原因
「Flutter run」コマンドでは動作するのに、実機に移した場合に動かなくなる原因はさまざまですが、自分が遭遇したのは、Androidのネットワークに接続するための権限が原因でした。Androidアプリをビルドする際、アプリがAPIを使用する場合や外部サーバーにアクセスする場合には、ネットワークに接続するための権限が必要となります。
自分はawsの通信の際にこの事象に遭遇したのですが、とりあえず適当なapiにgetリクエストを送ってみようと思い、シェークスピアapiを叩きレスポンスを確認したところ、Flutter run時にはシェークスピアの情報がjson形式で返ってきたのが、実機環境だとエラーを吐いたため、そもそも通信が行えてないことに気づきました。
解決法
ネットワークに接続する権限をandroid\app\src\main\AndroidManifest.xmlに記述
AndroidManifest.xml
<manifest xmlns:android=.....>
<!--ここから!-->
<uses-permission android:name="android.permission.INTERNET" />
<!--ここまで!-->
<application android:name=......>
<activity .....>
.....
</application>
</manifest>
これでandroidビルド時にもシェークスピアを叩けるようになりました!!
この際に「FLutter run」コマンドの詳細についてまとめた記事を書くので完成し次第、追記いたします。