aptもapt-getも、Debian用に開発されたパッケージ管理システムです。
Debianの派生ディストリビューションであるUbuntuにも採用されています。
Debian管理者ハンドブック( https://debian-handbook.info )に以下の記述があります。
APT は巨大なプロジェクトで、当初の予定ではグラフィカルインターフェースを含んでいました。APT はライブラリに基づいており、そのライブラリにはコアアプリケーションが含まれています。
apt-get は最初のコマンドラインベースフロントエンドで、APT プロジェクト内で開発されました。
apt は APT から提供されているもう一つのコマンドラインベースフロントエンドで、apt-get の持っていた設計上のミスを克服しています。
なお、Ubuntuにおいては、バージョン14.04よりaptコマンドの使用が推奨されています。