job機能を使って非同期にエラーをチェックできるサンプルコードを書きました。
ESLintでJavaScriptのコードをチェックするサンプルを2通り掲載します。
:wなどでバッファの内容をファイルに書き込む時、非同期でエラーをチェックし、エラーがあればQuickFixにエラーを表示させます。

job機能が利用できるVimが必要です。
:echo has('job')で0が返るVimでは動作しません。

テンポラリファイルにエラーを書き出すパターン

sample.js

if () {

check.vim

function! s:callback(file, channel) abort
    execute 'cgetfile ' . a:file
    cwindow
    wincmd p
    echo 'finish'
endfunction

function! s:check() abort
    set errorformat=%f:\ line\ %l\\,\ col\ %c\\,\ %m,%-G%.%#
    let l:file = tempname()
    let job = job_start(add(split('eslint -f compact'), expand('%')), {
                \ 'out_io': 'file',
                \ 'out_name': l:file,
                \ 'close_cb': function('s:callback', [l:file]),
                \ })
endfunction

augroup sample
    autocmd!
    autocmd BufWritePost *.js call <SID>check()
augroup END

Vim起動

vim -Nu NONE -S check.vim sample.js

ここで**:w**でファイルに保存するとQuickFixにエラーが表示されます。

QuickFixの内容

js|1 col 5| Error - Parsing error: Unexpected token )

バッファにエラー内容を出力するパターン

sample.js

if () {

check2.vim

function! s:callback(channel) abort
    execute 'cgetbuffer ' . s:bufnr
    cwindow
    wincmd p
    execute 'bwipeout ' . s:bufnr
    unlet s:bufnr
    echo 'finish'
endfunction

function! s:check() abort
    set errorformat=%f:\ line\ %l\\,\ col\ %c\\,\ %m,%-G%.%#
    new
    let s:bufnr = bufnr('')
    setlocal bufhidden=hide
    setlocal buftype=nofile
    hide
    let job = job_start(add(split('eslint -f compact'), expand('%')), {
                \ 'out_io': 'buffer',
                \ 'out_buf': s:bufnr,
                \ 'close_cb': function('s:callback'),
                \ })
endfunction

augroup sample
    autocmd!
    autocmd BufWritePost *.js call <SID>check()
augroup END

ウィンドウを表示せずにバッファを開く方法が分からなかったので**:newでバッファを作成した後、:hideでそのバッファのウィンドウを閉じています。
:1newで小さいウィンドウを作成したほうが良いのか迷いましたが、:newから:hideまで違和感がなかったのでサイズ指定せずに:new**でウィンドウを作成しました。

Vim起動

vim -Nu NONE -S check2.vim sample.js

ここで**:w**でファイルに保存するとQuickFixにエラーが表示されます。
テンポラリファイルを利用したサンプルと同様のエラー内容が表示されました。

QuickFixの内容

js|1 col 5| Error - Parsing error: Unexpected token )

非同期ではないサンプル

おまけ。
チェックが終わるまでカーソルを動かせません。

function! s:check() abort
    set errorformat=%f:\ line\ %l\\,\ col\ %c\\,\ %m,%-G%.%#
    cgetexpr system('eslint -f compact ' . fnameescape(expand('%')))
    cwindow
endfunction

augroup sample
    autocmd!
    autocmd BufWritePost *.js call <SID>check()
augroup END