テストの結果でよく目にする「偏差値」。

偏差値50が平均ということは知っていても、

なぜ50が基準なのか
80点なら偏差値はいくつになるのか
同じ80点でも偏差値が変わるのはなぜか
標準偏差は何のために使うのか

まで理解しようとすると、少し分かりにくくなります。

この記事では、偏差値の計算式を実際の数字とJavaScriptを使って確認します。

偏差値の計算式

偏差値は次の式で求めます。

偏差値 = 50 + 10 × (自分の点数 - 平均点) ÷ 標準偏差

たとえば、

自分の点数：80
平均点：60
標準偏差：10

なら、

50 + 10 × (80 - 60) ÷ 10
= 50 + 20
= 70

偏差値は70です。

なぜ平均点だと偏差値50になる？

自分の点数と平均点が同じ場合を考えます。

自分の点数：60
平均点：60
標準偏差：10

式に入れると、

50 + 10 × (60 - 60) ÷ 10
= 50

点数と平均点の差が0になるため、必ず偏差値50になります。

つまり偏差値では、

平均 = 50

を基準として、自分の位置を表しています。

偏差値60は「平均より10点高い」という意味ではない

ここは特に間違いやすいところです。

偏差値60は、

「平均点より10点高い」

という意味ではありません。

正確には、

平均より1標準偏差分だけ高い

という意味です。

標準偏差が10なら、

平均60点
自分70点

で偏差値60になります。

しかし標準偏差が20なら、

平均60点
自分80点

で偏差値60です。

つまり、平均との差だけでは偏差値は決まりません。

同じ80点でも偏差値が変わる

次の2つのテストを比較してみます。

テストA

自分：80点
平均：60点
標準偏差：10

偏差値は、

50 + 10 × 20 ÷ 10 = 70

テストB

自分：80点
平均：60点
標準偏差：20

偏差値は、

50 + 10 × 20 ÷ 20 = 60

自分の点数も平均点も同じなのに、

テストA：偏差値70
テストB：偏差値60

となりました。

違いを生んでいるのが標準偏差です。

標準偏差が小さいテストでは点数が平均付近に集まっているため、平均から20点離れていることの意味が大きくなります。

反対に、点数のばらつきが大きければ、同じ20点差でも偏差値への影響は小さくなります。

JavaScriptで偏差値を計算する

計算式をそのままJavaScriptにするとシンプルです。

function deviationScore(score, mean, sd) {
  return 50 + 10 * (score - mean) / sd;
}

console.log(deviationScore(80, 60, 10));
// 70

ただし標準偏差が0の場合は割り算ができません。

実際にフォームなどで利用するならチェックを入れておきます。

function deviationScore(score, mean, sd) {
  if (sd <= 0) {
    throw new Error("標準偏差は0より大きい値を指定してください");
  }

  return 50 + 10 * (score - mean) / sd;
}

表示用に小数点以下を丸めるなら、

const result = deviationScore(73, 58, 12);

console.log(result.toFixed(2));

のように処理できます。

目標偏差値から必要な点数を逆算する

偏差値の式を変形すると、

「偏差値60を取るには何点必要か」

という逆算もできます。

式は、

必要な点数
= 平均点 + (目標偏差値 - 50) × 標準偏差 ÷ 10

たとえば、

目標偏差値：65
平均点：60
標準偏差：10

なら、

60 + (65 - 50) × 10 ÷ 10
= 75

必要な点数は75点です。

JavaScriptでは次のように書けます。

function requiredScore(target, mean, sd) {
  return mean + (target - 50) * sd / 10;
}

console.log(requiredScore(65, 60, 10));
// 75

偏差値計算には標準偏差が必要

「自分が80点、平均が60点だから偏差値はいくつ？」

という情報だけでは、正確な偏差値は計算できません。

必要なのは、

自分の点数
平均点
標準偏差

の3つです。

標準偏差が分からない状態で出した偏差値は、正確な値ではありません。

実際の数値を確認するときは、偏差値計算に点数・平均点・標準偏差を入力すると、偏差値だけでなく目標偏差値に必要な点数も逆算できます。

偏差値に0〜100の制限はない

偏差値は0から100までの数字だと思われることがありますが、計算式上、そのような制限はありません。

平均から非常に大きく離れた値なら、

100を超える

ことも、

0を下回る

ことも数学上は可能です。

偏差値は点数そのものではなく、

平均からどれくらい離れているかを、標準偏差を基準に標準化した値

だからです。

まとめ

偏差値の計算式は、

偏差値 = 50 + 10 × (自分の点数 - 平均点) ÷ 標準偏差

です。

重要なのは、単純な点数の高さではなく、

平均との差
÷
点数のばらつき

を見ていることです。

そのため同じ80点でも、受験したテストの平均点や標準偏差が違えば偏差値は変わります。

計算式の意味まで理解すると、「偏差値50＝平均」「偏差値60＝平均より1標準偏差高い」という関係も理解しやすくなります。