以下のような感じに取得できる。
const tz = Intl.DateTimeFormat().resolvedOptions().timeZone
console.log(tz) // 東京のブラウザで実行するとAsia/Tokyoが表示される
Intlからは、タイムゾーンだけでなく、言語など、国際化に関連したAPIを他にも利用できるらしい。
参考
https://developer.mozilla.org/ja/docs/Web/JavaScript/Reference/Global_Objects/Intl
https://stackoverflow.com/questions/6939685/get-client-time-zone-from-browser