アナログ回路のノイズ

(1) ノイズ伝搬の基本モデル（寄生キャパシタ）

クロック線とアナログ信号線の間に寄生キャパシタ $C_C$ が存在する場合、クロック線の電位変動 $\Delta V_{dig}$ による信号線の電位変動 $\Delta V_{alg}$ は：

ΔValg = ( Cc / (Cc + Cs) ) * ΔVdig * exp[ -t / (Rout * (Cc + Cs)) ]

• $Cs$：信号線の対地容量
• $Rout$：信号線の出力インピーダンス

👉 $Rout$ が小さいほど、また $Cc$ が小さいほど、ノイズは小さくなる。
👉 シールド板を挿入すると $Cc$ を減らせるため、効果的。

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(2) 基板の電気的モデル

シリコン基板は「抵抗」と「キャパシタ」が並列になったモデルで表される。

• 抵抗としての導電率：

R = ρ * l / S

• キャパシタとしての容量：

C = ε * S / l

したがって、周波数 $\omega$ での有効コンダクタンスは：

G(ω) = (1/ρ) * (S/l) + jωε (S/l)

👉 低周波では「抵抗」として振る舞い、高周波では「キャパシタ」として振る舞う。
👉 遮断周波数は：

f_c = 1 / (2π ρε)

例：ρ=10^2 Ω·cm の場合、fc ≈ 15 GHz → RF回路ではキャパシタ的に振る舞う。

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(3) 寄生インダクタによるノイズ（電磁誘導）

隣接する配線にクロック電流が流れると、磁界を介して信号線に誘導電流が生じる。
相互インダクタンス M による電圧は：

Vind = M * (dIdig/dt)

• 配線対のループ面積が大きいほどノイズも大きい。
• 対向電流を流す差動配線 → 磁界をキャンセルでき、ノイズが減少する。

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(4) 基板抵抗を介したノイズ

MOSFETのドレインやクロック線の電位が変動すると、pn接合容量に蓄積された電子が放出され、基板を経由して広がる。これにより基板電位が揺れ、アナログ回路にノイズが誘起される。

対策：

1. ノイズ源の近傍に基板と同じ導電型の拡散層を配置 → 低インピーダンス接続で電子を吸収
2. ノイズに敏感な回路を「ガードリング」で囲む → 電子を吸収して内部への影響を防ぐ

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(5) 差動信号によるノイズ耐性

差動信号線 (+, –) を近接配置すると、寄生 C, L によるノイズは両線にほぼ同じ大きさで伝わる。
次段では差分を取るため、コモンモード成分（同相ノイズ）はキャンセルされる。

ただし注意点：

• レイアウトを完全対称にすること
• 配線抵抗・容量・トランジスタ特性を2本で完全に一致させること

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まとめ

• 寄生キャパシタ：ΔValg ∝ Cc / (Cc+Cs) → シールドで抑制
• 寄生インダクタ：Vind = M dI/dt → 差動配線で磁界キャンセル
• 基板抵抗：電位変動が基板経由で伝搬 → ガードリングで吸収
• 差動信号処理：ノイズをコモンモードとして除去

!pip install numpy matplotlib

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ========================= PARAMETERS =========================
# 基本パラメータ / Basic parameters
Cc   = 50e-15     # coupling capacitance [F]
Cs   = 200e-15    # signal line capacitance [F]
Rout = 1e3        # output resistance [Ω]
Vdig = 1.0        # digital swing [V]
t    = np.linspace(0, 5e-9, 500)  # time axis [s]

rho  = 1e2        # resistivity [Ω·cm]
eps  = 1.04e-12   # permittivity [F/cm]
l    = 1e-2       # length [cm]
S    = 1e-4       # area [cm^2]

M    = 1e-9       # mutual inductance [H]
freq = np.linspace(1e6, 1e10, 500)  # frequency range [Hz]

# ========================= FUNCTIONS =========================
# (1) Parasitic capacitance coupling noise
def delta_valg(Cc, Cs, Rout, Vdig, t):
    return (Cc/(Cc+Cs))*Vdig*np.exp(-t/(Rout*(Cc+Cs)))

# (2) Substrate conductance model
def G_complex(rho, eps, S, l, freq):
    omega = 2*np.pi*freq
    return (1/rho)*(S/l) + 1j*omega*eps*(S/l)

# (3) Inductive coupling noise
def V_ind(M, Iamp, freq):
    omega = 2*np.pi*freq
    dIdt = Iamp*omega   # sinusoidal current derivative amplitude
    return M*dIdt

# ========================= CALCULATIONS =========================
Valg = delta_valg(Cc, Cs, Rout, Vdig, t)
G = G_complex(rho, eps, S, l, freq)
Vind = V_ind(M, Iamp=1.0, freq=freq)

# ========================= PLOTS =========================

# (1) ΔValg vs time
plt.plot(t*1e9, Valg)
plt.title("Noise via Parasitic Capacitance")
plt.xlabel("Time [ns]")
plt.ylabel("ΔValg [V]")
plt.grid(True)
plt.show()

# (2) Substrate conductance magnitude vs frequency
plt.loglog(freq, np.abs(G))
plt.title("Substrate Conductance |G(ω)|")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("|G(ω)| [S]")
plt.grid(True, which="both")
plt.show()

# (3) Inductive coupling noise vs frequency
plt.loglog(freq, Vind)
plt.title("Inductive Coupling Noise")
plt.xlabel("Frequency [Hz]")
plt.ylabel("Vind [V]")
plt.grid(True, which="both")
plt.show()