スカラー乗法とは？ 🧐

Posted at 2025-07-04

今回は「スカラー乗法」について、とっても分かりやすく解説していきますね！一緒に理解を深めていきましょう！😊✨

スカラー乗法（Scalar Multiplication）は、ベクトルをスカラー（単なる数値）で「引き伸ばしたり」「縮めたり」「向きを反転させたり」する操作のことです。難しく聞こえるかもしれませんが、実はとってもシンプルなんですよ！💡

スカラー: 大きさだけを持つ量のことです。例えば、$5$ や $-3$ などの普通の数字がこれにあたります。単位を持たない、単なる「数」だと思ってください。🔢
ベクトル: 大きさと向きを持つ量のことです。例えば、力の方向や速度など、矢印で表現されるものをイメージすると分かりやすいでしょう。➡️

簡単に言うと、ベクトルの各成分にスカラーを掛け算すること、それがスカラー乗法です！

例えば、2次元のベクトル $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}$ があるとします。

ベクトルを2倍に引き伸ばす場合:
スカラー $c = 2$ を $\vec{v}$ に掛け算してみましょう。
$2 \vec{v} = 2 \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 2 \ 2 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 6 \end{pmatrix}$
元のベクトルが長さ2の矢印だとしたら、長さ4の矢印に「引き伸ばされた」ことになりますね！📏✨
ベクトルを半分に縮める場合:
スカラー $c = \frac{1}{2}$ を $\vec{v}$ に掛け算してみましょう。
$\frac{1}{2} \vec{v} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \times 2 \ \frac{1}{2} \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1.5 \end{pmatrix}$
元のベクトルの長さが半分に「縮められた」イメージです。🤏
ベクトルの向きを反転させる場合:
スカラー $c = -1$ を $\vec{v}$ に掛け算してみましょう。
$-1 \vec{v} = -1 \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \times 2 \ -1 \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ -3 \end{pmatrix}$
元のベクトルと「反対の向き」になったことが分かりますね！🔄

一般的に、ベクトル $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix}$ とスカラー $c$ があるとき、スカラー乗法は次のように定義されます。

$c \vec{v} = c \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c v_1 \ c v_2 \ \vdots \ c v_n \end{pmatrix}$

つまり、ベクトルのすべての成分にスカラー $c$ を掛け算するだけです！シンプルですよね！👍

スカラー乗法にはいくつか便利な性質があります。これらの性質は、ベクトルを使った計算をする上でとても役立ちます。

結合法則（スカラー同士）: $(ab)\vec{v} = a(b\vec{v})$
例: $(2 \times 3)\vec{v} = 6\vec{v}$ と $2(3\vec{v}) = 2(3\vec{v})$ は同じです。
分配法則（スカラーとベクトルの和）: $c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}$
例: ベクトルの和を先に計算してからスカラーを掛けても、スカラーを掛けてから和を計算しても同じです。
分配法則（スカラーの和とベクトル）: $(a+b)\vec{v} = a\vec{v} + b\vec{v}$
例: スカラーの和を先に計算してからベクトルを掛けても、個別にスカラー乗法をしてから和を計算しても同じです。
単位元: $1\vec{v} = \vec{v}$
スカラー $1$ を掛けてもベクトルは変わりません。
ゼロとの乗法: $0\vec{v} = \vec{0}$
スカラー $0$ を掛けると、すべての成分が $0$ のゼロベクトルになります。
負のスカラー乗法: $(-1)\vec{v} = -\vec{v}$
スカラー $-1$ を掛けると、ベクトルの向きが反転します。

スカラー乗法は、ベクトルの「大きさ」を調整したり、「向き」を反転させたりする、線形代数の基本的な操作です。機械学習や物理学、ゲーム開発など、さまざまな分野でベクトルの操作は不可欠なので、この概念をしっかり理解しておくと、これからの学習がとってもスムーズになりますよ！🎓🚀