対称な確率密度関数の期待値が中心点になる理由
確率分布の形が「左右対称」であるとき、その期待値は必ず対称の中心になります。
本記事ではその理由を、数式と直感、そしてPythonによるシミュレーションで確認します。
1. 対称性の定義
確率密度関数 $ f(x) $が $ x = a $ に関して対称であるとは、
$$
f(a + t) = f(a - t)
$$
がすべての実数 $ t $ に対して成り立つことをいいます。
2. 期待値の定義式
期待値 $ E[X] $ は次で定義されます。
$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)dx
$$
変数を $ x = a + t $ とおくと：
$$
E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} (a + t) f(a + t)dt
$$
これを2つに分けると：
$$
E[X] = a \int_{-\infty}^{\infty} f(a + t)dt + \int_{-\infty}^{\infty} t f(a + t)dt
$$
3. 対称性の効果
- 第1項は確率密度の積分なので $ a $
- 第2項は $ f(a+t) $ が偶関数、$ t $ が奇関数なので、積は奇関数
⇒ 積分値は $0$
したがって：
$$
E[X] = a
$$
4. 直感的説明
左右対称な分布では「右にずれる確率」と「左にずれる確率」が等しいため、
左右の重みが打ち消し合い、平均（重心）は中心 $ a $ に来ます。
5. 例
| 分布 | 対称軸 | 期待値 |
|---|---|---|
| 標準正規分布 $ N(0,1) $ | $ x=0 $ | $ 0 $ |
| 正規分布 $ N(a, \sigma^2) $ | $ x=a $ | $ a $ |
| 一様分布 $ U(a-b, a+b) $ | $ x=a $ | $ a $ |
6. Pythonによる確認
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 対称な分布（例: N(a, σ^2)）
a = 5
sigma = 2
n = 10_0000
x = np.random.normal(a, sigma, n)
print("サンプル平均:", np.mean(x))
print("理論値:", a)
# 可視化
plt.hist(x, bins=50, density=True, alpha=0.6)
plt.axvline(np.mean(x), color="red", linestyle="--", label="sample mean")
plt.axvline(a, color="black", linestyle=":", label="center a")
plt.legend()
plt.title("Symmetric PDF: N(a, σ²)")
plt.show()