まぁタイトルの通りですが、とりあえず認証済みかを確認して認証していない場合は認証ページを出して認証後AccessTokenを保存し、それを元にDropboxAPIのインスタンスを作る所までまとめておきます。

公式のドキュメントにもチュートリアルがあるのでこっちを参考にしてもどうぞ。

#簡潔なアジェンダ
1.DropboxAPIを使用する為に必要なAppの登録方法
2.DropboxSDKのダウンロードAndroidStudioでの組み込み方法
3.AndroidManifest.xmlの編集
4.Activityにコードを書いていく

#Appを作成
ここにアクセスすると右側に「Create app」があるのでクリックします。
すると、次のような質問をされるので「Dropbox API app」を選択します。

選択すると、「ファイルとデータストアを使用するのか」といった質問を受けるのでそれぞれ答えていきます。
最後にアプリケーションの名前を入力するよう促されるので入力しておしまいです。

#DropboxからSDKを取ってくる
ここからSDKを落とします。

#SDKをAndroidStudioのプロジェクトに組み込む
落としたSDKを展開すると、libの中にjarファイルが2つあります。

このファイルをプロジェクト内にあるlibsに放り込みます。

そして、AndroidStudioの上部にある次のボタンを押して読み込ませます。

#AndroidManifest.xmlの編集
認証には com.dropbox.client2.android.AuthActivity というActivityを使用するため、AndroidManifestに記述します。
この時、dataのandroid:schemeにAppKeyを入力する必要があります。注意する点として、db-の後ろに追記する必要があることです。
また、uses-permissionでINTERNETを許可するようにもしておきます。

		<activity
            android:name="com.dropbox.client2.android.AuthActivity"
            android:configChanges="orientation|keyboard"
            android:launchMode="singleTask">
            <intent-filter>

                <data android:scheme="db-(AppKey)" />

                <action android:name="android.intent.action.VIEW" />

                <category android:name="android.intent.category.BROWSABLE" />
                <category android:name="android.intent.category.DEFAULT" />
            </intent-filter>
        </activity>

全体的にはこのような内容になります。

AndroidManifest.xml

<application
        android:allowBackup="true"
        android:icon="@mipmap/ic_launcher"
        android:label="@string/app_name"
        android:theme="@style/AppTheme" >
        <activity
            android:name=".MainActivity"
            android:label="@string/app_name" >
            <intent-filter>
                <action android:name="android.intent.action.MAIN" />
                <category android:name="android.intent.category.LAUNCHER" />
            </intent-filter>
        </activity>
        <activity
            android:name="com.dropbox.client2.android.AuthActivity"
            android:configChanges="orientation|keyboard"
            android:launchMode="singleTask">
            <intent-filter>

                <data android:scheme="db-57b86cj98uo2nwl" />

                <action android:name="android.intent.action.VIEW" />

                <category android:name="android.intent.category.BROWSABLE" />
                <category android:name="android.intent.category.DEFAULT" />
            </intent-filter>
        </activity>
    </application>

    <uses-permission android:name="android.permission.INTERNET" />

#Activityにコードを記述
認証情報を保持するためにSharedPreferencesを用いますが、まずはそれを管理するクラスを作成します。

DropboxUtils.java

public class DropboxUtils {
    private static final String TOKEN = "token";
    private static final String PREF_NAME = "dropbox";
    public static final String APPKEY = "appkey";
    public static final String APPKEYSECRET = "appsecret";
    private Context context;

    public DropboxUtils(Context context) {
        this.context = context;
    }
    
    public void storeOauth2AccessToken(String secret){
        SharedPreferences preferences = context.getSharedPreferences(PREF_NAME,
                Context.MODE_PRIVATE);
        SharedPreferences.Editor editor = preferences.edit();
        editor.putString(TOKEN, secret);
        editor.commit();
    }

    public AndroidAuthSession loadAndroidAuthSession() {
        SharedPreferences preferences = context.getSharedPreferences(PREF_NAME,
                Context.MODE_PRIVATE);
        String token = preferences.getString(TOKEN, null);
        if (token != null) {
            AppKeyPair appKeys = new AppKeyPair(APPKEY, APPKEYSECRET);
            return new AndroidAuthSession(appKeys,token);
        } else {

            return null;
        }
    }

    public boolean hasLoadAndroidAuthSession() {
        return loadAndroidAuthSession() != null;
    }

}

そして、MainActivityに認証処理を記述します。
onCreate()で先ほど作成したDropboxUtilsのインスタンスを作成し、認証済みであるのかをチェックします。
未認証であれば認証ページ、認証済みであれば認証情報を取得してDropboxAPIのインスタンスを作成します。

@Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {

        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);
        dropboxUtils = new DropboxUtils(this);

        //認証済みかを確認
        if(!dropboxUtils.hasLoadAndroidAuthSession()){
            AppKeyPair appKeys = new AppKeyPair(DropboxUtils.APPKEY, DropboxUtils.APPKEYSECRET);
            AndroidAuthSession session = new AndroidAuthSession(appKeys);
            mDBApi = new DropboxAPI<>(session);
            mDBApi.getSession().startOAuth2Authentication(this); //認証していない場合は認証ページを表示
        }else {
            mDBApi = new DropboxAPI<>(dropboxUtils.loadAndroidAuthSession()); //SharedPreferencesから認証情報取得
        }
    }

認証ページで認証が終わると、onResume()でAccessTokenの取得を行い保存します。

@Override
    protected void onResume() {
        super.onResume();
        if (mDBApi.getSession().authenticationSuccessful()) {
            try {
				mDBApi.getSession().finishAuthentication();
                dropboxUtils.storeOauth2AccessToken(mDBApi.getSession().getOAuth2AccessToken());
                Toast.makeText(this,"認証しました",Toast.LENGTH_SHORT).show();
            } catch (IllegalStateException e) {

            }
        }
    }

全体的なコードはこのようになります。

MainActivity.java

public class MainActivity extends ActionBarActivity {

    private DropboxAPI<AndroidAuthSession> mDBApi;
    private DropboxUtils dropboxUtils;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {

        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);
        dropboxUtils = new DropboxUtils(this);

        //認証済みかを確認
        if(!dropboxUtils.hasLoadAndroidAuthSession()){
            AppKeyPair appKeys = new AppKeyPair(DropboxUtils.APPKEY, DropboxUtils.APPKEYSECRET);
            AndroidAuthSession session = new AndroidAuthSession(appKeys);
            mDBApi = new DropboxAPI<>(session);
            mDBApi.getSession().startOAuth2Authentication(this); //認証していない場合は認証ページを表示
        }else {
            mDBApi = new DropboxAPI<>(dropboxUtils.loadAndroidAuthSession()); //SharedPreferencesから認証情報取得
        }
    }

    @Override
    protected void onResume() {
        super.onResume();
        if (mDBApi.getSession().authenticationSuccessful()) {
            try {
                // Required to complete auth, sets the access token on the session
                mDBApi.getSession().finishAuthentication();
                dropboxUtils.storeOauth2AccessToken(mDBApi.getSession().getOAuth2AccessToken());
                Toast.makeText(this,"認証しました",Toast.LENGTH_SHORT).show();
            } catch (IllegalStateException e) {

            }
        }
    }
}

これで実装は終了です。

#実際の動作
実際に動作を確認してみます。
まず、認証をしていないため認証ページへ自動的に遷移します。

リクエストの許可をすると、MainActivityへ戻ります。

再度、アプリを立ち上げると認証済みであるため認証ページへは遷移せずそのままMainActivityが動きます。