(2017.6.23現在の情報です)
Amazon API Gatewayを、cognito認証で使うときの注意点です。

リソース設定後、ステージから「SDKの生成」を選ぶことができます。
ただ、このSDK、Cognito認証を想定してないっぽいです。
（認証なし=NONEか、AWS_IAMの認証しか想定してない）

Cognitoで認証する場合、こんな感じです。
※すでにサインイン済みの想定です。

sample.js

AWS.config.region = 'ap-northeast-1'; // Region

var poolData = { UserPoolId: 'ap-northeast-1_xxxxxxxx',
              ClientId: 'xxxxxxx'
};

var userPool = new AWSCognito.CognitoIdentityServiceProvider.CognitoUserPool(poolData);

if (cognitoUser != null) {
    cognitoUser.getSession(function(err, sessresult) {
         if (sessresult) {
             var idToken = sessresult.getIdToken().getJwtToken();

             var apigClient = apigClientFactory.newClient ();

             var params = {};//必要なら設定
             var body = {};//必要なら設定
             var additionalParams = {
                 headers: {
                    Authorization:idToken //ここが大事
                 }
             }

             apigClient.methodName(params, body, additionalParams)
             .then(function(result){
                  //成功
             }).catch( function(result){
                  //失敗
             });
         }

    });
}

ヘッダーにちゃんとIDトークンを入れるってだけですが。。。
わかんなかったので書いておきます。

最初、IAMのほうの設定の問題かなぁ。。。とか思って色々やってたけど、
そっちはとくに関係なさそうでした。
cognitoとても便利だけど、ちょっとまだ追いついてない感じもしました。

README.mdに書いといて欲しいな。