原因

「Flutter run」コマンドでは動作するのに、実機に移した場合に動かなくなる原因はさまざまですが、自分が遭遇したのは、Androidのネットワークに接続するための権限が原因でした。Androidアプリをビルドする際、アプリがAPIを使用する場合や外部サーバーにアクセスする場合には、ネットワークに接続するための権限が必要となります。
自分はawsの通信の際にこの事象に遭遇したのですが、とりあえず適当なapiにgetリクエストを送ってみようと思い、シェークスピアapiを叩きレスポンスを確認したところ、Flutter run時にはシェークスピアの情報がjson形式で返ってきたのが、実機環境だとエラーを吐いたため、そもそも通信が行えてないことに気づきました。

解決法

ネットワークに接続する権限をandroid\app\src\main\AndroidManifest.xmlに記述

AndroidManifest.xml

<manifest xmlns:android=.....>
<!--ここから!--> 
    <uses-permission android:name="android.permission.INTERNET" /> 
<!--ここまで!-->
    <application android:name=......>
        <activity .....>
            .....
    </application>
</manifest>

これでandroidビルド時にもシェークスピアを叩けるようになりました！！

この際に「FLutter run」コマンドの詳細についてまとめた記事を書くので完成し次第、追記いたします。