二項分布と負の二項分布の違いを一枚の図で表してみる

上の図は二項分布 (binomial distribution) と負の二項分布 (negative binomial distribution) の違いを表したものです。名前だけ見ると真逆っぽいですが、実は よく似た形 をしています。平均 $\mu$ を揃えた場合、二項分布は分散 $\sigma^2$ が小さく、負の二項分布は分散 $\sigma^2$ が大きい という違いがあります。両者の中間に位置するのがポアソン分布 (Poisson distribution) で、平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ が一致しています。

なお、分散が予想より大きいことを過分散 (overdispersion) と呼びます。負の二項分布は、ポアソン分布を仮定した場合よりも分散が大きいため、過分散と呼ばれることがあります。

分散の違いは、以下の表を見ると分かりやすいです。

名前	パラメータ	$p(x)$	$\mu$	$\sigma^2$	$\displaystyle \frac{\sigma^2}{\mu}$
二項分布	$n,\ p$	$\dbinom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$	$np$	$np(1-p)$	$1-p<1$
負の二項分布	$r,\ p$	$\dbinom{r+x-1}{x}(1-p)^xp^r$	$\displaystyle \frac{r(1-p)}{p}$	$\displaystyle \frac{r(1-p)}{p^2}$	$\displaystyle \frac{1}{p}>1$

それぞれ2つパラメータを持つので、平均 $\mu$ を固定したとき、分散 $\sigma^2$ をある程度自由に動かせます。ただし、一番右の列の $\sigma^2/\mu$ を見ると分かるように、二項分布では必ず分散 $\sigma^2$ が平均 $\mu$ より小さくなり、負の二項分布では必ず分散 $\sigma^2$ が平均 $\mu$ より大きくなります。

平均を固定した場合、二項分布の $p\to 0$ の極限と、負の二項分布の $p\to 1$ の極限が一致し、ポアソン分布になります。その意味で、二項分布と負の二項分布は、連続的に繋がっている仲間同士の分布といえます。

以上は二項分布と負の二項分布の形の違いでした。各パラメータの違いについても以下の表にまとめておきます。コインを複数回投げる場合を例に説明します。

分布	表が出る確率	合計回数	表の回数	裏の回数
二項分布	固定 ($p$)	固定 ($n$)	可変 ($x$)	可変 ($n-x$)
負の二項分布	固定 ($p$)	可変 ($r+x$)	固定 ($r$)	可変 ($x$)

コインを合計 $n$ 回投げたときの表の回数 $x$ の従う分布が二項分布です。一方、表がちょうど $r$ 回出るまでコインを投げ続けたときの裏の回数 $x$ の従う分布が負の二項分布です。つまり、固定する変数が違います。

直感的にも、負の二項分布では、運が悪ければ無限にコインを投げ続けなければならないので、分散が大きくなる点に納得がいくかと思います。

最後に、図を作成したpythonのコードを以下に載せておきます。パラメータは割といい加減です。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from scipy import stats
sns.set_context('notebook', font_scale=1.2)

def test_binom():
  mu = 10
  x_arr = np.arange(41)
  fig, ax = plt.subplots(figsize=(6,4))

  # binomial
  for i, n in enumerate([15, 20, 30, 50]):
    p = mu / n
    alpha = 1 - i/4
    ax.plot(stats.binom(n,p).pmf(x_arr), '.-', c='C0', alpha=alpha)

  # poisson
  ax.plot(stats.poisson(mu).pmf(x_arr), 'o-', c='0.2', lw=3)

  # negative binomial
  for i, r in enumerate([3, 5, 10, 20]):
    p =  r / (mu + r)
    alpha = 1 - i/4
    ax.plot(stats.nbinom(r,p).pmf(x_arr), '.-', c='C3', alpha=alpha)

  kws = dict(transform=ax.transAxes)
  ax.text(0.4, 0.8, 'Binomial: $\mu>\sigma^2$', c='C0', **kws)
  ax.text(0.4, 0.7, 'Poisson: $\mu=\sigma^2$', c='0.2', **kws)
  ax.text(0.4, 0.6, 'Negative binomial: $\mu<\sigma^2$', c='C3', **kws)
  ax.set_xlabel('$x$')
  ax.set_ylabel('$p(x)$')
  fig.tight_layout()
  fig.show()
  fig.savefig('tmp.png')