平均と標準偏差が与えられた正規分布から，標準正規分布へ変換（標準化）して解く方法に焦点を当てる．
初学者向けに実際に手を動かして解く流れを中心に説明する．
正規分布と標準正規分布
統計検定2級では以下の2つの分布を扱うことが多い．
-
一般の正規分布：
$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$$
平均 $\mu$，標準偏差 $\sigma$ -
標準正規分布：
$$Z \sim N(0, 1)$$
平均0，標準偏差1
一般の正規分布のままでは確率表が利用できないため，標準化して標準正規分布に変換する．
標準化とは何か
正規分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ の値 $x$ を標準正規分布に変換する操作である．
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
$$
- $X - \mu$：平均を0にずらす
- $\div \sigma$：尺度を標準偏差1に合わせる
この変換は単調増加であるため，
$$
X \ge x \quad \Leftrightarrow \quad Z \ge \frac{x - \mu}{\sigma}
$$
となる．したがって確率もそのまま対応する．
例題
問題
あるデータが平均70，標準偏差8の正規分布に従うとする．
このとき，値が 85以上 となる確率を求めよ．
解き方の流れ
(1) 標準化する
$$
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
= \frac{85 - 70}{8}
= \frac{15}{8}
= 1.875
$$
よって
$$
P(X \ge 85) = P(Z \ge 1.875)
$$
(2) 標準正規分布表（Z表）を使う
Z表は通常，左側確率
$$
P(Z \le z)
$$
を与える．
表より
$$
P(Z \le 1.88) \approx 0.9699
$$
（1.875に近い値として1.88を使用）
(3) 上側確率を求める
上側確率は
$$
P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z)
$$
したがって
$$
P(Z \ge 1.875) \approx 1 - 0.9699 = 0.0301
$$
結論
$$
P(X \ge 85) \approx 0.030
$$
よって，値が85以上となる確率は約3%程度である．
重要ポイントまとめ
| ポイント | 内容 |
|---|---|
| 標準化 | $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ |
| 上側確率 | $P(Z \ge z) = 1 - P(Z \le z)$ |
| 不等号の向き | 標準化は単調変換なので不変 |
| 目的 | 標準正規分布表を利用できるようにする |
典型的な間違い
| 誤り | 正しい理解 |
|---|---|
| 標準化後に不等号の向きが変わると思う | 標準化は単調変換なので向きは変わらない |
| 上側確率を直接表で探す | 表は通常「左側確率」なので 1 から引く |
| σ が1以外だと困る | 標準化すれば常に $N(0,1)$ になる |