こんな感じ↓でコマンド実行時の表示を
そのまま貼り付けてもらえると回答しやすいですかね。
$ nodebrew use stable
use v10.1.0
おそらくですが、以前個別にインストールしたnode 12.18.4が動いていて
nodebrewでインストールしたnodeを動かせていないのかと思います。
こちらの記事を参考にしてみてください。
https://qiita.com/yukibe/items/bae442fa6314bd8f9d7a#nodejs%E3%81%AE%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB
また、nodebrewとnpm/yarnの違いですが、
nodebrewはnodeの各バージョンを管理するツール
npm/yarnはnodeの中で使えるツールを管理するツール
です。
逆にわかりづらいかもしれませんが、
nodebrewが学年主任でnpm/yarnは学級担任みたいな
感じですかね。