今回は中心極限定理を前提とせずに、その元ネタになった「ド・モアブル＝ラプラス」の定理を眺めつつ、素人がシミュレーションや数値計算である程度この結果にたどり着けるか検証してみたいと思います。
中心極限定理の歴史
これほどまでに確率論で中心的役割を果たす定理の割には、人名がついていないし、中心極限定理の「中心」とはなんぞや、と思いつつ使い続けていたのですが、今回ようやく調べてみました。wikipedia（英語版）の'History'の項を見てみると、次のようなことが記載されています。
Dutch mathematician Henk Tijms writes:[41]
The central limit theorem has an interesting history. The first version of this theorem was postulated by the French-born mathematician Abraham de Moivre who, in a remarkable article published in 1733, used the normal distribution to approximate the distribution of the number of heads resulting from many tosses of a fair coin. This finding was far ahead of its time, and was nearly forgotten until the famous French mathematician Pierre-Simon Laplace rescued it from obscurity in his monumental work Théorie analytique des probabilités, which was published in 1812. Laplace expanded De Moivre's finding by approximating the binomial distribution with the normal distribution. But as with De Moivre, Laplace's finding received little attention in his own time. It was not until the nineteenth century was at an end that the importance of the central limit theorem was discerned, when, in 1901, Russian mathematician Aleksandr Lyapunov defined it in general terms and proved precisely how it worked mathematically. Nowadays, the central limit theorem is considered to be the unofficial sovereign of probability theory.
箇条書きで抜き出してみると以下のような感じです。
・中心極限定理の元ネタを発見したのはフランスのド・モアブル（1733年に発表）
この段階ではまだ仮説。
・コイントスで表の出た数の分布を調べ、正規分布で近似できることに気づいた
（当時はまだ正規分布という言葉もないので、今風に言うと）
・ラプラスが「確率論の解析理論」でこれを取り上げ、定式化（1812年）
この時点ではまだ確率論自体が整備されていない。
・1911年にリアプノフにより一般的な用語が定義され、証明された。
・今や中心極限定理は確率論のunofficial sovereign（非公式な主権者？）
結構紆余曲折があります。
余談ですがド・モアブル（1667-1754）、ラプラス（1749-1827）、ガウス（1777-1855）と並べてみると、ガウスの誤差論で取り上げられるよりずっと早くに正規分布を見出していたことに驚きます。コルモゴロフが確率論の基礎概念を著して公理論的確率論を確立したのが1933年と考えれば、定理として認知されるまでにかかった期間も頷けます。また、これだけの数学者がかかわってきた定理なので、特定の人名がつけられなかったということなのかもしれません。
"the central limit theorem is considered to be the unofficial sovereign of probability theory"との記載からもわかる通り、確率論の"中心"に位置づけられることからも、中心極限定理という名前はしっくりきます。wikipedia英語版は充実してますね。
さて、前説はここまでとして、ド・モアブルが発見し、ラプラスが定式化した中心極限定理の「元ネタ」を見てみましょう。
ド・モアブル＝ラプラスの定理
表の出る確率が$p$、裏の出る確率が$q=1-p$のコインを$n$枚振り、$k$枚が表となる確率は、$n\to\infty$で次のように近似できる：
$$\binom{n}{k}p^kq^{n-k}\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp\bigg[-\frac{(k-np)^2}{2npq}\bigg]$$
すなわち、二項分布は正規分布で近似できる。
ほんまかいな。学生時代は中心極限定理の応用例題として取り扱われていた記憶があります。しかも瞬殺で証明して終了。いまや確率論の教科書の枠組みでは単なる系なんでしょうけど、歴史的には元ネタ……それもそのはず、実は中心極限定理を前提とせずに証明するには結構骨が折れるのです。
シミュレーションによる定性的な検証
「二項分布は正規分布で近似できる」本当でしょうか。
ド・モアブルに倣って、実際にコインを振って確かめてみましょう。ここではRを使います。
-「コインを100枚投げて表の出た数をカウントする」を10000回実行してみる-
やってみましょう。
s <- rbinom(10000,100,0.5) #rbinom(実行回数,投げるコインの枚数,表の出る確率)を使う。
hist(s) #ヒストグラムを描く
ヒストグラムを見る限りはなんとなく左右対称っぽい感じになりますね。
（吐き出されたサンプルは後掲します）
これに適当な正規分布の図を重ね合わせてみます。
hist(s,xlim=c(30,70),ylim=c(0,1800)) #x軸の30-70,y軸の0-1800の範囲でプロット
par(new=T) #次にプロットするグラフを重ねることを許可
app <- function(k,n,p) exp(-1*(k-n*p)^2/(2*n*p*(1-p)))/sqrt(2*pi*n*p*(1-p)) #正規分布を定義
app2 <- function(x) 1550*sqrt(2*pi)*5*app(x,100,0.5) #適当な高さに調整
plot(app2,xlim=c(30,70),ylim=c(0,1800)) #重ねてプロット
あれ、、、割とよくフィットしている……
おそらくド・モアブルも同様の考察から釣り鐘型の正規分布のグラフに近づくと考察したのではないかと思います。
二項分布と同じ期待値、分散を持つ正規分布で置き換えると考えれば、ド・モアブル＝ラプラスの定理に
たどり着けそうですね。それにしても、ド・モアブル、卓見ですね。
数値計算による近似式の定量的な検証
数値計算でも検証してみましょう。誤差率である
$$\frac{\Bigg(\binom{n}{k}p^kq^{n-k} - \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp\bigg[-\frac{(k-np)^2}{2npq}\bigg]\Bigg)}{\binom{n}{k}p^kq^{n-k}}$$
こいつをRで計算してみます。
#二項分布binを定義。Rでは階乗を計算する際、ガンマ関数を使うのがよい
bin <- function(k,n,p) (gamma(n+1)/(gamma(n+1-k)*gamma(k+1)))*p^k*(1-p)^(n-k)
#正規分布appを定義
app <- function(k,n,p) exp(-1*(k-n*p)^2/(2*n*p*(1-p)))/sqrt(2*pi*n*p*(1-p))
#誤差率difを定義
dif <- function(k,n,p) (bin(k,n,p)-app(k,n,p))/bin(k,n,p)
まずは$n=10,p=0.5$でやってみます。
#n=10,p=0.5で誤差率dif1を定義
dif1 <- function(k) dif(k,10,0.5)
#試しにいくつか計算
dif1(1)
[1] -0.05316805
dif1(2)
[1] 0.05093177
dif1(3)
[1] 0.0325619
dif1(4)
[1] -0.007306942
dif1(5)
[1] -0.0252729
誤差率は数パーセント。悪くありません。$k=4$で最小値の0.7%となります。
次に$n=100,p=0.5$でやってみましょう。
#n=10,p=0.5で誤差率dif2を定義
dif2 <- function(k) dif(k,100,0.5)
#試しにいくつか計算
dif2(0)
[1] -19508124
dif2(5)
[1] -3460.706
dif2(10)
[1] -72.99653
dif2(20)
[1] -1.874006
dif2(30)
[1] -0.1551682
dif2(40)
[1] 0.004211912
dif2(50)
[1] -0.002503086
$k=40$あたりから、かなり良い近似になっていることがわかります。gamma関数の制約から、より大きな$n$についての検証はできませんが（せいぜい$n=170$が限度）、これらの試算から、ド・モアブル＝ラプラスの定理は、$n$がそれなりに大きく、かつ$k$が期待値$np $ に近いとき成り立ちそうだとわかります。
ド・モアブル＝ラプラスの定理の導出
今日はここまで。
次回に続きます。ド・モアブルがさらにすごかったのは、この近似式の導出にあたって、次のような別の近似式を開発していたところでしょう。
スターリングの近似式
$N$が大きいとき、次の近似式が成り立つ。
$$N!\approx \sqrt{2\pi N}N^Ne^{-N}$$
（ただしド・モアブルは$\sqrt{ 2\pi }$の部分は突き止められず、何らかの定数とみていました。この定数を特定したのがスターリングでした）
参考サイト
・wikipedia:"central limit theorem"
この記事を書く動機となったもの。
・西尾泰和さんのScrapbox記事
ド・モアブル＝ラプラスの定理とその導出について記されています。
・階乗の計算をする関数
RWikiの記事です。「階乗計算ではガンマ関数を使え」の標語はここで知りました。
・R-tips
図の重ね合わせについてはここを参照しました。
シミュレーション時のサンプル
Rで吐き出されたサンプルはこちらに付記します。
s
[1] 55 40 52 51 52 47 56 53 46 54 49 50 54 47 50 51 53 55 47 55 46 56 56
[24] 50 52 51 50 50 49 51 51 53 53 57 50 49 51 41 53 44 54 48 54 55 43 51
[47] 55 57 48 51 43 45 49 43 48 65 55 49 56 47 56 50 49 48 52 46 49 53 54
[70] 55 55 51 49 57 47 41 44 43 50 45 52 47 39 49 52 55 53 43 50 49 46 48
[93] 44 52 48 43 46 54 49 50 55 56 42 40 50 50 39 46 54 43 47 54 48 49 58
[116] 47 57 44 52 42 52 37 52 51 48 42 51 46 54 57 55 48 52 42 54 50 50 60
[139] 43 50 50 54 51 49 59 57 51 56 55 48 50 44 46 51 51 57 55 52 53 51 56
[162] 48 58 51 46 41 54 55 59 57 37 45 48 56 50 47 56 52 47 52 46 55 46 41
[185] 44 43 56 52 48 46 60 55 56 45 59 48 44 49 52 50 47 50 58 58 56 45 52
[208] 55 44 44 44 47 52 47 61 46 51 54 50 52 44 48 48 52 50 43 50 51 57 44
[231] 44 45 53 54 60 56 51 49 46 52 49 47 57 51 52 63 49 42 49 51 50 52 48
[254] 51 55 51 49 50 52 46 49 54 52 53 55 56 50 46 50 49 52 40 47 49 57 46
[277] 50 45 40 48 45 51 47 54 60 53 46 50 46 48 57 46 50 55 50 56 46 51 47
[300] 46 43 53 49 45 54 48 50 54 52 42 38 54 50 48 63 52 49 51 55 50 51 50
[323] 46 50 49 55 57 50 43 50 53 53 45 51 55 47 43 55 45 46 56 54 53 48 53
[346] 58 51 54 45 55 49 53 42 55 50 49 53 61 49 44 57 47 43 45 52 54 47 56
[369] 53 47 51 54 57 47 43 49 53 51 50 42 46 52 46 50 51 50 47 47 51 54 51
[392] 42 50 50 56 49 46 49 50 48 52 50 66 46 43 46 40 53 45 52 57 57 46 52
[415] 47 59 57 51 59 49 46 45 53 59 49 50 54 46 47 50 52 52 53 55 54 48 46
[438] 49 51 49 48 43 62 52 49 41 50 46 57 47 50 53 48 55 55 56 50 43 54 49
[461] 52 40 52 49 50 47 47 55 48 51 53 44 51 56 54 53 54 55 52 51 48 45 51
[484] 46 54 59 54 49 46 52 49 42 52 49 57 51 53 42 43 53 57 54 52 52 58 51
[507] 60 46 54 52 38 54 45 56 56 47 38 48 55 48 48 46 48 52 53 50 58 46 49
[530] 58 48 47 38 47 40 53 48 49 52 49 49 44 50 49 42 46 50 52 53 48 47 50
[553] 47 52 44 41 52 51 48 57 49 44 50 46 49 50 52 53 55 49 54 56 52 48 52
[576] 53 45 50 49 45 50 50 45 55 50 50 39 43 46 46 55 51 44 49 51 50 52 49
[599] 47 53 49 50 56 59 51 44 38 59 64 41 50 50 51 50 51 54 45 50 50 47 53
[622] 45 54 49 37 55 48 61 47 49 54 52 50 37 49 58 52 59 58 51 48 56 51 48
[645] 54 51 52 49 54 58 52 51 52 48 48 51 53 42 61 58 49 49 46 45 46 47 49
[668] 43 43 49 44 58 50 52 55 46 53 55 51 56 45 54 48 53 56 61 54 51 40 54
[691] 56 55 49 52 43 46 62 47 49 46 42 51 47 50 53 50 50 49 55 50 48 47 58
[714] 51 45 47 43 57 46 57 53 53 51 53 53 55 47 44 45 54 50 51 53 52 44 58
[737] 43 48 54 48 48 51 47 50 59 46 45 48 49 54 43 52 39 46 46 53 47 50 56
[760] 47 47 64 51 54 50 55 52 57 44 48 46 50 38 57 51 57 53 43 54 45 48 44
[783] 43 49 41 44 47 47 55 46 58 49 62 50 43 51 49 52 47 52 44 49 61 51 53
[806] 51 43 51 44 43 42 55 55 54 48 58 60 59 43 51 51 44 60 49 57 45 51 46
[829] 46 42 46 50 46 52 47 54 52 47 56 47 46 46 59 53 43 59 53 49 49 43 59
[852] 50 49 44 54 49 59 57 46 43 46 52 49 58 52 52 51 53 45 49 53 58 42 47
[875] 53 58 56 50 58 51 48 48 42 51 45 48 52 57 52 47 42 48 51 49 54 51 43
[898] 46 46 42 53 47 49 51 45 49 45 53 45 47 55 44 36 57 50 62 51 53 54 47
[921] 59 35 54 52 45 48 41 46 52 55 54 50 55 42 46 47 41 46 43 45 49 48 46
[944] 51 50 49 54 45 52 46 42 53 57 47 59 46 48 46 43 56 48 51 58 46 53 53
[967] 54 52 58 45 43 39 48 56 52 50 50 47 49 45 52 53 52 46 55 55 43 54 58
[990] 46 53 57 51 52 57 58 50 57 44 52 49 49 54 51 62 46 53 49 44 49 51 49
[1013] 52 54 45 51 49 50 53 41 51 50 49 58 53 48 48 54 54 49 54 39 49 56 42
[1036] 38 50 44 48 45 51 49 53 49 44 48 45 53 43 43 53 57 43 54 50 55 55 50
[1059] 50 59 48 49 50 45 56 47 50 58 50 54 44 52 43 56 50 56 49 46 52 46 54
[1082] 46 41 46 55 48 49 53 50 44 50 43 52 40 54 54 53 51 48 57 51 49 51 48
[1105] 50 45 49 42 58 48 44 50 51 44 48 44 53 44 44 56 54 52 41 47 47 51 46
[1128] 41 52 61 58 49 53 54 42 43 51 44 50 54 49 42 51 38 49 48 46 51 50 53
[1151] 58 46 54 40 49 57 55 56 48 52 48 40 49 54 43 49 48 56 40 50 54 47 51
[1174] 51 42 54 53 57 54 38 47 49 48 55 54 56 56 44 48 55 53 48 57 42 53 49
[1197] 44 58 57 45 51 47 48 54 61 54 59 52 53 44 53 45 54 49 53 42 50 55 44
[1220] 48 53 44 53 41 45 30 57 45 57 46 42 48 62 62 45 45 47 54 49 50 47 48
[1243] 58 50 49 46 53 44 42 49 52 47 43 48 44 40 49 50 48 56 55 54 42 47 51
[1266] 45 53 48 52 49 46 53 50 46 50 50 54 53 54 55 49 47 48 48 51 51 50 48
[1289] 46 52 48 42 50 53 41 53 41 56 44 57 61 44 49 59 55 57 54 61 60 43 56
[1312] 52 49 52 54 51 55 39 50 52 51 51 51 55 50 51 54 43 49 54 54 48 46 44
[1335] 54 47 46 52 45 54 48 43 53 47 58 43 49 46 50 43 49 59 52 47 49 48 45
[1358] 54 48 56 56 49 45 52 54 58 48 46 58 49 55 54 42 56 43 51 47 56 40 46
[1381] 53 53 40 49 52 43 52 51 43 52 43 47 56 52 54 53 48 53 41 42 55 52 45
[1404] 46 54 50 51 43 47 50 47 53 51 48 59 45 46 37 48 54 45 54 56 53 55 38
[1427] 49 48 50 46 50 49 49 54 51 56 61 53 52 54 47 44 51 42 48 47 46 60 51
[1450] 48 44 55 58 51 46 59 59 57 51 55 48 50 44 44 50 47 48 60 48 55 51 44
[1473] 53 49 53 48 51 51 47 50 42 50 53 45 43 48 45 48 61 48 51 54 48 50 49
[1496] 55 41 51 49 48 47 41 41 54 43 59 48 52 46 50 51 55 38 47 48 53 43 46
[1519] 51 48 47 52 64 49 44 48 59 57 56 41 60 54 43 42 51 58 55 49 58 55 43
[1542] 49 55 50 53 50 43 45 51 48 47 55 39 50 43 44 34 49 49 47 51 55 59 52
[1565] 52 51 44 60 40 49 47 46 52 52 63 52 57 40 51 45 48 59 43 50 48 55 49
[1588] 53 50 49 51 51 55 40 59 51 50 65 46 50 53 48 46 46 47 48 46 48 45 49
[1611] 50 53 51 45 42 54 61 50 50 51 55 53 52 53 49 53 54 54 51 55 52 58 48
[1634] 53 55 48 53 54 57 49 54 54 48 58 50 57 51 48 42 54 50 50 47 52 48 44
[1657] 51 49 53 52 42 45 48 51 45 57 46 58 51 50 47 45 43 51 51 56 44 54 51
[1680] 42 50 47 42 50 45 47 53 54 43 53 52 47 52 52 46 44 54 51 48 50 54 42
[1703] 49 49 48 44 53 54 40 44 47 39 54 52 48 58 53 52 45 54 51 51 55 53 55
[1726] 51 53 55 52 50 47 39 55 54 43 51 50 57 54 51 56 45 42 55 60 45 39 50
[1749] 52 47 52 42 48 51 58 43 51 49 50 48 50 49 52 51 58 58 48 55 54 50 50
[1772] 53 50 49 46 46 53 50 47 45 54 49 58 56 51 50 41 49 47 50 45 49 48 46
[1795] 59 49 42 55 46 54 50 51 51 52 50 54 53 45 60 46 46 57 56 55 48 45 47
[1818] 56 48 52 47 43 49 51 47 47 42 54 54 52 43 50 53 53 51 53 51 49 48 49
[1841] 47 51 51 50 48 55 47 55 50 48 52 46 42 54 56 60 53 40 53 47 52 54 50
[1864] 45 60 52 53 54 56 51 42 51 48 38 47 54 51 53 53 50 46 48 49 56 56 48
[1887] 43 43 45 49 42 56 38 47 51 52 52 57 46 46 52 49 52 59 48 43 37 46 56
[1910] 42 60 53 48 50 40 44 52 51 52 60 57 52 55 50 50 49 38 49 45 49 54 43
[1933] 41 57 49 51 38 47 45 54 54 60 52 51 40 47 51 56 51 55 51 44 46 58 50
[1956] 44 51 41 54 58 46 48 50 57 50 51 61 51 55 54 43 53 50 49 45 51 54 42
[1979] 52 40 54 47 51 58 44 54 55 51 51 48 52 50 55 56 49 52 42 49 41 47 45
[2002] 46 54 48 59 60 50 55 53 55 52 51 53 54 47 52 42 60 39 55 42 56 51 59
[2025] 52 48 47 44 50 42 56 52 56 51 42 48 46 45 41 44 49 64 46 52 48 56 50
[2048] 56 50 55 45 46 51 48 61 55 48 44 55 57 50 53 52 56 54 55 48 53 52 53
[2071] 40 49 53 53 53 42 48 49 48 41 50 51 54 60 48 57 46 57 52 51 55 54 52
[2094] 49 43 49 46 57 49 54 45 46 48 45 59 55 45 58 49 42 51 47 45 54 53 46
[2117] 48 53 40 53 50 47 46 52 45 49 48 51 45 53 57 49 48 49 51 55 48 38 42
[2140] 51 52 52 45 48 51 49 41 56 58 49 50 51 53 50 45 46 54 60 51 50 46 52
[2163] 50 46 42 46 47 43 49 46 45 54 51 51 62 47 54 52 43 46 41 47 46 46 47
[2186] 47 51 49 50 49 55 45 46 56 51 50 45 58 57 51 49 49 46 51 50 46 49 66
[2209] 54 40 47 50 49 46 55 52 57 51 52 51 55 50 54 54 57 47 53 49 45 57 56
[2232] 53 56 41 57 48 42 53 48 53 55 40 53 44 49 59 45 51 49 47 61 41 46 46
[2255] 49 42 53 52 43 45 46 52 54 54 51 52 58 44 53 51 56 51 51 45 46 51 57
[2278] 47 53 44 49 52 47 49 42 48 49 56 44 52 43 44 58 45 51 49 46 42 43 50
[2301] 51 58 50 40 53 48 47 49 51 53 49 44 56 45 49 50 53 45 52 46 42 46 63
[2324] 48 55 42 45 50 54 50 48 57 53 54 52 48 53 48 48 52 49 50 43 48 50 48
[2347] 50 49 57 46 57 47 45 59 40 52 54 56 43 54 52 45 44 56 42 46 53 57 45
[2370] 49 52 44 59 51 53 52 59 53 62 59 55 47 54 40 44 45 51 54 55 49 49 55
[2393] 48 53 52 45 49 45 48 43 56 56 46 50 52 57 43 45 45 55 50 53 51 53 46
[2416] 58 47 49 56 56 56 49 50 54 43 51 61 54 58 54 48 54 55 53 51 57 46 53
[2439] 48 52 39 50 48 55 51 55 48 47 58 49 52 50 54 49 47 46 48 56 47 49 49
[2462] 50 56 47 51 50 46 49 57 49 52 52 55 49 47 37 55 48 46 42 46 52 53 53
[2485] 49 46 53 47 44 50 48 49 59 42 57 51 44 52 57 45 62 46 47 50 46 46 50
[2508] 51 54 49 50 47 55 51 50 58 63 53 51 45 45 53 48 52 53 46 53 51 59 50
[2531] 49 49 58 47 56 50 59 52 48 63 46 50 54 48 54 60 50 55 48 46 55 52 49
[2554] 56 52 47 58 51 53 55 58 53 52 53 51 46 47 48 46 47 52 54 56 40 48 47
[2577] 54 53 56 46 41 49 52 49 54 51 51 54 48 49 53 58 45 60 52 53 50 46 54
[2600] 55 50 62 54 40 43 54 46 46 56 55 51 50 48 55 48 53 43 48 51 51 58 52
[2623] 44 42 53 49 51 46 40 46 46 57 51 56 54 53 45 51 54 47 41 49 54 52 52
[2646] 47 56 48 55 52 55 53 47 45 55 38 51 44 52 47 60 49 50 56 44 45 52 44
[2669] 49 47 47 44 44 49 47 55 45 46 47 52 50 56 55 53 55 53 52 40 49 54 58
[2692] 50 50 57 47 44 58 54 53 53 48 47 46 43 49 48 62 52 50 63 54 41 59 46
[2715] 49 54 50 49 45 41 55 38 51 43 50 53 59 42 55 45 47 50 42 44 53 49 51
[2738] 45 41 44 51 57 57 47 51 56 58 59 53 52 42 46 44 51 42 51 46 54 50 54
[2761] 47 49 46 49 50 40 56 53 46 51 56 42 43 48 50 41 43 40 50 49 48 41 46
[2784] 53 46 36 50 53 58 48 55 47 49 52 46 51 44 45 47 57 46 48 54 55 49 41
[2807] 47 55 55 45 56 52 40 50 43 45 51 43 52 44 51 44 37 50 59 46 46 48 50
[2830] 46 50 47 43 43 59 55 47 51 54 40 55 51 51 51 53 50 42 49 50 59 44 46
[2853] 46 52 49 49 41 59 51 49 56 43 46 42 46 47 59 57 54 49 41 53 58 41 60
[2876] 44 40 47 50 52 53 49 51 53 61 48 50 48 48 54 54 52 52 44 46 51 40 43
[2899] 49 51 50 47 50 40 53 52 45 51 50 48 55 47 54 52 48 57 52 47 47 50 54
[2922] 55 57 46 52 50 45 38 56 46 49 52 46 52 57 51 56 52 51 49 49 53 51 46
[2945] 50 55 43 60 47 49 49 49 47 44 40 53 36 56 54 54 53 55 52 51 50 43 55
[2968] 46 46 55 54 58 45 53 55 45 39 45 50 60 43 45 57 50 60 48 56 45 58 56
[2991] 53 50 47 56 50 52 55 49 52 56 53 48 58 46 53 44 51 42 54 57 56 48 49
[3014] 58 54 48 54 48 53 54 52 48 42 42 54 50 45 49 50 47 49 60 45 44 49 42
[3037] 54 51 45 48 49 49 48 47 46 48 56 55 48 46 42 41 54 45 49 54 48 50 40
[3060] 50 56 47 49 49 50 51 48 47 56 48 46 50 52 56 52 49 44 51 41 45 53 41
[3083] 51 47 50 51 57 50 58 53 52 49 44 47 43 44 60 53 58 42 45 51 55 58 54
[3106] 44 47 49 54 57 44 45 49 51 51 53 47 44 51 45 58 45 52 50 52 63 45 54
[3129] 44 58 51 55 50 54 46 53 49 58 43 57 41 57 64 51 64 50 48 43 62 53 53
[3152] 51 53 48 48 45 55 52 39 42 54 44 45 61 48 60 52 41 49 57 51 44 56 50
[3175] 47 57 58 48 47 49 44 49 47 52 50 43 49 46 50 41 52 44 45 48 50 54 48
[3198] 48 52 50 50 50 60 53 47 49 55 54 44 48 49 45 47 47 39 53 55 50 53 42
[3221] 46 57 49 52 53 50 55 60 50 49 57 40 56 46 54 53 54 56 47 52 44 49 52
[3244] 47 48 47 51 57 55 55 51 51 62 43 48 58 39 46 53 56 57 51 53 41 53 54
[3267] 41 52 56 57 48 50 49 55 51 48 47 49 44 46 56 48 46 54 45 51 46 42 44
[3290] 46 53 54 56 55 55 51 49 39 47 49 57 49 48 46 54 41 57 51 47 51 48 50
[3313] 52 43 61 54 40 48 52 55 53 52 51 51 51 42 40 46 57 44 58 56 54 46 51
[3336] 56 45 54 54 55 48 55 46 55 52 48 55 50 44 50 42 45 46 49 53 53 55 47
[3359] 56 48 53 52 54 55 53 46 50 49 57 55 45 49 44 49 64 47 47 45 52 49 60
[3382] 40 51 55 54 53 48 43 60 57 41 59 60 51 52 47 52 54 51 50 40 47 64 49
[3405] 52 55 52 51 48 48 44 56 49 55 52 56 60 54 54 47 61 41 53 49 38 50 51
[3428] 44 48 44 42 51 52 53 42 52 49 47 46 57 56 48 58 46 48 65 47 56 65 41
[3451] 56 43 55 46 46 48 57 45 50 44 49 49 52 43 54 47 55 44 42 54 44 54 52
[3474] 64 56 48 53 52 53 53 51 49 43 51 59 58 54 53 52 48 53 56 48 49 58 56
[3497] 39 45 50 58 48 45 45 45 44 53 47 61 48 41 44 51 55 51 44 47 54 41 48
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[3543] 45 50 55 46 51 44 50 46 52 64 56 51 44 60 50 55 51 54 43 53 52 45 59
[3566] 55 47 53 47 56 49 44 54 47 55 55 55 47 52 54 43 48 43 50 52 58 48 43
[3589] 50 55 47 42 56 48 50 43 46 52 53 38 53 43 55 45 60 57 48 54 40 50 45
[3612] 49 45 43 46 50 53 45 50 54 59 52 50 44 55 50 53 49 52 55 49 49 51 54
[3635] 52 47 49 49 43 43 55 47 44 53 43 54 53 38 52 46 63 56 47 58 56 54 45
[3658] 50 62 47 61 44 49 59 59 49 52 54 53 45 48 47 58 47 41 46 48 50 54 48
[3681] 55 60 48 49 54 51 52 51 63 53 48 40 47 40 45 47 54 41 46 52 52 53 51
[3704] 56 49 48 53 53 52 55 52 50 47 36 52 53 55 52 55 53 57 59 57 47 40 54
[3727] 43 55 52 54 56 57 44 47 58 45 63 55 47 58 51 60 52 41 42 53 46 55 56
[3750] 58 45 58 55 58 51 50 51 52 41 53 52 45 42 49 56 57 56 55 49 53 50 56
[3773] 54 54 46 50 51 50 53 50 45 48 50 48 52 49 55 47 55 55 50 53 54 56 50
[3796] 51 48 52 46 47 55 49 47 48 53 46 46 48 51 48 52 55 52 51 49 45 42 49
[3819] 45 46 52 49 45 44 48 60 47 42 49 52 51 46 49 51 52 58 50 54 47 54 50
[3842] 56 46 53 44 40 47 56 45 49 39 50 54 47 41 45 46 52 43 57 54 48 54 50
[3865] 50 43 57 54 48 50 47 46 41 57 54 46 46 50 50 47 57 47 41 51 53 45 47
[3888] 49 58 58 50 48 47 56 54 53 48 54 50 50 45 56 59 45 53 53 48 44 49 57
[3911] 49 47 50 46 46 47 46 55 52 50 46 50 57 53 55 48 44 46 37 45 46 51 44
[3934] 52 50 46 50 51 50 51 51 43 40 58 45 48 45 46 56 46 46 45 53 47 51 52
[3957] 53 44 56 48 52 48 49 44 46 49 50 48 53 55 45 60 49 47 52 54 52 56 47
[3980] 44 44 57 44 56 45 50 53 55 48 45 58 51 59 51 40 56 49 41 45 50 55 54
[4003] 47 37 46 60 52 61 50 54 59 58 55 50 54 44 60 48 43 49 47 51 48 51 53
[4026] 51 52 46 51 54 45 50 64 48 39 52 50 52 52 57 52 48 35 55 54 44 50 48
[4049] 52 46 53 60 54 51 52 55 53 56 46 54 50 49 56 52 50 45 51 53 48 51 48
[4072] 55 43 46 43 49 44 52 52 53 56 54 57 49 58 47 47 48 53 47 50 54 43 51
[4095] 47 49 50 47 55 51 44 50 57 47 45 58 47 49 56 50 55 51 55 50 53 56 48
[4118] 46 49 51 52 48 46 49 55 54 53 50 44 54 52 52 55 44 57 50 51 54 49 53
[4141] 47 41 50 48 55 54 46 39 55 46 55 51 46 48 49 51 54 45 48 51 58 49 48
[4164] 50 49 54 46 51 51 51 50 42 50 47 52 55 48 50 52 49 47 49 55 44 52 48
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[4233] 51 52 43 48 49 46 52 57 47 53 53 52 56 52 53 54 48 50 51 51 43 54 44
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[4532] 49 46 46 43 49 51 51 52 52 48 43 55 51 49 45 46 55 53 52 56 53 53 51
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[4601] 51 53 46 43 61 45 52 49 55 49 53 40 52 48 48 49 55 55 47 52 55 53 55
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[4831] 51 49 48 46 57 48 48 50 41 43 60 46 49 48 48 59 54 48 51 51 49 55 50
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[6464] 59 45 45 50 46 58 50 52 43 57 44 49 54 43 54 44 48 53 47 44 55 43 53
[6487] 48 57 42 36 44 51 53 47 44 56 54 53 46 52 44 54 50 55 46 47 49 55 50
[6510] 51 46 45 46 42 45 45 50 52 61 43 47 47 46 47 61 59 48 48 49 66 53 45
[6533] 48 47 60 54 56 55 49 54 53 57 51 50 52 44 56 50 48 47 51 52 52 49 52
[6556] 53 47 54 42 59 44 51 52 51 53 47 43 47 50 44 50 44 50 53 53 53 59 48
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[6694] 57 58 51 44 53 50 52 51 53 47 45 49 47 50 54 47 55 53 39 52 46 53 51
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[6763] 50 45 46 48 57 50 54 47 47 51 53 43 45 51 43 55 45 46 52 49 54 60 52
[6786] 46 49 46 51 52 52 67 52 52 57 43 56 46 50 47 42 54 62 54 44 50 51 47
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[6993] 41 52 48 53 48 42 52 44 50 61 54 47 48 49 49 49 45 50 56 43 41 55 52
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[7085] 51 55 51 53 54 55 49 44 47 42 45 57 42 50 61 53 43 49 50 56 49 53 59
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[7154] 48 59 50 53 54 47 47 56 49 49 52 43 49 52 47 53 44 53 40 48 47 49 53
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[8672] 48 45 52 47 39 56 53 48 60 57 51 48 55 49 53 54 56 58 49 46 54 50 42
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[8764] 49 48 41 47 46 44 45 55 48 55 48 43 51 47 50 49 48 55 49 42 56 40 44
[8787] 41 54 49 56 49 44 51 46 52 54 50 48 49 51 50 54 46 50 51 55 55 48 50
[8810] 55 51 54 41 50 48 49 43 53 48 53 53 45 43 56 54 58 45 58 54 50 48 46
[8833] 47 56 46 52 47 48 54 53 52 49 52 52 47 46 50 55 45 50 43 46 58 63 45
[8856] 49 56 49 48 50 53 49 52 51 54 51 48 48 46 49 58 55 48 41 48 55 51 55
[8879] 48 39 46 44 46 52 45 50 50 39 48 52 63 52 58 49 45 54 47 54 56 46 51
[8902] 48 52 50 50 51 41 47 51 45 54 43 50 42 58 46 51 48 50 48 60 54 49 52
[8925] 42 61 49 48 59 48 44 52 47 60 48 51 57 44 50 46 60 46 55 42 48 50 47
[8948] 48 55 55 46 45 48 45 48 50 58 48 54 40 53 48 41 54 57 42 54 49 46 52
[8971] 51 47 58 45 48 48 61 53 40 55 47 58 50 44 45 50 46 56 56 49 49 53 55
[8994] 49 58 50 52 48 52 52 52 50 51 51 56 49 56 51 52 54 54 46 41 54 56 50
[9017] 50 53 53 47 46 52 49 59 49 49 50 50 60 56 47 45 47 49 49 57 49 54 52
[9040] 50 48 50 48 51 49 49 45 49 48 49 55 55 55 49 53 45 57 60 48 43 49 45
[9063] 41 48 49 49 46 52 53 45 47 55 52 50 58 55 53 47 48 51 50 50 51 45 48
[9086] 51 52 52 43 48 46 50 52 48 45 47 47 58 46 56 50 41 54 51 54 51 52 44
[9109] 51 54 35 52 56 51 60 48 45 51 57 53 48 49 57 43 56 54 51 56 53 56 44
[9132] 52 44 55 42 48 56 52 48 49 52 45 46 49 56 47 47 41 50 54 45 50 53 50
[9155] 43 47 58 52 47 50 53 44 44 40 55 40 45 49 49 46 54 45 50 41 52 51 57
[9178] 48 51 49 46 41 46 52 50 53 54 52 49 44 51 49 50 45 53 45 43 51 52 45
[9201] 46 55 44 51 56 50 55 53 56 45 51 45 48 51 53 50 52 54 47 56 49 49 46
[9224] 42 50 49 53 57 46 54 53 42 44 51 54 52 53 50 45 47 52 51 44 61 49 46
[9247] 53 46 56 53 55 45 56 52 37 51 40 53 49 52 54 44 51 52 49 49 51 58 47
[9270] 46 51 46 59 49 52 51 53 47 56 43 54 48 39 42 48 52 41 51 46 45 47 42
[9293] 52 54 52 44 45 45 48 44 42 55 47 50 52 50 44 42 52 53 47 47 56 42 63
[9316] 49 59 54 55 59 52 49 58 48 63 59 41 52 52 56 50 57 49 57 50 51 57 39
[9339] 45 45 51 50 60 52 38 53 51 53 49 50 47 42 57 47 60 52 39 46 56 53 45
[9362] 48 59 55 50 50 49 54 45 43 50 51 45 40 45 44 49 50 48 47 50 42 48 46
[9385] 49 52 52 47 48 40 46 48 54 40 59 47 50 55 43 55 50 54 46 62 52 45 59
[9408] 54 48 47 43 47 49 54 52 48 50 50 52 52 52 49 41 51 49 33 41 56 47 54
[9431] 43 45 45 58 56 47 44 39 52 51 59 58 48 43 41 41 59 47 53 55 44 51 52
[9454] 50 53 51 50 39 56 49 50 51 42 44 48 55 51 57 50 47 52 46 49 46 48 47
[9477] 51 51 45 51 50 51 51 48 59 48 55 50 52 47 56 52 45 47 54 53 47 57 55
[9500] 46 49 44 50 41 53 65 42 48 50 51 48 48 42 46 47 48 45 55 53 54 54 42
[9523] 49 51 55 45 51 53 47 51 46 45 49 55 52 47 43 49 46 54 42 50 47 53 54
[9546] 47 52 41 54 52 48 55 52 50 44 42 54 51 58 50 56 49 39 51 41 52 54 56
[9569] 47 55 47 57 53 46 43 50 49 50 56 49 43 56 46 50 49 50 55 49 45 46 56
[9592] 48 54 51 44 54 44 52 53 50 50 45 60 50 51 41 42 52 46 52 50 48 53 52
[9615] 43 45 55 50 41 54 52 53 40 49 58 47 46 52 45 48 53 51 52 57 45 49 49
[9638] 57 39 57 49 55 45 56 50 54 49 51 49 46 45 47 50 48 54 51 49 48 46 48
[9661] 50 53 46 47 46 45 50 52 59 55 49 46 42 46 51 52 51 50 46 50 52 40 46
[9684] 47 51 54 54 49 43 52 50 50 49 52 49 51 49 48 47 47 45 45 48 42 44 51
[9707] 51 54 49 43 54 36 48 45 57 51 44 49 53 51 50 43 57 54 47 42 51 48 60
[9730] 53 54 51 54 48 40 46 58 47 57 50 46 54 55 43 49 45 52 48 45 48 43 50
[9753] 51 52 45 57 49 51 48 54 45 51 52 56 41 54 49 51 55 57 46 50 44 51 47
[9776] 45 44 49 49 53 43 53 56 56 53 46 41 52 56 47 45 48 54 52 55 50 49 58
[9799] 60 48 56 50 58 55 44 52 53 53 53 53 52 46 52 65 45 45 53 52 53 48 48
[9822] 50 49 55 49 51 40 45 46 52 54 39 54 44 51 51 48 41 43 56 52 59 45 43
[9845] 42 50 45 48 54 55 49 47 58 49 53 55 55 49 47 45 51 41 51 60 48 45 39
[9868] 49 47 43 60 61 57 57 46 49 45 47 50 52 50 55 50 50 57 51 61 51 51 50
[9891] 47 55 44 43 45 47 49 49 55 45 42 56 43 51 56 46 54 52 54 50 55 43 52
[9914] 56 55 60 55 40 51 57 44 44 54 48 62 54 43 51 49 61 50 48 48 51 54 56
[9937] 48 55 47 47 54 49 58 49 47 56 51 59 47 50 58 53 45 49 49 44 44 53 43
[9960] 46 48 45 51 57 55 55 46 52 49 49 53 45 48 47 50 57 45 44 37 59 51 57
[9983] 53 46 41 53 50 48 49 52 48 39 51 59 51 54 53 51 58 51
ちなみにこのサンプルでは
mean(s)
[1] 49.9845
var(s)
[1] 24.59852
でした。