プロジェクトを開いたときに右下にこれが出る。

このとき、Output の OmniSharp Log

に下記のメッセージが出る。

Microsoft.Build.Exceptions.InvalidProjectFileException: 指定された SDK 'Microsoft.NET.Sdk' は見つかりませんでした。

何が起きているか

OmniSharp(C#のインテリセンス) が使う MSBuild のバージョン？があっていない。

環境変数で、OmniSharp の使う MSBuild を指定する

.NETCore-3.1 で動かす例

MSBuildSDKsPath=C:\Program Files\dotnet\sdk\3.1.100\Sdks (PATHに注意。マイナーバージョンちがうなど C:\Program Files\dotnet\sdk\3.1.101\Sdks)

設定してから、VSCode を再起動してエラーが無くなれば成功。
逆にUnityなどで .NET-4.7 などを対象にする場合は動かなくなるかもしれぬ。

OmniSharpの設定(~/.ominisharp/omnisharp.json)

{
    "MsBuild": {
        "MSBuildSdksPath": "c:/Program Files/dotnet/sdk/3.1.101/Sdks"
    }
}

これはうまくいかなかった。書き方が違うのかもしれない。

関連

上記の記事では、Visual Studio Build Tools 2017 のアンインストールや Visual Studio をインストールするにより、MSBuild のインストール状況が変わるので間接的に解決していると思われる。
MSBuildは、.NETSdk や VisualStudio に付属しているものが知らない間にインストールされることがあるので、OmniSharp が適切なMSBuildを発見できなくなることがありそう。

逆に環境変数 MSBuildSDKsPath が間違って動かない場合もある。

https://qiita.com/kenichiuda/items/3a17cc6c547b2eb52ae8