放物線とは

放物線の方程式は次の式で与えられる．
$$ y^2 = 4 p x$$

焦点は$F = (p, 0)$で与えられ，準線は$x = -p$ で与えられる．

図示すると以下のようになります．

放物線の接線の方程式の導出

まず $ y^2 = 4 p x$ の両辺を x で微分する．
$$ 2y \frac{dy}{dx} = 4p $$

よって，
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{4p}{2y} = \frac{2p}{y} $$

さて，接線の方程式は$x$の一次式なので
$$ y - y_0 = m (x - x_0) $$
で与えられる．

ここで，$m$は接線の傾きであり，$(x_0, y_0)$は接線と放物線の接点の座標である．
接点にて接線の傾きは $m = \frac{dy}{dx} = \frac{2p}{y_0}$ である．
あくまで「接点での傾き」なので$\frac{2p}{y}$ではなく$\frac{2p}{y_0}$である．

この傾きを接線の方程式に代入すると
$$ y - y_0 = \frac{2p}{y_0} (x - x_0) $$
この式を展開していくと，

$$ y = \frac{2p}{y_0} (x - x_0) + y_0$$

$$ y_0 y = 2p (x - x_0) + {y_0}^2$$

$$ y_0 y = 2p (x - x_0) + 4 p x_0$$

$$ y_0 y = 2p (x + x_0)$$

以上，接線の方程式が求められました．