Connector/NET

MySQL（Oracle社）公式のライブラリ。正式名称は「Connector/NET」のようです。
https://dev.mysql.com/downloads/connector/net/8.0.html

MySqlConnector

こちらは正式名称が「MySqlConnector」https://mysql-net.github.io/MySqlConnector/

MySQL公式（Oracle社）とは関係のない純粋なOSSのライブラリ。
Oracle社のものをベースにしておらず、MySQLのプロトコルを純粋に再実装している旨の記載あり。

比較

MySqlConnectorのページに比較が載っていますが、MySqlConnectorは非同期処理に完全に対応していることが特徴のようです。
また、Connector/NETはGPLですがMySqlConnectorはMITライセンスです。
https://mysql-net.github.io/MySqlConnector/

どちらがポピュラー？

nugetのダウンロード数で比較すると
純粋にADO.NETのライブラリとしてはConnector/NET ＞ MySqlConnector

ただし、Entity Frameworkとしてダウンロードされているものは
Pomelo.EntityFrameworkCore.MySql(MySqlConnectorを使用したEF) ＞ Connector/NET

どっちを使う？

MySqlConnectorの方はConnector/NETと比較して以下の制限がありますが、
私が使っている範囲ではこの制限に該当する実装をする場面はありません。
私はOracle社があまり好きではないのでMySqlConnectorを使っています。
（なので、MySQLではなくMariaDBを使っている）
https://mysql-net.github.io/MySqlConnector/overview/known-issues/