ChatGPTで(できました。)

sinθ+cosθ=√5/3
(ただし 0°≦θ≦180°)のとき，次の値をそれぞれ求めよ．
(1)sinθcosθ
(2)sinθ^3+cosθ^3

完璧? スゴイですね。GPT-3.5先生。猛暑で調子が良くなりましたか？
＞三角恒等式...

WolframAlphaで

グラフがでます。
(1)できました。

(2)できませんでした。

sympyで [1]T氏の数学日記様の方法で

教えて下さい。
(1)について sinθ+cosθ=√5/3 → sinθcosθ
(2)について sinθ^3+cosθ^3 → sinθ+cosθ=√5/3?
以下のように、できますか？オリジナル様の逆方向です。
(1)について sinθcosθの変形 → sinθ+cosθ=√5/3?使用
(2)について sinθ+cosθ=√5/3の変形 → sinθ^3+cosθ^3
以下(1)と(2)の方法が、異なるような気がしています。

(1)

from sympy import *
var('θ',real=True)
mySubs={ cos(θ)**2+sin(θ)**2:1}
eq1 =Eq( sin(θ)+cos(θ)            , Rational(1,3)*sqrt(5)    )     ;print("#(1  )",eq1  )
eq11=Eq( eq1.lhs**2               , eq1.rhs**2               )     ;print("#(1.1)",eq11 )
eq12=Eq( eq11.lhs.expand()        , eq11.rhs                 )     ;print("#(1.2)",eq12 )
eq13=Eq( eq12.lhs.subs(mySubs)    , eq12.rhs                 )     ;print("#(1.3)",eq13 )
eq14=Eq((eq13.lhs-1)*Rational(1,2),(eq13.rhs-1)*Rational(1,2))     ;print("#(1.3)",eq14 )
(st,en)=(0,pi)
plot(eq1.lhs,eq1.rhs,(θ,st,en),aspect_ratio=(1.0,1.0))
#(1  ) Eq(sin(θ) + cos(θ), sqrt(5)/3)
#(1.1) Eq((sin(θ) + cos(θ))**2, 5/9)
#(1.2) Eq(sin(θ)**2 + 2*sin(θ)*cos(θ) + cos(θ)**2, 5/9)
#(1.3) Eq(2*sin(θ)*cos(θ) + 1, 5/9)
#(1.3) Eq(sin(θ)*cos(θ), -2/9)

y1=sinθ+cosθ,y2=√5/3 のplotグラフです。交点が一点です。

(2)

from sympy import *
var('θ',real=True)
mySubs1={sin(θ)+cos(θ)      :Rational(1,3)*sqrt(5) }
mySubs2={cos(θ)**2+sin(θ)**2:1}
mySubs3={sin(θ)*cos(θ):Rational(-2,9)}
g =sin(θ)**3+cos(θ)**3                                       ;print("#(2  )",g )
g1=g.factor()                                                ;print("#(2.1)",g1)
g2= (factor_list(g1)[1][0][0]).subs(mySubs1) \
   *(factor_list(g1)[1][1][0]).subs(mySubs2).subs(mySubs3)   ;print("#(2.1)",g2)
#(2  ) sin(θ)**3 + cos(θ)**3
#(2.1) (sin(θ) + cos(θ))*(sin(θ)**2 - sin(θ)*cos(θ) + cos(θ)**2)
#(2.1) 11*sqrt(5)/27

xxx sympyで [2] できませんでした。θを求めて、代入してできると思いました。 xxx

いい方法があれば教えて下さい。

from sympy import *
var('θ',real=True)
(st,en)=(0,pi)
eq   =Eq(sin(θ)+cos(θ),Rational(1,3)*sqrt(5))
θ_ans=solveset(eq,θ,Interval(st,en)).args[0]
print("#(0)",                             θ_ans  ,float(θ_ans*180/pi)                                              )
print("#(1)",(sin(θ)   *cos(θ)   ).subs({θ:θ_ans}),float((sin(θ)   *cos(θ)   ).subs({θ:θ_ans})),-2/9                )
print("#(2)",(sin(θ)**3+cos(θ)**3).subs({θ:θ_ans}),float((sin(θ)**3+cos(θ)**3).subs({θ:θ_ans})),float(11*sqrt(5)/27))
#(0) atan((sqrt(5) + sqrt(13))/(-sqrt(13) + sqrt(5))) + pi 
#    103.1938999806215
#(1) (sqrt(5) + sqrt(13))/((1 + (sqrt(5) + sqrt(13))**2/(-sqrt(13) + sqrt(5))**2)*(-sqrt(13) + sqrt(5))) 
#    -0.2222222222222222 -0.2222222222222222
#(2) -1/(1 + (sqrt(5) + sqrt(13))**2/(-sqrt(13) + sqrt(5))**2)**(3/2) - (sqrt(5) + sqrt(13))**3/((1 + (sqrt(5) + sqrt(13))**2/(-sqrt(13) + sqrt(5))**2)**(3/2)*(-sqrt(13) + sqrt(5))**3) 
#     0.9109906574999144 0.9109906574999144

sympyで [3] 最初から,xyで置き換えました。

・置き換えた時は、定義域(条件)注意です？私は、考えていません。交点2点？
・(3)は、直線x+y=√5/3と原点との距離のチェックです。1以下です。

# 2014 aomori 1-3   <4>
from sympy import *
var('x,y',real=True)
eq1 =Eq( x**2+y**2,1                    ) 
eq2 =Eq( x+y      ,Rational(1,3)*sqrt(5)) 
ans=solve([eq1,eq2],[x,y])
print("#(0)",ans)
print("#(1)",(ans[0][0]*ans[0][1])      .simplify())
print("#(1)",(ans[0][1]*ans[1][1])      .simplify())
print("#(2)",(ans[0][0]**3+ans[0][1]**3).simplify())
print("#(2)",(ans[1][0]**3+ans[1][1]**3).simplify())
print("#(3)",      Line( Point(0,eq1.rhs),Point(eq1.rhs,0)).distance(Point(0,0))  , 
             float(Line( Point(0,eq1.rhs),Point(eq1.rhs,0)).distance(Point(0,0)) )  )
#(0) [(-sqrt(13)/6 + sqrt(5)/6, sqrt(5)/6 + sqrt(13)/6), (sqrt(5)/6 + sqrt(13)/6, -sqrt(13)/6 + sqrt(5)/6)]
#(1) -2/9
#(1) -2/9
#(2) 11*sqrt(5)/27
#(2) 11*sqrt(5)/27
#(3) sqrt(2)/2 0.7071067811865476

sympyの実行環境

①私の環境は,pycharmです。
②よく聞くのは、Jupyterです。
③web上で、上記のソースを「SymPy Live shell」に、コピー貼り付けでもできました。
黒背景の右上に、マウスを移動すると、コピーマークが発生します。
???　タブレット環境で、コピー貼り付けが実行できませんでした。???

参考

以下、いつもの?おすすめです。