Ajaxとは

Ajax（Asynchronous JavaScript　+　XML）とは、ウェブブラウザ上で非同期通信を行いながらインターフェイスの構築を行うプログラミング手法。HTML/Javascriptとだけで実装できるようにしてくれるもの。
Javascriptを使用して、サーバーにリクエストし返ってきたレスポンスをHTMLに変更を加える形で画面表示してくれる。
つまり、ページをリロードせずにWEB画面の表示を簡単に変えられるやつ！

同期通信と非同期通信の違い

ユーザーとサーバーのやりとりで説明します。
①ユーザーからリクエストを送る
②リクエストをサーバーが受け取る
③レスポンス（主にHTML）をユーザーに返す。
④結果をページ全体に反映
というような形でサーバーとの通信を行うたびにページ全体をリフレッシュしてしまうので、ユーザーはサーバーの処理の終了を待つ必要があります。
しかし、Ajaxは非同期通信なので
①ユーザーからリクエストを送る
②リクエストをサーバーが受け取る
③レスポンス（HTML/XML/JSON）をユーザーに返す。
④必要な箇所・領域のみ書き換える
ことができます。ユーザーである、ブラウザが直接サーバーとやりとりするわけでなく、Ajaxを使用してユーザーと通信しブラウザ内だけで処理が可能になるため、必要な部分のみ書き換えることが出来るみたいです。
※図で説明されてる先人がいらっしゃるのでそちらを見るとより理解出来ると思います。