プライム記法・ライプニッツ記法の式
プライム記法
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}
∴f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
ライプニッツ記法
\frac{d}{dx}f(x) または \frac{df}{dx}(x)
変換方法
今回やりたいこと
プライム記法 \to ライプニッツ記法
1. 平均的な変化の割合（平均変化率）
Δ（デルタ）は瞬間的な変化を表す。
$x$が$x_1$から$x2$に変化したとき、$f(x)$は$f(x_1)$から$f(x_2)$に変化したとする。
するとこの時、$x$の変化量は$Δx=x_2-x_1$となり
$f(x)$の変化量も$Δf=f(x_2)-f(x_1)$となる。
本題（平均変化率の求め方）：
$f(x)$の平均的な変化の割合を計算する場合、式は$\frac{Δf}{Δx}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$となる。
これはグラフ上の2点を通る直線の傾きに相当する。
2. 「瞬間的」な変化の割合
「平均」ではなく、「瞬間」を求めるため、変化量$Δx$を限りなく0に近づけることを考える。
\lim_{Δx\to0}\frac{Δf}{Δx}
3. ライプニッツ記法との結びつき
ライプニッツは、この「限りなく0に近づいたときの変化量」を無限小の量と考えた。
- $Δf$が限りなく0に近づいたものを$df$
- $Δx$が限りなく0に近づいたものを$dx$
と記号で表現した。
つまり、以下のように表現することも可能である。
\lim_{Δ\to0}Δa=da
∴ 瞬間的な変化の割合である以下の式を
\lim_{Δx\to0}=\frac{Δf}{Δx}
無限小の量で記述した場合
\frac{df}{dx}
となる。
4. 最後に
$\frac{df}{dx}$が$\frac{df}{dx}(x)$と記載される理由は「この導関数は、$x$という変数についての関数である」ということを明確にするために付けられる。
$f'(x)$や$\frac{df}{dx}$は、元の関数f(x)を微分して得られる新しい関数である。
この新しい関数は、元の関数と同じく、入力として$x$の値を受け取り、その$x$の値における接線の傾き（瞬間的な変化率）を返す。
例えば：
- $f(x)$は、$x$に依存する関数$f$を意味する。
- $g(t)$は、$t$に依存する関数$g$を意味する。