コーシーシュワルツの不等式

コーシーシュワルツの不等式の不等式は以下の様に定義されている。
今回はなぜ、この不等式が成立するのか分からなかったので、メモとして証明をしていく。

・コーシーシュワルツの不等式

   \biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)\biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)\;\geq\;\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)^2

等号成立条件
・$a_i = kb_i(i=1,2,3...n)$の時
・$a_i = 0$の時（いずれかが０の時）

証明

まず土台となるのは以下の数式

\begin{align}
0\:\leq\:\sum_{i=1}^{n}(a_ix - b_i)^2 &= \sum_{i=1}^{n}(a_i^2x^2 - 2a_ib_ix + b_i^2)\\
&=\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)x^2 - 2\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)x + \biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)\;...(1)
\end{align}

ここでポイントは　$0\leq\sum_{i=1}^{n}(a_ix - b_i)^2$　で右辺が２乗なのでこの不等式が成り立っている。

(1)の式が2次方程式になっているので、判別式:$D = b^2 - 4ac$を用いて以下が成り立つ。

\begin{align}
D = 4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)^2 - 4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)\biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)\:\leq\: 0
\end{align}

ここまで来ればあとは左辺に移行し、両辺４で割れば、コーシーシュワルツの不等式が出現する。

\begin{align}
4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)^2 - 4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)\biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)\:\leq\: 0\\
\\
4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)^2\:\leq\:4\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)\biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)\\
\\
\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\biggl)^2\:\leq\:\biggl(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\biggl)\biggl(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\biggl)
\end{align}

終わり