Twitter 公式のツイートボタンを使っているとき、ボタンは iframe で実装されているため、通常の click イベントは取れません¹。ボタンがクリックされたときになにかしたい場合（例: Google Analyticsのイベント計測など）は、Twitter が提供する widgets.js というスクリプトを使います。

TL;DR

最終形は以下のような感じになります。

<body>
<!-- ... -->

<!-- ツイートボタン（公式から雛形コードをコピペしてボタンを設置したいところに貼る） -->
<a class="twitter-share-button"
  href="https://twitter.com/intent/tweet">
Tweet</a>

<!-- ... -->

<!-- 以下のコードはどこに貼ってもよいが、bodyの閉じタグの前などが無難 -->

<!-- widgets.jsの読み込み（公式から雛形コードをコピペ） -->
<script>window.twttr = (function(d, s, id) {
  var js, fjs = d.getElementsByTagName(s)[0],
    t = window.twttr || {};
  if (d.getElementById(id)) return t;
  js = d.createElement(s);
  js.id = id;
  js.src = "https://platform.twitter.com/widgets.js";
  fjs.parentNode.insertBefore(js, fjs);

  t._e = [];
  t.ready = function(f) {
    t._e.push(f);
  };

  return t;
}(document, "script", "twitter-wjs"));</script>

<!-- widgets.jsを使っていろいろする（自分で書く部分） -->
<!-- 必ず上記の雛形コードの後に書く -->
<script>
twttr.ready(function (twttr) {
  twttr.events.bind('click', function () {
    // ここにツイートボタンが押されたときにしたい処理を書く
    // 例: Google Analyticsのイベント計測
    ga('send', 'event', 'Tweet Button', 'click')
  })
})
</script>
</body>

解説

0. ツイートボタンの設置

ツイートボタンそのものの設置の詳細はここでは触れません。以下のドキュメントなどを参考にしてください。
https://developer.twitter.com/en/docs/twitter-for-websites/tweet-button/overview

1. widgets.jsを読み込む

ツイートボタンなどを自分の JavaScript からごにょごにょするには、Twitter が提供する widgets.js という JavaScript を読み込む必要があります。

以下のページから雛形コードをコピーして、ページの HTML に貼り付けてください。場所はどこでもよいですが、<body> の閉じタグの前あたりがよいでしょう。
https://developer.twitter.com/en/docs/twitter-for-websites/javascript-api/guides/set-up-twitter-for-websites

2. widgets.jsを使ってイベントリスナを設定する

上記の雛形を埋め込むと、それ以降の行で twttr というオブジェクトが使えるようになります（雛形より上にかかれているコードで twttr を使うと未定義エラーになります）。twttr でできることを網羅的に知りたい場合は、以下のドキュメントを参照してください。
https://developer.twitter.com/en/docs/twitter-for-websites/javascript-api/overview

今回は twttr.events.bind を使って、click のイベントリスナ（イベントが発生した時に実行したい処理）を設定します。

ただ、イベントリスナの設定は、twttr の初期化が終わってからでないとできません。そこで、twttr.ready を使って、「twttr の初期化が終わった時に」イベントリスナを登録するように包みます。

twttr.ready(function (twttr) {
  // ここに twttr の初期化が完了したときにやりたい処理を書く
  // 今回はclickのイベントリスナを登録する
  twttr.events.bind('click', function () {
    // ここにツイートボタンが押されたときにしたい処理を書く
    // 概ねなんでも可能
  })
})

これでツイートボタンをクリックした時になにかできるようになります

厳密には、別オリジンのフレーム内容へのアクセスとなるためです。同一ドメインのフレームであれば、このような制約は基本的にありません。 ↩