第1問：製品寿命の確率
ある製品の寿命 ( X ) は平均 1000 時間、標準偏差 80 時間の正規分布
$ X \sim N(1000, 80^2)$ に従う。
製品が 900 時間以上動作する確率を求めよ。
解答を表示
$$
X \sim N(1000, 80^2)
$$
$$
P(X \geq 900) = P\left(Z \geq \frac{900 - 1000}{80}\right) = P(Z \geq -1.25)
$$
$$
P(Z \geq -1.25) = 1 - P(Z < -1.25) = 1 - 0.1056 = 0.8944
$$
答え：
$$
\boxed{P(X \geq 900) = 0.8944}
$$
第2問：両側確率（テスト得点）
テストの得点 ( X ) は平均 70、標準偏差 10 の正規分布に従う。
$ X \sim N(70, 10^2) $
得点が 60 点以下または 80 点以上となる確率を求めよ。
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$$
P(X \leq 60 \text{ または } X \geq 80)
= P(Z \leq -1.0) + P(Z \geq 1.0)
$$
$$
P(Z \leq -1.0) = 0.1587,\quad P(Z \geq 1.0) = 1 - 0.8413 = 0.1587
$$
$$
P = 0.1587 + 0.1587 = 0.3174
$$
答え：
$$
\boxed{P = 0.3174}
$$
第3問：±1σの範囲確率
ある試験の点数 $ X \sim N(50, 15^2) $
得点が平均 ±1σ の範囲に入る確率を求めよ。
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$$
P(35 \leq X \leq 65) = P(-1.0 \leq Z \leq 1.0)
$$
$$
P(Z \leq 1.0) - P(Z \leq -1.0) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
$$
答え：
$$
\boxed{P = 0.6826}
$$
第4問：標本平均の確率
母集団 $ X \sim N(60, 12^2) $、標本サイズ n = 9
標本平均 $ \bar{X} $ が 64 以上となる確率を求めよ。
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$$
\bar{X} \sim N(60, \frac{12^2}{9}) = N(60, 4^2)
$$
$$
P(\bar{X} \geq 64) = P\left(Z \geq \frac{64 - 60}{4}\right) = P(Z \geq 1.0)
$$
$$
P(Z \geq 1.0) = 1 - 0.8413 = 0.1587
$$
答え：
$$
\boxed{P = 0.1587}
$$
第5問：上位5%の下限値
学生の身長 $ X \sim N(170, 6^2) $
全体の上位5%に入る学生の身長の下限値を求めよ。
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$$
P(X \geq x_0) = 0.05 \Rightarrow P(X \leq x_0) = 0.95
$$
$$
P\left(Z \leq \frac{x_0 - 170}{6}\right) = 0.95 \Rightarrow \frac{x_0 - 170}{6} = 1.645
$$
$$
x_0 = 170 + 6 \times 1.645 = 179.87
$$
答え：
$$
\boxed{x_0 = 179.9\ \text{cm}}
$$
第6問：母平均の信頼区間（母分散未知）
学生10名の平均勉強時間データより、母平均の95%信頼区間を求めよ。
$ n=10,\ \bar{x}=4.8,\ s=1.2,\ t_{0.025,9}=2.262 $
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$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1}\frac{s}{\sqrt{n}} = 4.8 \pm 2.262 \times \frac{1.2}{\sqrt{10}}
$$
$$
= 4.8 \pm 2.262 \times 0.379 = 4.8 \pm 0.857
$$
$$
(3.94,\ 5.66)
$$
答え：
$$
\boxed{3.94 \leq \mu \leq 5.66}
$$
第7問：母比率の信頼区間
不良品8個（全100個中）→ 母比率 ( p ) の95%信頼区間を求めよ。
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$$
\hat{p} = \frac{8}{100} = 0.08
$$
$$
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.08 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.08(0.92)}{100}}
$$
$$
= 0.08 \pm 1.96 \times 0.0271 = 0.08 \pm 0.0531
$$
$$
(0.0269,\ 0.1331)
$$
答え：
$$
\boxed{0.0269 \leq p \leq 0.1331}
$$
第8問：母平均の検定（t検定）
製品の平均重量 500g に対して、
標本平均 505g, 標本標準偏差 4g, 標本数 10。
有意水準5%で平均が有意に異なるかを検定せよ。
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仮説：
$$
H_0 : \mu = 500, \quad H_1 : \mu \neq 500
$$
検定統計量：
$$
t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{505 - 500}{4/\sqrt{10}} = 3.952
$$
棄却域：
$$
|t| > 2.262
$$
判定：
$$
3.952 > 2.262 \Rightarrow H_0\text{を棄却}
$$
結論：
平均重量は 500 g と有意に異なる。
答え：
$$
\boxed{t = 3.952,\ \text{帰無仮説棄却}}
$$
結果まとめ
| 問 | 内容 | 結果 |
|---|---|---|
| 1 | (P(X \geq 900)) | 0.8944 |
| 2 | (P(X \leq 60 \text{ または } X \geq 80)) | 0.3174 |
| 3 | (P(35 \leq X \leq 65)) | 0.6826 |
| 4 | (P(\bar{X} \geq 64)) | 0.1587 |
| 5 | 上位5%の下限値 | 179.9 cm |
| 6 | 母平均95%信頼区間 | (3.94, 5.66) |
| 7 | 母比率95%信頼区間 | (0.0269, 0.1331) |
| 8 | 母平均のt検定 | (t = 3.952 > 2.262 \Rightarrow) 棄却 |