィル	有界解析関数は定数	整関数の制限
4.4.2	モレラ	∮ fdz=0 ⇒ f解析的	コーシーの逆定理

5．ローラン級数と孤立特異点

5.1　ローラン級数（Laurent Series）

(1) 定義

f(z) が点 z₀ の近傍で解析的であり、z₀ に孤立した特異点をもつとき、
f(z) は次の形に展開できる：

f(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} a_n (z − z₀)^n

これをローラン級数 (Laurent series) という。

(2) 構造

ローラン級数は2つの部分に分かれる：

f(z) = (正則項) + (主部)
     = Σ_{n=0}^{∞} a_n (z − z₀)^n  +  Σ_{n=1}^{∞} a_{−n} (z − z₀)^{−n}

正則項（解析的部分） → テイラー級数と同じ構造
主部（principal part） → 特異性を表す部分

(3) 係数の計算式

ローラン級数の係数は次で与えられる：

a_n = (1 / 2πi) ∮_C [f(z) / (z − z₀)^{n+1}] dz

（C は z₀ を囲む閉曲線）

特に：

a_{−1} = (1 / 2πi) ∮_C f(z) dz

→ これが留数 (residue)。

(4) 収束領域

ローラン級数は、
z₀ の周囲に存在する環状領域（annulus）

r₁ < |z − z₀| < r₂

で収束する。

(5) 例

f(z) = 1 / (z (z − 1))

z₀ = 0 の近傍では：

f(z) = −1/z + 1/(1 − z)
     = −1/z + Σ_{n=0}^{∞} z^n

→ 主部 −1/z, 正則部 Σ z^n。

f(z) = e^{1/z} = 1 + 1/z + 1/(2!z²) + ...

→ 無限に続く負の冪項を持つ → 真性特異点。

5.2　孤立特異点（Isolated Singular Points）

(1) 定義

関数 f(z) が領域 D 内で解析的だが、点 z₀ では定義されないとき、
もし z₀ の近傍で f(z) が解析的（ただし z=z₀ は除く）であるなら、
z₀ を孤立特異点という。

(2) 分類（5.2.1）

f(z) の z₀ でのローラン展開

f(z) = Σ_{n=−∞}^{∞} a_n (z − z₀)^n

の形によって、特異点の性質を3種類に分類する。

(a) 除去可能特異点（Removable singularity）

主部の項（負の冪項）が存在しない場合：

a_{−n} = 0 (n ≥ 1)

→ f(z₀) を連続的に定義できる。

例：

f(z) = (sin z) / z = 1 − z²/3! + ...

→ z=0 は除去可能特異点。

(b) 極（Pole）

有限個の負の冪項が存在する場合。

f(z) = a_{−m}(z − z₀)^{−m} + ... + a_{−1}/(z − z₀) + 正則項

最も次数の大きい −m の項をもつとき、z₀ はm位の極（pole of order m）。

例：

f(z) = 1 / (z − z₀)^2

→ 2位の極。

(c) 真性特異点（Essential singularity）

無限に多くの負の冪項をもつ場合。

例：

f(z) = e^{1/z} = 1 + 1/z + 1/(2!z²) + ...

真性特異点では、z→z₀ のとき f(z) は任意の複素値を取る（カゾラティ・ワイエルシュトラスの定理）。

(3) 有理形関数と有理関数（5.2.2）

(a) 有理形関数（Rational form function）

2つの解析関数の商：

f(z) = φ(z) / ψ(z)

ψ(z) の零点が極となる。

(b) 有理関数（Rational function）

分子・分母ともに多項式のとき：

f(z) = P(z) / Q(z)

特異点は Q(z) = 0 の根。
有限個の極のみをもつ（真性特異点なし）。

例：

f(z) = (z² + 1) / (z³ − 2z + 1)

5.3　留数の定理と偏角の原理

5.3.1　留数の定理（Residue Theorem）

(1) 定理の内容

f(z) が領域 D 内で解析的で、
ただし有限個の孤立特異点 a₁, a₂, …, aₙ を含むとき、
C を D 内の閉曲線（特異点を囲む）とすると：

∮_C f(z) dz = 2πi Σ Res(f; a_k)

ここで
Res(f; a_k) = a_{−1}（ローラン展開の係数）

(2) 意味

閉曲線積分は、囲んだ特異点の留数の和で決まる。
すなわち、積分を解析的に直接計算せずとも、極の情報から決まる。

(3) 留数の求め方

単純極（1位の極）：
```
Res(f; a) = lim_{z→a} (z − a) f(z)
```

m位の極：

Res(f; a) = (1 / (m−1)!) lim_{z→a} d^{m−1}/dz^{m−1} [(z−a)^m f(z)]

有理関数の場合（P, Q が多項式）：
```
Res(f; a) = P(a) / Q'(a)
```

(4) 例

f(z) = 1 / [z (z−1)]

→ 特異点 z=0, 1
留数：

Res(f; 0) = lim_{z→0} z / [z (z−1)] = −1
Res(f; 1) = lim_{z→1} (z−1)/[z(z−1)] = 1
∮_C f(z) dz = 2πi (−1 + 1) = 0

(5) 工学的応用

分野	意味
制御工学	安定判別（極の位置）
回路理論	ラプラス変換の逆変換（留数和）
信号解析	部分分数展開による時間応答計算
フィードバック解析	Nyquist の偏角原理に直結

5.3.2　偏角の原理（Argument Principle）

(1) 定理

f(z) が領域 D で解析的であり、閉曲線 C の内部に極と零点を有限個含むとする。
このとき：

(1 / 2πi) ∮_C [f'(z) / f(z)] dz = N − P

ここで
N：C 内の零点の個数（重複度を含む）
P：C 内の極の個数（重複度を含む）

(2) 幾何学的意味

f(z) が C を1周するとき、f(z) の像の偏角（arg f(z)）がどれだけ増減するかを表す。
f(z) の偏角が 2π(N−P) だけ変化する。

(3) Nyquist安定判別との対応

伝達関数 G(s) の閉ループ系

1 + G(s)H(s) = 0

の安定性は、開ループ G(s)H(s) の Nyquist線図の回転数で決まる。

偏角原理を適用すると：

Z − P = N

Z：閉ループ極の数（不安定極）
P：開ループ極の数（右半平面）
N：Nyquist線図の原点まわりの回転数

→ Nyquist安定判別法の数理的基礎がこの偏角原理。

(4) まとめ表

概念	式	意味	応用
ローラン級数	f(z)=Σ a_n(z−z₀)^n	正則＋主部展開	特異点解析
除去可能特異点	a_{−n}=0 (n≥1)	定義可能	正則化
極	有限個の負冪項	限界的発散	安定極
真性特異点	無限負冪項	非周期発散	不安定動作
留数定理	∮ f dz = 2πi Σ Res	閉曲線積分の計算	逆ラプラス変換
偏角原理	(1/2πi)∮ f'/f dz = N−P	零点−極の差	Nyquist判別

6．調和関数の基本性質

6.1　コーシー・リーマンの条件（Cauchy–Riemann Equations）

(1) 複素関数と実関数成分

複素関数 f(z) を

f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z = x + i y

と書く。

f が解析的（微分可能）であるための必要十分条件は：

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = −∂v/∂x

これをコーシー・リーマン方程式という。

(2) ラプラス方程式への帰結

上の式をもう一度偏微分すると：

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0
∂²v/∂x² + ∂²v/∂y² = 0

したがって、u と v はともに調和関数 (harmonic functions) である。

(3) 物理的意味

u(x, y)：電位・温度分布・ポテンシャル
v(x, y)：流線・等温線・共役関数

u, v は互いに直交する等位線を形成する。

6.2　調和関数とポアソン積分

6.2.1　調和関数の定義

領域 D ⊂ ℝ² で、2階連続微分可能な実関数 u(x, y) が

Δu = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

を満たすとき、u を 調和関数 (harmonic function) という。

6.2.2　ポアソン核（Poisson Kernel）

単位円内 |z|<1 の境界条件

u(e^{iθ}) = f(θ)

が与えられるとき、内部の調和関数 u(r, θ) は次の式で表される：

u(r, θ) = (1 / 2π) ∫₀^{2π} P_r(θ − t) f(t) dt

ここで ポアソン核 (Poisson kernel) は：

P_r(θ) = (1 − r²) / (1 − 2r cosθ + r²)

6.2.3　ポアソン積分公式

単位円内で調和関数を求める公式：

u(r, θ) = (1 / 2π) ∫₀^{2π} [(1 − r²) / (1 − 2r cos(θ − t) + r²)] f(t) dt

境界値 f(t) から内部値 u(r, θ) を再現
ラプラス方程式のディリクレ境界値問題の解

性質：

u は調和関数（Δu = 0）
r→1 のとき u(r, θ) → f(θ)
P_r(θ) ≥ 0, ∫₀^{2π} P_r(θ)dθ = 2π

6.2.4　右半面での調和関数（Upper Half-Plane / Right Half-Plane）

右半平面 Re(z) > 0 における調和関数は次で表される。

u(x, y) = (1 / π) ∫_{−∞}^{∞} [x / ((y − t)² + x²)] f(t) dt

ここで核

P(x, y−t) = x / ((y−t)² + x²)

は半平面ポアソン核。

→ 熱伝導や拡散方程式の境界条件解に用いられる。

6.3　ポアソン積分公式からの帰結

6.3.1　最大値の原理（Maximum Principle）

調和関数 u(x, y) が閉領域 D̄ で連続かつ D 内で調和ならば：

max_{(x,y)∈D̄} u(x,y) = max_{(x,y)∈∂D} u(x,y)

すなわち：

調和関数は内部で極大・極小を持たず、最大値・最小値は境界に現れる。

証明概略：
ポアソン積分の重み P_r(θ) ≥ 0 かつ ∫P_r=1 であるため、
内部値 u(r,θ) は常に境界値の加重平均。
したがって、境界値を超えることはない。

6.3.2　空間 H¹ におけるインナー・アウター分解

（Inner–Outer Factorization）

解析的関数 f(z)（単位円内 |z|<1）に対し、
log|f(z)| が調和関数であることを利用して次を定義。

f(z) = B(z) S(z)

ここで
B(z)：内因子（inner function, |B|=1 on |z|=1）
S(z)：外因子（outer function, log|S| はポアソン積分で与えられる）

外因子 S(z) の構成式：

log|S(re^{iθ})| = (1 / 2π) ∫₀^{2π} P_r(θ−t) log|f(e^{it})| dt

この構成はポアソン積分に基づき、調和関数の平均原理を満たす。

工学的意味：

フィルタ設計や最小位相システムにおいて
「位相は振幅の調和共役」として計算可能。
|f| が境界上で決まれば、f の構造全体が決まる。

6.3.3　ヒルベルト変換とボーデのゲイン・位相関係

（Hilbert Transform and Bode Relation）

実関数 φ(t) のフーリエ変換 F(ω) が因果的システムに対応する場合、
対数振幅と位相はヒルベルト変換で結ばれる。

定義：

ℋ[f](ω) = (1/π) P.V. ∫_{−∞}^{∞} [f(ξ)/(ω−ξ)] dξ

ここで P.V. はコーシー主値。

Bodeのゲイン–位相関係：

最小位相系 H(ω) に対して：

φ(ω) = − (1/π) P.V. ∫_{−∞}^{∞} [log|H(ξ)| / (ω − ξ)] dξ

すなわち：

位相φ(ω)は対数振幅log|H(ω)|の調和共役。

数学的背景：
log|H| が調和関数であり、
その共役関数が位相 φ。
したがって、複素解析のコーシー・リーマン条件：

∂(log|H|)/∂x = ∂φ/∂y
∂(log|H|)/∂y = −∂φ/∂x

を満たす。

工学的帰結：

ゲイン曲線が滑らかなら、位相は自動的に決まる。
これは「因果性 ⇒ ヒルベルト変換関係」を意味。

6.3.4　正則関数の零点とイェンセンの公式

（Jensen’s Formula）

(1) 内容

f(z) が単位円内で正則かつ f(0) ≠ 0 のとき、
半径 r (0<r<1) に対して：

log|f(0)| = (1 / 2π) ∫₀^{2π} log|f(re^{iθ})| dθ − Σ_{|a_k|<r} log(r / |a_k|)

ここで a_k は f(z) の零点。

(2) 意味

境界上での平均値（ポアソン積分）と
内部の零点の位置の関係を示す。

→ 調和関数 log|f(z)| の性質（平均値の原理）に基づく。

証明概要：

log|f(z)| は調和関数（fが解析的で f≠0 のため）。
各零点の寄与を引いた残りは境界上の平均で表される。
積分計算により上式を得る。

7．フーリエ級数・変換とラプラス変換

7.1　フーリエ級数（Fourier Series）

7.1.1　定義

周期関数 f(x)（周期 2π）に対して、
f(x) が区間 [−π, π] で可積分ならば、次の形に展開できる。

f(x) = a₀/2 + Σ_{n=1}^{∞} [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)]

ここで係数（Fourier coefficients）は：

a₀ = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) dx
a_n = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) cos(nx) dx
b_n = (1/π) ∫_{−π}^{π} f(x) sin(nx) dx

7.1.2　フーリエ係数の性質

直交性

∫_{−π}^{π} cos(nx)cos(mx) dx = 0 (n≠m)
∫_{−π}^{π} sin(nx)sin(mx) dx = 0 (n≠m)

→ 三角関数系が直交基底をなす。

Parsevalの等式（エネルギー保存）
```
(1/π) ∫_{−π}^{π} |f(x)|² dx = (a₀²/2) + Σ_{n=1}^{∞} (a_n² + b_n²)
```
→ 時間領域と周波数領域でエネルギーが等しい。

7.1.3　フーリエ級数の収束性

f(x) が区分的に連続かつ有界変動ならば：

f(x) = (f(x₊) + f(x₋)) / 2

（関数が不連続な点では左右平均に収束）

また、ディリクレの定理：

有界変動関数のフーリエ級数は一様収束する（連続点において）。

工学的対応：

周期信号のスペクトル表現
電力・音響信号解析の基礎式
制御・通信での「周波数応答表現」

7.2　フーリエ変換（Fourier Transform）

7.2.1　フーリエ変換の定義と基本性質

非周期関数 f(t)（L¹可積分）に対して：

F(ω) = ∫_{−∞}^{∞} f(t) e^{−iωt} dt  （フーリエ変換）
f(t) = (1/2π) ∫_{−∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω （逆変換）

基本性質：

性質	式	意味
線形性	a f₁ + b f₂ ↔ a F₁ + b F₂	加法保存
時間シフト	f(t−t₀) ↔ e^{−iωt₀}F(ω)	位相変化
周波数シフト	e^{iω₀t}f(t) ↔ F(ω−ω₀)	搬送波
スケーリング	f(at) ↔ (1/	a	)F(ω/a)	時間圧縮＝周波数拡大
畳み込み	(f∗g)(t) ↔ F(ω)G(ω)	線形系の畳み込み定理
微分	dⁿf/dtⁿ ↔ (iω)ⁿ F(ω)	周波数ドメインの乗算

7.2.2　フーリエ逆変換

f(t) = (1/2π) ∫_{−∞}^{∞} F(ω) e^{iωt} dω

f と F は双対関係にある。
つまり、F(ω) のフーリエ変換は 2π 倍の f(−t)。

7.2.3　自乗可積分な空間（L²空間）のフーリエ変換

f(t) ∈ L²(ℝ)（平方可積分関数）なら、F(ω) も L²(ℝ) に属し、次が成り立つ：

∫_{−∞}^{∞} |f(t)|² dt = (1/2π) ∫_{−∞}^{∞} |F(ω)|² dω

→ パーセバルの等式 (Parseval’s theorem)。

ヒルベルト空間的意味：

フーリエ変換は L²空間のユニタリ変換（内積を保つ線形変換）。

工学的応用：

信号スペクトル解析
フィルタ応答 H(ω) の計算
電子回路の過渡応答・安定判定

7.3　ラプラス変換（Laplace Transform）

7.3.1　ラプラス変換の定義と正則性

実関数 f(t)（t ≥ 0）に対して：

F(s) = ∫₀^{∞} f(t) e^{−st} dt

ただし s = σ + iω ∈ ℂ。

収束領域（region of convergence, ROC）：

積分が収束する s の実部 σ の範囲。

例：

f(t)=e^{at} ⇒ F(s)=1/(s−a), Re(s)>a

F(s) はその領域で**正則関数（解析的関数）**である。

7.3.2　ラプラス変換の基本性質

性質	時間領域	s領域
線形性	a f₁ + b f₂	a F₁ + b F₂
微分	df/dt	sF(s) − f(0)
積分	∫ f(t)dt	F(s)/s
時間シフト	f(t−t₀)u(t−t₀)	e^{−st₀}F(s)
周波数シフト	e^{at}f(t)	F(s−a)
畳み込み	(f∗g)(t)	F(s)G(s)

フーリエ変換との関係：

ラプラス変換はフーリエ変換の一般化であり、
σ>0 の減衰因子 e^{−σt} を掛けて収束性を保証したもの。

F(s) = ℱ[f(t)e^{−σt}](ω)

安定性解析との関係：

系のインパルス応答 h(t) が L¹可積分 ⇔ システム安定。
極の実部 Re(s)<0 ⇔ 時間応答が指数減衰 ⇒ 安定。

7.3.3　ペーリー・ウィーナーの定理（Paley–Wiener Theorem）

(1) 定理の内容

信号 f(t) ∈ L²(ℝ) が t ≥ 0 で 0 となる（因果的信号）ならば、
そのフーリエ変換 F(ω) は右半平面で解析的である。

より一般に：

f(t) = 0 for t < 0
 ⇔ F(s)=∫₀^{∞} f(t)e^{−st}dt は Re(s)>0 で解析的

(2) 意味

時間的に因果的（causal）⇔ 周波数領域で正則（analytic）。
物理的な「未来依存しない」系は右半平面で解析的。

(3) 定理の解析的表現

f(t) ∈ L²(0,∞) のとき：

∫₀^{∞} |f(t)|² e^{−2σt} dt < ∞  ⇔ F(s) は Re(s) > σ で解析的

→ f の時間減衰速度が σ に対応する。

(4) 工学的意味

領域	意味
時間領域 f(t)	系の応答・因果性
s領域 F(s)	周波数特性・安定性
Re(s)>0	右半平面解析性＝安定性条件
Paley–Wiener	因果性 ⇔ 正則性の対応

(5) 統一的視点

解析手法	積分核	対応する解析性	工学的用途
フーリエ級数	e^{inx}	周期関数	スペクトル解析
フーリエ変換	e^{−iωt}	L¹, L²可積分関数	信号処理
ラプラス変換	e^{−st}	Re(s)>σ 解析的	安定解析
ペーリー・ウィーナー	−	因果性と解析性の等価	制御理論・通信理論

(6) まとめ：時間領域と複素解析の統合対応表

項目	時間領域 f(t)	周波数領域 F(s)	性質
積分形式	∫ f(t)e^{−st}dt	解析的	Laplace変換
微分	df/dt	sF(s) − f(0)	時間→周波数乗算
畳み込み	(f∗g)(t)	F(s)G(s)	線形システム応答
収束	f(t)e^{−σt}∈L¹	Re(s)>σ	正則性
安定性	h(t)∈L¹	極のRe<0	有界入力出力安定
因果性	f(t)=0(t<0)	Re(s)>0で解析的	Paley–Wiener条件

8．ヒルベルト空間（Hilbert Space）

8.1　ヒルベルト空間の定義

8.1.1　内積（Inner Product）

ベクトル空間 H 上で、写像

⟨·,·⟩ : H × H → ℂ

が次の4条件を満たすとき、⟨x, y⟩ を内積 (inner product) という。

(1) 共役対称性

⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩*

(2) 線形性（第1引数に関して）

⟨a x₁ + b x₂, y⟩ = a⟨x₁, y⟩ + b⟨x₂, y⟩

(3) 正定値性

⟨x, x⟩ ≥ 0, ⟨x, x⟩ = 0 ⇔ x = 0

(4) ノルムとの関係

||x|| = sqrt(⟨x, x⟩)

例（標準内積）：

ユークリッド空間 ℂⁿ
```
⟨x, y⟩ = Σ_{k=1}^n x_k* y_k
```
関数空間 L²(a,b)
```
⟨f, g⟩ = ∫_a^b f(x)* g(x) dx
```

8.1.2　ヒルベルト空間の定義

内積により定義されるノルム ||x|| に関して**完備（complete）**な内積空間を
ヒルベルト空間 (Hilbert space) という。

ヒルベルト空間 ＝ 内積空間 + 完備性

すなわち、任意のコーシー列 {xₙ} が H 内で極限をもつ。

例：

ℂⁿ

l²（無限次元の数列空間）

l² = { (x₁,x₂,...) | Σ|x_k|² < ∞ }

L²(a,b)

L²(a,b) = { f | ∫_a^b |f(x)|² dx < ∞ }

8.1.3　部分空間（Subspace）

H の部分集合 M が部分空間とは：

0 ∈ M
x, y ∈ M ⇒ x + y ∈ M
αx ∈ M

→ M も線形空間。

H がヒルベルト空間なら、閉部分空間（閉集合であるもの）もヒルベルト空間となる。

8.2　直交性（Orthogonality）

8.2.1　閉部分空間内の最近点（Projection Theorem）

ヒルベルト空間 H の閉部分空間 M に対して、
任意の x ∈ H に対し、次を満たす点 y ∈ M が一意に存在する：

||x − y|| = inf_{z∈M} ||x − z||

これを y = P_M x（M 上への射影）と書く。
x−y は M 上のすべてのベクトルに直交する：

x − P_M x ⟂ M
⇔ ⟨x − P_M x, z⟩ = 0 ∀z∈M

幾何的意味：
x を M 上に垂直に落とした点が最短距離点（最小二乗近似）。

制御・信号解析の対応：
最小二乗推定・フィルタ設計・直交射影法（Wiener-Hopf理論）。

8.2.2　直交補空間（Orthogonal Complement）

M の直交補空間 M⊥ を次で定義：

M⊥ = { x ∈ H | ⟨x, y⟩ = 0 ∀y∈M }

性質：

M ∩ M⊥ = {0}
H = M ⊕ M⊥ （直交直和分解）
(M⊥)⊥ = M̄（Mの閉包）

例（L²空間）：

M = {偶関数}, M⊥ = {奇関数}

⇒ L²[−π, π] = M ⊕ M⊥

8.2.3　正規直交基底（Orthonormal Basis）

集合 {e_k} ⊂ H が正規直交基底であるとは：

⟨e_i, e_j⟩ = δ_ij
span{e_k} が H の稠密部分集合（閉包が H）

このとき、任意の x ∈ H は一意に次の形で表せる：

x = Σ_{k=1}^{∞} ⟨x, e_k⟩ e_k

ノルム平方は：

||x||² = Σ |⟨x, e_k⟩|² （パーセバルの等式）

例：

L²[−π, π] の正規直交基底：{ e^{inx}/√(2π) }
l² 空間の標準基底：{ e₁, e₂, … }

8.3　ヒルベルト空間の線形汎関数（Linear Functionals）

8.3.1　連続な線形汎関数

写像

L: H → ℂ

が線形かつ連続であるとは：

線形性
```
L(αx + βy) = αL(x) + βL(y)
```

連続性

||xₙ − x|| → 0 ⇒ L(xₙ) → L(x)

⇔ 有界性：

∃C>0 : |L(x)| ≤ C ||x|| ∀x∈H

例：

H = L²[0,1], L(f) = ∫₀¹ f(t) g*(t) dt

この L は連続線形汎関数である。

8.3.2　リースの表現定理（Riesz Representation Theorem）

(1) 定理の内容

ヒルベルト空間 H 上の任意の連続線形汎関数 L に対して、
一意なベクトル y ∈ H が存在して：

L(x) = ⟨x, y⟩  ∀x∈H

が成り立つ。

(2) 意味

「線形汎関数（関数を数に写す作用）」は
内積による評価として表せる。
H とその双対空間 H*（全線形汎関数の空間）は等距同型。

H ≅ H*

(3) 証明の流れ（概略）

x=0 で L(0)=0
L が有界なのでノルム最小問題
```
inf_{||x||=1} |L(x)|
```
を考えると、閉部分空間上で最小点が存在。
射影定理により、その最小点を y として L(x)=⟨x,y⟩ が導かれる。

(4) 工学的・解析的応用

分野	対応内容
最小二乗推定	誤差最小化条件 ⇔ 射影定理（⟨誤差, 基底⟩=0）
フィルタ設計	最適フィルタの係数 = 汎関数のリース表現ベクトル
制御理論	LQG最適制御・カルマンフィルタの内積最小化構造
数値解析	ガラーキン法・有限要素法の直交射影形式

(5) まとめ表

節	内容	代表式	意味
8.1	内積と完備性			x	=√⟨x,x⟩	幾何構造
8.2.1	射影定理	x−P_Mx ⟂ M	最小二乗推定
8.2.2	直交補空間	H=M⊕M⊥	部分空間分解
8.2.3	正規直交基底	x=Σ⟨x,e_k⟩e_k	展開とパーセバル等式
8.3.1	連続汎関数		L(x)	≤C	x		有界線形性
8.3.2	リースの定理	L(x)=⟨x,y⟩	双対空間との同型

(6) 幾何的統一図式

x ∈ H ──射影→ M （誤差⊥M）
        ↓
        汎関数 L(x)=⟨x,y⟩

ヒルベルト空間では「最適近似」「内積評価」「連続線形汎関数」がすべて統一的に扱われる。

9．ヒルベルト空間上の線形作用素

9.1　有界な線形作用素（Bounded Linear Operators）

9.1.1　作用素のノルム

ヒルベルト空間 H 上の線形写像

T : H → H

が有界 (bounded) であるとは：

∃C > 0 : ||T x|| ≤ C ||x|| ∀x ∈ H

が成立することをいう。

作用素ノルム (operator norm) は次のように定義される：

||T|| = sup_{||x||=1} ||T x||

→ 「単位球上での最大伸び率」。

基本性質：

||T x|| ≤ ||T||·||x||
||αT|| = |α|·||T||
||T₁ + T₂|| ≤ ||T₁|| + ||T₂||
||T₁T₂|| ≤ ||T₁||·||T₂||

→ 有界線形作用素全体は バナッハ代数 (Banach algebra) をなす。

9.1.2　線形作用素の例

作用素名	定義	ノルム	特徴
恒等作用素 I	I(x)=x			I		=1	等長写像
零作用素 0	0(x)=0			0		=0	最小写像
射影作用素 P	P²=P			P		=1	部分空間への射影
シフト作用素 S	(x₁,x₂,...)→(0,x₁,x₂,...)			S		=1	無限次元で重要
積分作用素 K	(Kf)(x)=∫₀¹ k(x,t)f(t)dt	≤ sup∫	k		コンパクト作用素

9.2　共役作用素（Adjoint Operators）

9.2.1　共役作用素の定義

ヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素 T に対し、
共役作用素 (adjoint operator) T* は次を満たす唯一の作用素として定義される：

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T* y⟩ ∀x, y ∈ H

→ 内積を右辺に移す「共役転置」の一般化。

9.2.2　共役作用素の例

作用素 T	T*	備考
スカラー倍 αI	α*I	複素共役
行列 A（有限次元）	A* = A† = (Ā)ᵀ	エルミート転置
シフト作用素 S	S*(x₁,x₂,...) = (x₂,x₃,...)	右シフトの逆
積分作用素 Kf(x)=∫k(x,t)f(t)dt	(K*f)(x)=∫k̄(t,x)f(t)dt	核の変数を交換＋共役

9.2.3　共役作用素の基本的性質

線形性
```
(αT + βS)* = α* T* + β* S*
```
積の反転
```
(TS)* = S* T*
```
ノルム等式
```
||T*|| = ||T||
```

自己共役（self-adjoint）条件

T = T* ⇔ ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, Ty⟩ （実対称に対応）

自己共役作用素の特徴：

固有値はすべて実数。
固有ベクトルは直交。
量子力学における観測量（ハミルトニアン等）を表す。

9.3　射影作用素（Projection Operator）

(1) 定義

ヒルベルト空間 H 上の作用素 P が射影 (projection) であるとは：

P² = P

が成立すること。

さらに自己共役である場合：

P = P* = P²

これを直交射影 (orthogonal projection) という。

(2) 性質

P(H) は部分空間 M、(I−P)(H) はその直交補 M⊥。
H = M ⊕ M⊥。
||P|| = 1。

任意の x ∈ H は

x = P x + (I−P) x （分解一意）

幾何的意味：
x を部分空間 M へ最短距離で射影（最小二乗近似）。

解析応用：

ガラーキン法
最適制御・信号復元
フィルタリング（Wienerフィルタ）

9.4　コンパクト作用素とスペクトル理論

9.4.1　コンパクト作用素の定義と基本性質

(1) 定義

有界線形作用素 K : H → H がコンパクト (compact) とは、
任意の有界列 {xₙ} に対し、{Kxₙ} に収束部分列が存在すること。

すなわち：

||xₙ||≤1 ⇒ {Kxₙ} は前コンパクト（相対的にコンパクト）

(2) 代表例

積分作用素

(Kf)(x) = ∫₀¹ k(x,t) f(t) dt  k ∈ L²

有限ランク作用素
```
Kx = Σ_{i=1}^n ⟨x, y_i⟩ z_i
```
Hilbert-Schmidt作用素（HS作用素）：
```
Σ ||K e_k||² < ∞
```

(3) 性質

コンパクト作用素のノルム極限もコンパクト。
有界作用素の集合の中でコンパクト作用素は閉集合をなす。
スペクトルは 0 を唯一の集積点とする。

9.4.2　コンパクト作用素のスペクトル（Spectral Theory）

(1) 定義

スペクトル σ(T) とは：

σ(T) = { λ ∈ ℂ | (T − λI) が可逆でない }

内訳：

固有値：T x = λx（x≠0）
連続スペクトル
残余スペクトル

(2) コンパクト作用素のスペクトルの特徴

固有値は高々可算個（有限または無限列）。
λₙ → 0 (0 が唯一の集積点)。
各固有ベクトルは直交化可能。
非零固有値に対応する固有空間は有限次元。

(3) スペクトル分解（Spectral Decomposition）

自己共役コンパクト作用素 K に対して：

K x = Σ_{n=1}^∞ λ_n ⟨x, e_n⟩ e_n

ここで {e_n} は直交正規基底、λ_n は実固有値。

→ ヒルベルト空間版の固有値展開（対角化）。

(4) 応用例

分野	対応内容
フーリエ解析	積分作用素の固有展開＝正規モード展開
量子力学	ハミルトニアンの固有展開（エネルギー固有状態）
制御理論	リカッチ方程式の安定化作用素解析
画像解析	PCA・SVD の理論基礎（Hilbert–Schmidt作用素）

(5) スペクトル定理（自己共役作用素の極限形）

自己共役作用素 A に対して、
連続スペクトルを含む一般形は：

A = ∫_σ λ dE(λ)

ここで E(λ) は直交射影値測度（projection-valued measure）。
有限次元では単なる固有値分解に一致。

(6) まとめ表

節	内容	代表式	意味
9.1	有界作用素			T	=sup	Tx	線形変換の大きさ
9.2	共役作用素	⟨Tx,y⟩=⟨x,T*y⟩	エルミート転置
9.3	射影作用素	P²=P, P*=P	部分空間への直交射影
9.4.1	コンパクト作用素	K:有界列→収束部分列	Hilbert–Schmidt型
9.4.2	スペクトル理論	Kx=Σλ⟨x,e⟩e	固有展開・SVD

(7) 幾何・解析的統一図式

ヒルベルト空間 H
 ├─ 有界作用素 T ： ||T||有限
 │  ├─ 共役作用素 T* ：内積対応
 │  ├─ 自己共役作用素 A = A*
 │  └─ コンパクト作用素 K ：有限モード展開
 └─ 射影 P ：M⊕M⊥ 分解

10．バナッハ空間

10.1　バナッハ空間の定義と意味

10.1.1　ノルムの工学的解釈

ノルム ||x|| は信号やデータの「大きさ」「エネルギー」「誤差量」を測る尺度。

ノルム	数式	工学的意味
L¹ノルム	∫	x(t)	dt	絶対値総和：平均電流・累積誤差
L²ノルム	(∫	x(t)	² dt)^(1/2)	エネルギー：平均電力・RMS値
L∞ノルム	sup	x(t)		最大偏差：ピーク誤差・クリップ判定

→ ノルム空間で「信号強度」を統一的に扱える。

10.1.2　バナッハ空間の定義

ノルム空間 (X, ||·||) が完備（コーシー列が収束）なら、
(X, ||·||) はバナッハ空間。

測定値の逐次近似が必ず安定して極限信号に収束する空間

代表的例：

空間	信号の型	ノルム	工学的意味
L¹(ℝ)	絶対可積分信号	∫	x		平均電流・総量測定
L²(ℝ)	二乗可積分信号	√∫	x	²	RMS電圧・雑音電力
L∞(ℝ)	有界信号	sup	x		飽和判定・ピーク誤差

10.2　商空間と雑音成分の除去

信号空間 X において、雑音空間 N を部分空間とする。
同値関係

x₁ ~ x₂ ⇔ x₁ − x₂ ∈ N

を定義すると、
「信号をノイズで割った空間」＝商空間 X/N が得られる。

X/N = { x + N | x は同一波形の代表信号 }

意味：

実際の測定では、同じ物理信号に雑音成分が加わる。
商空間 X/N は「測定ノイズを同値関係で消去した信号空間」。

ノルムは最小誤差基準で定義：

||x + N|| = inf_{n∈N} ||x + n||

→ 「雑音を最も小さくしたときの信号の大きさ」。

10.3　双対空間と信号解析

10.3.1　線形汎関数＝測定器

汎関数 f ∈ X* は、信号 x ∈ X にスカラー値を割り当てる「測定作用」：

f(x) = 実際の計測出力（例：電圧・平均値・積分値）

有界条件：

|f(x)| ≤ C ||x||

は「計測器の感度が有限」であることを意味。

典型例：

積分型センサ
```
f(x) = ∫₀^T g(t) x(t) dt
```
→ g(t) はセンサ応答関数。
→ L²空間で f(x)=⟨x,g⟩ として表される。
サンプリングセンサ
```
f(x) = x(t₀)
```
→ 点評価。これはL∞空間では連続、L²では非連続。

10.3.2　双対空間の構造（信号とフィルタ）

空間 X	双対空間 X*	工学的対応
L¹	L∞	線形時不変系（LTIフィルタ）
L²	L²	相互相関・エネルギー演算
C[a,b]	M[a,b]（測度）	積分型計測器

双対空間は「信号を測る装置」の集合。
リース表現により L² の場合は

f(x) = ∫ x(t) g*(t) dt ⇔ g(t)：観測関数

10.4　ハーン・バナッハの定理とその帰結

10.4.1　ハーン・バナッハの定理（Hahn–Banach Theorem）

(1) 定理（実用形）

部分空間 M 上で定義された線形汎関数 f₀ を、
制約

|f₀(x)| ≤ p(x)

（p は劣線形関数）を壊さずに
空間全体 X へ拡張できる。

(2) 意味（計測的解釈）

「部分的な測定データを、物理的に矛盾しない範囲で全域へ拡張できる」

M：既知の信号部分
X：全信号空間
f₀：部分測定
f：全域測定（拡張）

これにより、限られた観測点から全体推定が可能。
（例：スプライン補間・カーネル回帰）

10.4.2　第二双対空間（Bidual Space）

双対空間 X* の双対を X** と書く。
自然な写像

J: X → X**, J(x)(f) = f(x)

は単射。

ヒルベルト空間では J が全単射（自己双対）。
一般バナッハ空間では X ≠ X** の場合がある。

→ 信号空間が「全ての測定器によって識別できる」とは限らない。

10.4.3　分離超平面（Separation Theorem）

凸集合 A, B が分離可能（0 ∉ 内部）なら、
∃有界線形汎関数 f によって：

Re f(a) < Re f(b) ∀a∈A, b∈B

計測的意味：

f が「特徴抽出フィルタ」に相当。
クラスAとB（信号集合）を線形識別する超平面を与える。
→ サポートベクトルマシン（SVM）の理論的基礎。

10.5　弱位相（Weak Topology）

10.5.1　定義

x_α → x が 弱収束 (weak convergence) とは：

f(x_α) → f(x) ∀f ∈ X*

すなわち：

すべての測定器（線形汎関数）で観測した値が収束する。

10.5.2　基本的性質

性質	意味
強収束 ⇒ 弱収束	エネルギー収束すれば平均も収束
弱収束はノルム収束より緩い	計測結果が安定でも信号自体は微小揺らぎ可
有界集合は弱位相で相対コンパクト	測定空間では有限エネルギー信号が閉じる

10.5.3　零化空間（Annihilator）

部分集合 M ⊂ X に対し：

M^⊥ = { f∈X* | f(x)=0 ∀x∈M }

これを零化空間という。

物理的には：

M で変化しない（感度ゼロ）測定器の集合。

10.5.4　アラオグルの定理（Alaoglu’s Theorem）

(1) 定理

双対空間 X* の単位球：

B = { f∈X* | ||f|| ≤ 1 }

は弱*位相でコンパクト。

(2) 意味（測定安定性）

無限次元でも「測定器の集合」は弱*位相で閉かつ有限的挙動を保つ。
したがって、測定ノイズを含む最適推定問題が必ず極限解をもつ。

(3) 工学応用例

理論	対応する測定・信号現象
弱収束	平均的安定測定（ノイズ平均化）
零化空間	特定信号成分に反応しないセンサ群
アラオグル定理	有界な測定系での最適解存在保証（最小エネルギー解）

11．バナッハ空間上の線形作用素

11.1　線形作用素（Linear Operators）

11.1.1　作用素のノルム

バナッハ空間 X, Y 上の線形写像

T : X → Y

に対して、有界性 (boundedness) とは次の条件が成立すること：

∃C>0 : ||T x||_Y ≤ C ||x||_X ∀x∈X

このとき、T の作用素ノルムは：

||T|| = sup_{||x||_X=1} ||T x||_Y

→ 入力1（単位ノルム）のときの最大出力。
系のゲイン・安定性・Lipschitz定数に対応。

11.1.2　線形作用素の例

名称	定義	空間	ノルム	工学的意味
恒等作用素 I	I(x)=x	X→X	1	無変換
射影作用素 P	P²=P	X→X	≤1	成分抽出・特徴射影
微分作用素 D	(Df)(x)=f'(x)	C¹→C	非有界	微分系・高周波強調
積分作用素 K	(Kf)(x)=∫₀¹k(x,t)f(t)dt	L²→L²	有界	平滑化フィルタ
シフト作用素 S	(Sf)(t)=f(t−τ)	L²→L²	1	時間遅延

ヒルベルト空間との違い：
バナッハ空間では内積が存在しないため、
有界性・収束・共役などをノルム構造のみで議論する。

11.2　開写像定理と一様有界性原理

11.2.1　開写像定理（Open Mapping Theorem）

(1) 定理

バナッハ空間 X, Y の間で、線形作用素 T: X→Y が全射（onto）でかつ有界（連続）ならば、
T は開写像である。すなわち：

U⊂X が開集合 ⇒ T(U)⊂Y も開集合

(2) 意味

有界な線形方程式 T x = y が全域に解をもつならば、
逆写像 T⁻¹ も連続になる。

(3) 工学的解釈

概念	意味
信号変換	出力空間全域を覆う ⇒ どんな信号も再現可能
制御理論	可制御性（controllability）・可観測性と同構造
数値安定性	入力誤差が出力に有限ゲインで伝播（安定逆問題）

11.2.2　閉グラフ定理（Closed Graph Theorem）

(1) 定理

T: X→Y が線形作用素で、そのグラフ

G(T) = { (x, T x) ∈ X×Y | x∈X }

が X×Y の中で閉集合ならば、
T は**有界（連続）**である。

(2) 意味

線形作用素が“連続でなくても”極限操作で閉じていれば、有界性が保証される。

(3) 応用

分野	対応現象
数値解析	極限演算（差分・微分）を安定に扱う判定条件
信号処理	離散→連続変換（サンプル復元）の安定性保証
モデル同定	パラメータ写像の収束性条件

11.2.3　一様有界性原理（Uniform Boundedness Principle, Banach–Steinhaus）

(1) 定理

バナッハ空間 X, Y の間の線形作用素族 {T_α}⊂B(X,Y) があり、
各 x∈X に対して {||T_α x||} が有界ならば：

sup_α ||T_α|| < ∞

(2) 直感的意味

各信号点で安定なら、全体としても発散しない。

(3) 工学的対応

項目	解釈
制御系	伝達関数群が周波数ごとに安定 ⇒ 系全体も安定
フィルタバンク	各チャネルのゲインが有限 ⇒ 全体も有界利得
機械学習	パラメータ更新系列が入力ごとに有限 ⇒ モデルが発散しない

11.3　双対作用素（Dual Operators）

11.3.1　双対作用素の定義

バナッハ空間 X, Y に対し、T: X→Y が有界線形作用素であるとき、
その双対作用素（adjoint or transpose operator）

T* : Y* → X*

を次式で定義する：

(T* f)(x) = f(Tx)  ∀f∈Y*, x∈X

11.3.2　双対作用素の例

T	X, Y	T*	意味（信号処理的）
T(x)=A x	ℝⁿ→ℝᵐ	T*(y)=Aᵀy	行列の転置作用素＝誤差信号逆伝播
積分作用素	(Tf)(x)=∫k(x,t)f(t)dt	(T*g)(t)=∫k̄(s,t)g(s)ds	カーネルの共役転置
微分作用素	T(f)=f'	T*(g)=−g'（境界条件付）	部分積分に対応する双対
フィルタ作用素	(Tf)=h*f	(Tf)=h̃f（h̃(t)=h(−t)）	畳み込みの逆時間対称演算

11.3.3　双対作用素の基本的性質

ノルム保存
```
||T*|| = ||T||
```
合成の反転
```
(ST)* = T* S*
```
自己共役条件
```
T = T* ⇔ ⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩
```
像と核の関係
```
ker(T*) = (im T)^⊥
```
→ 観測不能成分＝像の直交補。
（制御理論での可観測性の双対定理）

11.4　工学・AI・制御への総合的対応

数学的概念	工学的・物理的対応	意味
有界作用素	安定システム・有限ゲイン	BIBO安定性
開写像定理	可制御性・安定逆問題	解の存在と連続性
閉グラフ定理	数値安定性・モデル収束	極限操作の正当化
一様有界性原理	逐次学習の安定性	パラメータ発散防止
双対作用素	誤差逆伝播・観測演算	内積構造の双対変換
ker(T*)=(imT)^⊥	可観測性・可制御性双対性	信号可識別範囲の解析

幾何的・構造的対応図

バナッハ空間 X（入力信号空間）
 ├ 有界作用素 T：安定線形変換
 │ ├ 開写像定理 → 逆問題が連続可解
 │ ├ 閉グラフ定理 → 極限操作の安定性
 │ └ 一様有界性 → 学習・推定過程の安定性
 └ 双対作用素 T*：出力側評価空間（観測・逆伝播）

12．バナッハ環（Banach Algebra）

12.1　バナッハ環と具体例

12.1.1　定義

バナッハ環（Banach Algebra）は、
「ノルム構造をもつ安定な演算系」を意味する。

定義：

線形空間 A において

(A,+,·) は環（加法・乗法が定義）

ノルム ||·|| が定義され、

||a b|| ≤ ||a|| · ||b|| ∀a,b∈A

A が完備（Cauchy列が収束）

このとき、(A,||·||) を バナッハ環 という。
単位元 e（恒等変換）を持てば「単位的バナッハ環」。

工学的意味：

「バナッハ環＝安定な信号処理・制御演算の抽象化」

ノルムは「信号エネルギー」「ゲイン」「誤差」などを表し、
完備性は「反復処理が収束する」ことを保証する。

12.1.2　可逆性とイデアル

(1) 可逆要素（invertible element）

a∈A が可逆とは：

∃b∈A : a b = b a = e

が成立すること。b=a⁻¹。

→ 逆システム、逆フィルタ、逆制御器に対応。

(2) 可逆条件の展開式

もし ||e−a|| < 1 なら、Neumann級数が収束して逆元が存在：

a⁻¹ = Σ_{n=0}^∞ (e−a)^n

→ 「微小摂動下で安定逆系が存在する」。

(3) イデアル（ideal）

部分集合 I⊂A が次を満たすとき、左イデアル：

∀a∈A, x∈I ⇒ a x ∈ I

意味：

I は演算に対して閉じた「ノイズ空間」「不変モード」。
商環 A/I は「ノイズ除去後の有効信号空間」。

12.1.3　商環（Quotient Algebra）

A/I = { a + I | a ∈ A }

ノルム：

||a + I|| = inf_{x∈I} ||a + x||

→ 「信号をノイズで割った等価クラス」。

例：

状態空間を誤差モード（I）で割る → 低次元モデル化
制御器設計での「不可制御モード除去」

12.1.4　スペクトルとレゾルベント集合

(1) 定義

単位的バナッハ環 (A, e) の元 a に対して：

ρ(a) = { λ∈ℂ | (λ e − a) が可逆 }
σ(a) = ℂ \ ρ(a)

ρ(a)：レゾルベント集合（可逆領域）
σ(a)：スペクトル（不可逆領域＝特性固有値領域）

(2) レゾルベント作用素

R(λ, a) = (λ e − a)⁻¹

性質：

R'(λ, a) = −R(λ, a)²

R(λ, a) は λ の正則関数であり、解析的安定性の基礎となる。

(3) 工学的意味

数学概念	信号処理・制御対応	意味
a∈A	系の演算子（伝達関数・状態行列）	系の内部構造
σ(a)	固有値・極	安定性境界（Re λ < 0 ⇒ 安定）
R(λ,a)	レゾルベント＝(sI−A)⁻¹	周波数応答・グリーン関数
		a	系の利得（gain）	信号増幅量

(4) 例（LTI系のラプラス領域）

A = {連続線形作用素 T : L²→L²}
a = A （状態行列）
R(s, A) = (sI − A)⁻¹

→ 伝達関数 H(s) = C (sI−A)⁻¹ B
スペクトル σ(A)：システムの極。

12.2　可換なバナッハ環（Commutative Banach Algebra）

12.2.1　乗法的線形汎関数（Multiplicative Linear Functional）

定義：

可換バナッハ環 A 上の写像 φ: A→ℂ が次を満たすとき、
**乗法的線形汎関数（character）**という。

φ(a+b) = φ(a)+φ(b)
φ(a b) = φ(a) φ(b)
φ(e) = 1

集合：

Δ(A) = { φ | φは乗法的線形汎関数 }

→ ゲルファント空間 (Gelfand space)。
φ は「評価点」「周波数点」として機能。

12.2.2　ゲルファント変換（Gelfand Transform）

定義：

各 a∈A に対し、

â(φ) = φ(a), φ∈Δ(A)

と定義する写像：

a ↦ â

をゲルファント変換という。

性質：

ÂB = Â · ̂B （乗法を保存）
Â(e)=1 （単位保持）
σ(a) = { Â(φ) | φ∈Δ(A) }

幾何的意味：

「代数的構造（時間領域）」→「複素関数構造（周波数領域）」への写像。

これにより、抽象的な作用素を関数として解析可能になる。

信号処理・制御工学への対応

数学的概念	信号処理的意味	制御工学的意味
a ∈ A	システム（伝達関数）	線形システム A(s)
φ ∈ Δ(A)	周波数点 ω	固有モード λ
Â(φ)=φ(a)	フーリエ変換値	周波数応答 H(iω)
σ(a)	フィルタの極集合	安定領域境界
R(λ,a)	レゾルベント	伝達関数 (sI−A)⁻¹

例：L¹(ℝ) のバナッハ環構造

畳み込み演算：

(f * g)(t) = ∫ f(t−τ) g(τ) dτ

は L¹(ℝ) 上で閉じており、

||f * g||₁ ≤ ||f||₁ ||g||₁

したがって (L¹, *, ||·||₁) はバナッハ環。

ゲルファント変換：

φ_ω(f) = ∫ f(t) e^{-i ω t} dt

⇒ フーリエ変換と一致。

よって：

F(f * g) = F(f) · F(g)

（畳み込み→積）

この性質が、LTI系の周波数応答解析の数学的根拠。

制御安定性への応用

バナッハ環のスペクトル半径：
```
r(a) = sup{|λ| : λ∈σ(a)}
```
システムの安定条件：
```
r(A) < 0 ⇒ 安定
```
フィードバック制御器 K(s) に対して：
```
(I + K(s) G(s))⁻¹
```
が可逆 ⇔ 安定閉ループ。
これは「バナッハ環内の可逆性」と等価。

まとめ：バナッハ環 ⇔ 信号処理・制御の抽象的統一式

節	数学的内容	信号処理／制御対応	意味
12.1.1	バナッハ環の定義	安定な信号空間（L¹, L²）	演算閉性＋完備性
12.1.2	可逆要素	逆フィルタ、逆システム	安定逆系の存在
12.1.4	スペクトル・レゾルベント	極・伝達関数 (sI−A)⁻¹	安定性と応答
12.2.1	乗法的汎関数	周波数評価点 φ(ω)	フーリエ／ラプラス評価
12.2.2	ゲルファント変換	フーリエ変換 Â(ω)	周波数領域解析

統一構造：

時間領域（Banach algebra A）
 │ 演算：畳み込み・行列積
 ↓
周波数領域（Gelfand transform Â）
 │ 演算：複素積・評価
 ↓
安定性解析（スペクトル σ(a)）

以下は、
付録A：位相空間・順序集合
および
付録B：関数空間 (L^p) と畳み込み（信号処理・制御理論を含む解説式）
である。
すべてプレーンテキスト数式で構成し、解析学と信号工学の橋渡しを目的とする。

付録A．位相空間・順序集合

A.1　位相空間

A.1.1　位相空間の定義

集合 (X) とその部分集合族 (\mathcal T) があり、
次の3条件を満たすとき、((X,\mathcal T)) を位相空間 (topological space) という。

(\emptyset, X \in \mathcal T)
任意個の開集合の和（∪）は開集合：
```
{U_i}⊂𝒯 ⇒ ⋃U_i ∈ 𝒯
```
有限個の開集合の交わり（∩）は開集合：
```
U,V∈𝒯 ⇒ U∩V ∈ 𝒯
```

(\mathcal T) を 位相 (topology)、
(\mathcal T) の元を 開集合 (open set) という。

例：

空間	位相の定義	説明
(\mathbb R)（実数線）	開区間 ((a,b)) の族で生成	標準位相
離散位相	すべての部分集合が開集合	最も細かい位相
密着位相	(\emptyset) と (X) のみ開集合	最も粗い位相

A.1.2　位相の強弱

位相 (\mathcal T_1, \mathcal T_2) に対し、
(\mathcal T_1 \subset \mathcal T_2) のとき、
(\mathcal T_2) は (\mathcal T_1) より強い位相（finer）という。

→ 強い位相ほど開集合が多く、連続性の条件は緩くなる。

A.1.3　近傍と閉包

点 (x∈X) の近傍 (neighborhood)：
(x∈U\subset X) で (U) が開集合。
閉集合 (closed set)：補集合が開集合。
集合 (A) の閉包 (closure)：
```
cl(A) = 最小の閉集合で A⊂cl(A)
```
= 「A のすべての極限点を含む集合」。

A.1.4　開集合系の基（Base）

(\mathcal B\subset \mathcal T) が位相の基であるとは：

各点 (x\in X) は少なくとも1つの基元に含まれる。
(x∈B_1∩B_2) のとき、ある (B_3∈\mathcal B) が存在して (x∈B_3⊂B_1∩B_2)。

位相 (\mathcal T) は次で定義される：

U∈𝒯 ⇔ 各x∈Uに対し ∃B∈ℬ, x∈B⊂U

A.2　位相空間での連続関数

写像 (f:(X,\mathcal T_X)\to(Y,\mathcal T_Y)) が連続とは：

∀開集合 V⊂Y, f⁻¹(V) は X の開集合

→ 「開集合の逆像が開」で定義される。
（ε–δ 論法の抽象化）

A.3　位相空間でのコンパクト集合

部分集合 (K⊂X) がコンパクトとは：

任意の開被覆 {U_i} に対し有限部分被覆が存在

すなわち：

K⊂⋃U_i ⇒ K⊂U_{i1}∪⋯∪U_{in}

性質：

(\mathbb R^n) の閉区間 [a,b] はコンパクト（Heine–Borel）。
連続写像はコンパクト集合をコンパクト集合へ写す。

→ 信号空間では有限エネルギー波形を表す基礎概念。

付録A．位相空間・順序集合

A.1　位相空間

A.1.1　位相空間の定義

集合 X に対して、部分集合族 T が次を満たすとき (X, T) を位相空間という。

(1) ∅, X ∈ T
(2) 任意の族 {U_α} ⊂ T に対して ∪_α U_α ∈ T
(3) 有限個の開集合の共通部分も開集合
　U_1, U_2 ∈ T ⇒ U_1 ∩ U_2 ∈ T

例：実数 R の開区間族 (a, b) により生成される位相。

A.1.2　位相の強弱

T1, T2 が位相のとき
T1 ⊂ T2 なら T2 は T1 より強い (finer)、
T1 は T2 より弱い (coarser)。

A.1.3　近傍と閉包

点 x ∈ X の近傍：x ∈ U ∈ T を含む集合。

部分集合 A ⊂ X の閉包：
　Ā = ∩ { F ⊂ X | F は閉集合, A ⊂ F }

A.1.4　開集合系の基

集合族 B が基であるとは：
(1) 任意の x ∈ X に対し、x ∈ B となる B ∈ B が存在。
(2) x ∈ B1 ∩ B2 のとき、ある B3 ∈ B が存在して
　x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2。

A.2　連続関数

f : (X, T_X) → (Y, T_Y) が連続 ⇔ 任意の V ∈ T_Y に対して f^(-1)(V) ∈ T_X。

距離空間での定義：
　∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. |x - x0| < δ ⇒ |f(x) - f(x0)| < ε。

A.3　コンパクト集合

K ⊂ X がコンパクト ⇔ 任意の開被覆 {U_α} に対して
　有限個 U_α1, …, U_αn が存在して K ⊂ U_α1 ∪ … ∪ U_αn。

A.4　順序集合

集合 X と関係 ≤ が次を満たすとき順序集合：
(1) 反射律：x ≤ x
(2) 反対称律：x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
(3) 推移律：x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z

付録B．関数空間 Lp と畳み込み

B.1　ルベーグ積分と Lp 空間

Lp ノルム：
　||f||_p = ( ∫ |f(x)|^p dx )^(1/p)

f ∈ Lp ⇔ ||f||_p < ∞

特に
　L1: ∫ |f(x)| dx < ∞
　L2: ∫ |f(x)|^2 dx < ∞

性質：
　L^p ⊂ L^q (p < q)
　三角不等式：||f + g||_p ≤ ||f||_p + ||g||_p

B.2　畳み込み (Convolution)

B.2.1　定義

(f * g)(x) = ∫ f(t) g(x - t) dt

性質：
　(f * g) = (g * f)
　(f * g) * h = f * (g * h)
　a(f * g) + b(f * h) = f * (a g + b h)

周波数領域対応：
　F{f * g} = F{f} · F{g}

B.2.2　近似単位 (Approximate Identity)

関数列 {φ_ε} が以下を満たすとき近似単位：

(1) ∫ φ_ε(x) dx = 1
(2) φ_ε(x) ≥ 0
(3) 任意の δ > 0 に対して lim(ε→0) ∫_{|x|>δ} φ_ε(x) dx = 0

このとき
　lim(ε→0) (f * φ_ε)(x) = f(x)

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システム制御のための数学

1．集合と関数の基礎概念

1.1 距離空間 (Metric Space)

1.1.1 集合 (Set)

1.1.2 距離空間の定義

1.1.3 距離空間の開集合と閉集合

1.2 距離空間での連続関数

(1) ε–δ（イプシロン–デルタ）による定義

(2) 制御・計測への対応

(3) 関数の極限との関係

1.3 完備距離空間・コンパクト集合

1.3.1 完備距離空間 (Complete Metric Space)

1.3.2 コンパクト集合 (Compact Set)

1.3.3 安定性の厳密定義（ε–δ論法によるリアプノフ安定性）

(1) 自律系の設定

(2) ε–δ論法によるリアプノフ安定性の定義

(幾何学的意味)

(解析的証明構造)

(制御工学的視点)

(3) 漸近安定性（Asymptotic stability）

(物理的・工学的意味)

(4) 線形系への適用

(例1)

(例2)

(5) エネルギー関数による ε–δ証明（リアプノフ関数法）

(線形系での具体式)

1.3.4 リアプノフ関数による安定判別法の構成

(1) 問題設定

(2) リアプノフ関数の構成

具体的な選び方

(3) V̇(x) の計算

(4) リアプノフ方程式の定義

(5) 安定性判定条件

(6) リアプノフ方程式の解法（理論的構成）

(7) ε–δ 論法との対応

(8) 実際の2次系の例

(9) 幾何学的解釈

(10) 安定性分類まとめ

(11) 制御・計測への応用

2．複素数と複素関数

2.1 複素数と複素平面

2.1.1 複素数

2.1.2 複素平面（Argand平面）

2.2 複素関数

2.2.1 複素関数の微分

2.2.2 整級数（power series）

2.2.3 指数関数（exponential function）

3．曲線と線積分

3.1 線積分（Line Integral）

3.1.1 曲線の定義

3.1.2 線積分の定義

(1) スカラー場に沿った線積分

(2) ベクトル場に沿った線積分

(3) 線積分の性質

3.2 閉曲線の回転数とホモトピー

3.2.1 回転数（Winding Number）

3.2.2 ホモトピー（Homotopy）

(例：ホモトピーと回転数の関係)

(工学的解釈)

4．コーシーの定理と級数展開

4.1 コーシーの定理（Cauchy’s Integral Theorem）

(1) 定理の内容

(2) 幾何的意味

(3) 証明の概要（実解析的解釈）

(4) 応用的理解

4.2 コーシーの積分公式（Cauchy’s Integral Formula）

(1) 定理

(2) 意味

(3) 高次導関数への拡張

(4) 重要な帰結

(5) 工学的応用

4.3 テイラー級数（Taylor Series）

(1) 定理

(2) 導出（コーシー積分公式から）

(3) 収束半径

(4) 代表例

(5) 工学的意味

4.4 コーシーの定理のその他の帰結

4.4.1 リウヴィルの定理（Liouville’s Theorem）

(1) 定理の内容

1.1　距離空間 (Metric Space)

1.1.1　集合 (Set)

1.1.2　距離空間の定義

1.1.3　距離空間の開集合と閉集合

1.2　距離空間での連続関数

1.3　完備距離空間・コンパクト集合

1.3.1　完備距離空間 (Complete Metric Space)

1.3.2　コンパクト集合 (Compact Set)

1.3.3　安定性の厳密定義（ε–δ論法によるリアプノフ安定性）

1.3.4　リアプノフ関数による安定判別法の構成

2.1　複素数と複素平面

2.1.1　複素数

2.1.2　複素平面（Argand平面）

2.2　複素関数

2.2.1　複素関数の微分

2.2.2　整級数（power series）

2.2.3　指数関数（exponential function）

3.1　線積分（Line Integral）

3.1.1　曲線の定義

3.1.2　線積分の定義

3.2　閉曲線の回転数とホモトピー

3.2.1　回転数（Winding Number）

3.2.2　ホモトピー（Homotopy）

4.1　コーシーの定理（Cauchy’s Integral Theorem）

4.2　コーシーの積分公式（Cauchy’s Integral Formula）

4.3　テイラー級数（Taylor Series）

4.4　コーシーの定理のその他の帰結

4.4.1　リウヴィルの定理（Liouville’s Theorem）

4.4.2　モレラの定理（Morera’s Theorem）

5.1　ローラン級数（Laurent Series）

5.2　孤立特異点（Isolated Singular Points）

5.3　留数の定理と偏角の原理

5.3.1　留数の定理（Residue Theorem）

5.3.2　偏角の原理（Argument Principle）

6.1　コーシー・リーマンの条件（Cauchy–Riemann Equations）

6.2　調和関数とポアソン積分

6.2.1　調和関数の定義

6.2.2　ポアソン核（Poisson Kernel）

6.2.3　ポアソン積分公式

6.2.4　右半面での調和関数（Upper Half-Plane / Right Half-Plane）

6.3　ポアソン積分公式からの帰結

6.3.1　最大値の原理（Maximum Principle）

6.3.2　空間 H¹ におけるインナー・アウター分解

6.3.3　ヒルベルト変換とボーデのゲイン・位相関係

6.3.4　正則関数の零点とイェンセンの公式

7.1　フーリエ級数（Fourier Series）

7.1.1　定義

7.1.2　フーリエ係数の性質

7.1.3　フーリエ級数の収束性

7.2　フーリエ変換（Fourier Transform）

7.2.1　フーリエ変換の定義と基本性質

7.2.2　フーリエ逆変換

7.2.3　自乗可積分な空間（L²空間）のフーリエ変換

7.3　ラプラス変換（Laplace Transform）

7.3.1　ラプラス変換の定義と正則性

7.3.2　ラプラス変換の基本性質

7.3.3　ペーリー・ウィーナーの定理（Paley–Wiener Theorem）